中学代数公式大全

1、一、初中代数二、高中代数2.1 、函数2.1.1不等式2.1.1数列2.1.1三角函数2.1.1复数2.2 排列、组合2.3 平面几何2.3.1 直线与角2.3.2 三角形2.4 立体几何2.4.1 直线与平面2.4.2 多面体、棱柱、棱锥2.5 解析几何2.5.1 方程与曲线2.5.2 直线2.5.3 圆2.5.4 椭圆2.5.5 双曲线2.5.6 线2.6 向量部分2.6.1 空间向量2.6.2 平面向量三、常用公式3.1 常用公式3.2 几何图形及计算公式四、坐标几何和二维、三维图形4.1 坐标几何4.2 二维图形4.3 三维图形一、初中代数【实数的分类】【自然数】【质数与合数】表示物体

2、个数的1、2、3、4等都称为自然数一个大于1的整数，如果除了它本身和1以外不能被其它正整数所整除，那么这个数称为质数。一个大于1的数，如果除了它本身和1以外还能被其它正整数所整除，那么这个数知名人士为合数，1既不是质数又不是合数。【相反数】只有符号不同的两个实数，其中一个叫做另一个的相反数。零的相反数是零。【绝对值】【倒数】一个正数的绝对值是它本身，一个负数绝对值是它的相反数，零的绝对值为零。从数轴上看，一个实数的绝对值是表示这个数的点离开原点距离。1除以一个非零实数的商叫这个实数的倒数。零没有倒数。【完全平方数】如果一个有理数a的平方等于有理数b,那么这个有理数b叫做完全平方数。【方根】如果

3、一个数的n次方nn是大于1的整数）等于a,这个数叫做a的n次方根。【开方】求一数的方根的运算叫做开方。【算术根】正数a的正的n次方根叫做a的n次算术根，零的算术根是零，负数没有算术根。【代数式】用有限次运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连结所得的式子，叫做代数式。【代数式的值】【代数式的分类】用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果，叫做当这个字母取这个数值时的代数式的值。【有理式】只含有力口、减、乘、除和乘方运算的代数式叫有理式【无理式】根号下含有字母的代数式叫做无理式【整式】没有除法运算或者虽有除法运算而除式中不含字母的有理式叫整式【分式】【有理数的运算律】【等式的

4、性质】除式中含字母的有理式叫分式【乘法公式】【因式分解】【方程】方？程含有未知数的等式叫做方程。方程的解在未知数允许值范围内，能使方程两边相等的未知数的值叫做方程的解。解方程在指定范围内求出方程所有解，或者确定方程无解的过程，叫做解方程。【一次方程】-7-次方程：只含有一个未知数且未知数的次数是一次的整式方程叫做一一次方程它的标准形式是：口计方=0（口黄。）_【一元二次方程】二、高中代数2.1 、函数【集合】指定的某一对象的全体叫集合。集合的元素具有确定性、无序性和不重复性。【集合的分类】【集合的表示方法】名称定？义图？示？性？质子集真子集交集并集补集函数的性质定？义？判定方法函数的奇偶性函如

5、果对一函数f(x)JE义域内任息一个X,都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)叫做奇函数；函如果对一函数f(x)JE义域内任息个x,都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)叫做偶函数函数的单调性对于给定的区间上的函如果对干属干这个区间的任意两个自变的值勺、灯，当勺C外时，都有)贝犷W在这个区间是增函数如果对千属千这个区间的任意两个自变的值勺、乃,当勺“心)，则/V)在这个区间是减函数数f(x):函数的周期性对于函数f(x),如果存在一个不为零的常数T,使得当x取定义域内的每一个值时，f(x+T尸f(x)都成立，那么就把函数y=f(x)叫做周期函数。不为零的(1)利用定义(2)利用已知函

6、数的周期的有关定理。常数T叫做这个函数的周期。函数名称解析式定义域值？域奇偶性单调性正比例函数RR奇函数反比例函数奇函数一次函数RR二次函数R函数名称解析式定义域值？域奇偶性单调性正比例函数RR奇函数反比例函数奇函数一次函数RR二次函数R2.1.1不等式2.1.1数列名称?定？义?通项公式前n项的和公式其它如果一个数列an的第n项an数列?按照一定次序排成一列的数叫做数列，记为an与n之间的关系可以用一个公式来表示，这个公式就叫这个数列的通项公式等差奴列等比数列数列前n项和与通项的关系：无穷等比数列所有项的和：?适用范围?证明步骤?注:言事项奴学归纳法只适用于证明与自然数n有关的数学命题以P（

7、n）2人J日尔、nNjI叩咫,幺口木（1）当n取A个值n0（例如：n=1或n=2）时，命题成立（2）假设n=k时，命题成立，由此推出n=k+1时成立。那么P（n）对一切自然数n都成立。（1）第一步是递推的基础，第二步的推理根据，两步缺一/、可（2）第二步的证明过程中必须使用归纳假设。2.1.1三角函数角一条射线绕着它的端点旋转所产生的图形叫做角。旋转开始时的射线叫角的始边，旋转终止时的射线叫角的终边，射线的端点叫做角的顶点。角的单位制关？系弧长公式?扇形面积公式角度制弧度制角的位？置?角的集合在x轴正半轴上终边在x轴负半轴上在x轴上在y轴上在A象限内在第二象限内在第三象限内在第四象限内特函数/

8、角0殊角的sina010-10cosa10-101角函数tana01不存在0不存在0值cota10不存0不存不存在在在函数定义域值域奇偶性周期性?单调性y=sinxR奇函数y=cosxR偶函数角y=tanxR奇函数函数的性y=cotxR奇函数角/函数正弦余弦正切余切质-a-sinacosa-tana-(ota900acosasinacotatana900+acosa-sina-cota-tana1800-asina-cosa-tana-(ota1800+a-sina-cosatanacota2700-a-cosa-sinacotatana2700+a-cosasina-cota-tana360

9、0-a-sinacosa-tana-(otasinacosatanacota同角公式倒数关系商数关系平方关系和差角公式/倍角公式万能公式半角公式积化和差公式和差化积公式2.1.1复数复数的定义引入虚数单位i,规定i2=1,i可以和实数一起进行通常的四则运算，运算时原有力口乘运算仍然成立。形如：a+bi（a,b为实数）？a-实部？b-虚部复数的表小形式代数形式角形式复数的运算代数式角式2.2 排列、组合分类计数原理？分步计数原理做一件事，完成它有n类不同的办法。第一类办法中后ml种方法，第一类办法中后m2种方做一件事，完成它需要分成n个步骤。第一步中有ml种方法，第二步中有m2种方法，第n步中法

10、，第n类办法中后mn种方法，则元成这件事共启：N=m1+m2+mn#方法。有mn种方法，则元成这件事共启：N=m1?m2?mn种方法。注意：处理实际问题时，要善于区分是用分类计数原理还是分步计数原理，这两个原理的标志是“分类”还是“分步骤”。?排？列?组？合从n个小向的兀素中取m(mn)个兀素，按照一定的顺序排成一排，叫做从n个不问的兀素中取m个元素的排列。从n个小向的兀素中，任取m(mcn)个兀素弄成一组，叫做从n个不问的兀素中取m个兀素的组合。?排？列？数?组？合？数从n个小向的兀素中取m(msn)个兀素的所后排列的个数，叫做从n个不向兀素中取出m个兀素的排列数，记为Pnm从n个小向的兀素

11、中取m(nmsn)个兀素的所有组合的个数，叫做从n个不向兀素中取出m个兀素的组合数，记为Cnm选排？列？数全排？列？数?二项式定理二项展开式的性质项数：n+1项(2)指数：各项中的a的指数由n起依次减少1,直至0为止；b的指出从0起依次增加1,直至n为止。川母项中a与b的指数之和均等于n。(3)二项式系数：各奇数项的二项式数之和等于各偶数项的二项式的系数之和2.3 平面几何2.3.1 直线与角直？线(不定义)直线向两方无限延伸，它无端点。？?？射？?？线在直线上某一点旁的部分。射线只有一个端点。线?段直线上两点间的部分。它有两个端点。垂？线如果两条直线相交成直角，那么称这两条直线互相垂直。其中

12、一条叫另一条的垂线，它们的交点叫垂足。斜？线如果两条直线不相交成直角时，其中一条直线叫另一条直线的斜线。点到直线的距离从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线距离。线段的垂直平分线定理：线段的垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。平行线在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线。平行线公理及推论经过直线外一点，有一条而且只价-条直线和这条直线平行。平行于同一条直线的两条直线平行。角的定义有公共点的两条射线所组成的图形，叫做角角的分类周角：3600?平角：1800?直角：900?锐角：00a900?钝角：900a18002.3.2三角形三角形的分类按角分锐角三角形，钝角三角形，直角

13、三角形按边分等腰三角形，等边三角形，不等边三角形三角形的角平分线三角形一个的角的平分线和这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段，叫做三角形的角的平分线。三角形的中线连结三角形一个顶点的线段，叫做三角形的中线。三角形的高三角形一个顶点到它的对边所在直线的垂线段，叫做三角形的高。三角形的中位线连结三角形两边中点的线段，叫做三角形的中位线。?全等三角形定？义能够完全重合的两个三角形叫全等三角形。性？质全等三角形的对应边、对应角、对应的角的平分线、高及中线相等。判？?？定任意三角形?直角三角形(1)两边及夹角对应相等。记为SAS(1)一边一锐角对应相等(2)两角和一边对应相等。记为ASAA或A

14、AS(2)两直角边对应相等。(3)三边对应相等。记为SSS(3)斜边、直角边对应相等(HL)?三角形的四心名？称?定？义?性？质内？心三角形三条内角平分线的交点，叫做三角形的内心(即内切圆的圆心)(1)内心到三角形三边的距离相等。(2)三角形一个顶点与内心的连线平分这个角。外？心三角形三边的垂直平分线的交点，叫做三角形的外心。(即外接圆的圆心)(1)外心到三角形的三个顶点的距离相等。(2)外心与三角形一边中点的连线必垂直该边。(3)过外心垂直于三角形一边的直线必平分该边。重？心三角形三条中线的交点，叫做三角形的重心。(1)重心到每边中点的距离等于这边中线的三分之一。(2)三角形顶点与重心的连线

15、必过对边中点。垂？心三角形三条高的交点，叫做三角形的垂心。二角形的一个顶点与垂心连线必垂直于对边。2.4 立体几何2.4.1 直线与平面平面的基本性质图形作用公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内。(1)判定直线在平面内的依据(2)判定点在平面内的方法公理2:如果两个平(1)判定两个平囿相交的依据向有一个公共点，那它还用具它公共点，这些公共点的集合是一条直线。公理3:经过不在一条直线上的三点，有且只有一个平囿。(2)判定若干个点在两个相交平囿的交线上(1)确定一个平面的依据(2)判定若十个点共面的依据推论1:经过一条直线和这条直线外一点，有且仅什-个平面

16、。(1)判7E若十条直线共面的依据(2)判断岩7个平回重合的依据(3)判断几何图形是平面图形的依据推论2:经过两条相交直线，有且仅一个平面。推论3:经过两条平行线，有且仅什-个平面。空间直线?平行直线公理4:平行于同一直线的两条直线互相平等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，并且方向相同，那么这两个角相等。异面直线空间直线和平面位置关系(1)直线在平囿内有无数个公共点(2)直线和平面相交有且只有一个公共点(3)直线和平面平行一一没有公共点直线和平面平行判定定理?性质定理直判定定理?性质定理线与平面垂直直线与平面所成的角(1)平面的斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条斜线与平

17、面所成的角(2)一条直线垂直于平面，定义这直线与平面所成的角是直角(3)一条直线和平囿平行，或在平囿内，定义它和平囿所成的角是00的角三垂线定理在平囿内的一条直线，如果和这个平囿的一条斜线的射影垂直，那么它和这条斜线垂直三垂线逆定理在平囿内的一条直线，如果和这个平囿的一条斜线垂直，那么它和这条斜线的射影垂直空间两个平面两个平面平行判？定?性？质(1)如果一个平囿内有两条相父直线平行于另一个平囿，那么这两个平囿平行(2)垂直于同一直线的两个平囿平行(1)两个平囿平行，其中一个平囿内的直线必平行于另一个平面(2)如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行(3)一条直线垂直于阴个平行平

18、囿中的一个平囿，它也垂直于另一个平囿相交的二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫二面角的线，这两个半平面叫一面角的面一面角的平面角：以一面角的棱上佗-点为端点，在两个面内分另作垂直棱的两条射线，这两条射线所成的角叫二面角的平面角平囿角是直角的一间角叫做直一面角两平囿两平面垂直判？定?性？质如果一个平囿经过另一个平囿的一条垂线，那么这两个平向互相垂直(1)若一平囿垂直，那么在一个平囿内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面(2)如果两个平面垂直，那么经过A个平囿内一点垂直于第一个平囿的直线，在A个平囿内2.4.2 多面体、棱柱、棱锥？多面体卜由若十个多边形所围成的儿

19、何体叫做多向体。梭柱斜棱柱：侧棱不垂苴于底向的棱柱。直棱柱：侧棱与底卸垂直的棱柱。正棱柱：底面是正多边形的直棱柱。棱锥正棱锥：如果棱锥的底向是止多边形，并且顶点在底向的射影是底向的中心，这样的棱锥叫正棱锥。球到一定点距离等于定长或小于定长的点的集合。欧拉定理简单多向体的顶点数V,棱数E及面数F间有关系：V+F-E=2?多？面体侧面积公式体积公式球2.5 解析几何2.5.1 方程与曲线程与线既念在平囿直角坐标系中，如果某曲线C上的点的坐标Xx,y)都是方程F(x,y)=0的解；反之方程F(x,y)=0的解为坐标的点(x,y)都在曲线C上，那么方程F(x,y)=0叫曲线C的方程，曲线C叫方程F(x

20、,y)=0的曲线。已k曲，戋它骤(1)建立适当坐标系，用(x,y)表示曲线上点P的坐标；(2)写出适合条件M的点P的集合(3)用坐标表示条件M(P),列出方程；f(x,y)=0(4)化方程f(x,y)=0为取间形式(5)证明化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点充条件必条件丁条件2.5.2直线，戋直线与x轴垂直不能用直线与x轴垂直不能用的方直线与坐标轴垂直不能用程直线与坐标轴垂直或过原点不能用AB不全为零八、到直线的距离两条f的平？?？行重？合?垂？直直线关系及条件斜交直线的夹角直线系2.5.3圆圆定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点是圆心，定长是半径。标准方程?一般方程点

21、与圆的位置关系直线与圆的位置关系?圆与圆的位置关系2.5.4椭圆k圆定义:平囿内到两个定点F1,F2的距离之和等刁一个常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做焦点，两定点间的距离叫做焦距。标准方程内？?象隹？点F1(-c,0)？F2(c,0)F1(0,-c)？F2(0,-c)隹？总巨几何性质范围对称性坐标轴是椭圆的对称由，原点是椭圆的对称中心。椭圆的对称中心叫做椭圆的中心。顶点离心率2.5.5双曲线双k线定义：平囿内到两个定点F1,F2的距离之差的绝对值是常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做焦点，两定点间的距离叫做焦距。标准方程由？象隹？点F1(-c,

22、0)？F2(c,0)F1(0,-c)？F2(0,-c)隹？总巨几何性质范围对称性坐标轴是椭圆的对称由，原点是椭圆的对称中心。椭圆的对称中心叫做椭圆的中心。顶点渐近线离心率2.5抛物线勉k线定义：平面内与一个定点F和一条定直线L距离相等的的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦点，直线L叫做抛物线的准线。标准方程隹？点准？线由？象几何性范范质II围对称性曲线关于x轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴。顶占/、坐标原点（0,0）离心率e=12.6 向量部分2.6.1 空间向量空间向量的概念在空间内具有大小和方向的量叫做和向量共线向量定理共向向量定理空间向量基本定理两个向量的数量积空间向量的数量积

23、的性质空间向量的坐标运算两向量的夹角2.6.2 平面向量平向向量的概念在平囿内具有大小和方向的量叫做和向量运算性质实数与向量的积运算律平面向量基本定量?向量平行向重垂直定比分点公式三、常用公式3.1 常用公式公式分类公式表达式乘法与因式分解a2-b2=(a+b)(a-b)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)三角不等式|a+b|&|a|+|b|a-b|a|+|b|a|&b-ba|a|-|b|-|a|waw|a|一兀二次方程的解一-b+v/(b2-4ac)Z2a-b-b+，(b2-4ac)/2a根与系数的关系X1+X2=-b/aX1*X2=c/a注：

24、韦达定理判别式b2-4a=0注：方程有相等的两实根b2-4ac0注：方程有一个实根b2-4ac0抛物线标准方程y2=2pxy2=-2pxx2=2pyx2=-2py直棱柱侧面积S=c*h斜棱柱侧面积S=c*h正棱锥侧面积S=1/2c*h正棱台侧面积S=1/2(c+c)h圆台侧面积S=1/2(c+c)l=pi(R+r)l球的表面积S=4pi*r2圆柱侧面积S=c*h=2pi*h圆锥侧面积S=1/2*c*l=pi*r*l弧长公式l=a*ra是圆心角的弧度数r0扇形面积公式s=1/2*l*r锥体体积公式V=1/3*S*H圆锥体体积公式V=1/3*pi*r2h斜棱柱体积V=SL注：其中，S是直截面面积，

25、L是侧棱长柱体体积公式V=s*h圆柱体V=pi*r2h3.2 几何图形及计算公式平面图形名称符号周长C和面积S止方形a一边长C=4aS=a2长方形a和b-边长C=2(a+b)S=ab三角形a,b,c三边长S=ah/2ha边上的高=ab/2-sinCs一周长的T=s(s-a)(s-b)(s-c)1/2A,B,C内角=a2sinBsinC/(2sinA)其中s=(a+b+c)/2四边形d,D对角线长S=dD/2-sinaa对角线夹角平行四边形a,b一边长S=ahha边的高=absinaa两边夹角菱形a一边长S=Dd/2“一夹角=a2sinaD长对角线长d短对角线长梯形a和b一上、下底长S=(a+b

26、)h/2h高=mhmi-中位线长圆r半径C=兀d=2兀rd一直径S=兀r2=兀d2/4扇形r一扇形半径C=2r+271rx(a/360)a一圆心角度数S=兀r2x(a/360)弓形l弧长S=r2/2(兀a/180-sina)b弦长=r2arccos(r-h)/r-(r-h)(2rh-h2)1/2h矢高=兀ar2/360-b/2r2-(b/2)21/2r半径=r(l-b)/2+bh/2“一圆心角的度数2bh/3圆环R外圆半径S=兀(R2-r2)r内圆半径=兀(D2-d2)/4D外圆直径d内圆直径椭圆D长轴S=兀Dd/4d短轴立方图形名称符号面积S和体积V正方体a一边长S=6a2V=a3长方体a-

27、长S=2(ab+ac+bc)b宽V=abcc-iWj棱柱S一底面积V=Shh高棱锥S一底面积V=Sh/3h高棱台S1和S2上、下底面积V=hS1+S2+(S1S1)1/2/3h高拟柱体S1一上底面积V=h(S1+S2+4S0)/6S2一下底面积S0中截面积h高圆柱r底半径C=271rh高$底=兀r2C一底向周长$侧=ChS底底向积$表=Ch+2s底S侧一侧面积V=S底hS表表面积=兀r2h空心圆柱R外圆半径V=兀h(R2-r2)r内圆半径h高直圆锥r底半径V=兀r2h/3h高圆台r上底半径V=兀h(R2+Rr+r2)/3R下底半径h高球r半径V=4/3兀r3=兀d2/6d一直径球缺h球缺高V=

28、兀h(3a2+h2)/6r球半径=兀h2(3r-h)/3a球缺底半径a2=h(2r-h)球台ri和r2球台上、下底半径V=兀h3(r12+r22)+h2/6h高圆环体R环体半径V=2n2Rr2D-环体直径=兀2Dd2/4r环体截面半径d环体截向直径桶状体D桶腹直径V=兀h(2D2+d2)/12d桶底直径（母线是圆弧形，圆心是桶的中心）h一桶局V=兀h（2D2+Dd+3d2/4）/15（母线是抛物线形）四、坐标几何和二维、三维图形4.1坐标几何?一对垂直相交于平面的轴线，可以让平面上的任意一点用一组实数来表示。轴线的交点是？(0,?0),称为原点。水平与垂直方向的位置，分别用x与y代表。？一条直

29、线可以用方程式y=mx+c来表示，m是直线的斜率(gradient)。这条直线与y轴相交于？(0,?c),与x轴则相交于(p/m,?0)。垂直线的方程式则是x=k,x为定值。？！过(xo,?yo)这一点，且斜率为n的直线是？y-y0=n(xi0)?一条直线若垂直于斜率为n的直线，则其斜率为T/n。通过(xi,?yi)与(x2,?y2)两点的直线是y=(y2yl/x2il)(xi2)+y2(?xW爱？)若两直线的斜率分别为m与n,则它们的夹角。满足于?tan0=m巾/1+mn?半径为r、圆心在(a,?b)的圆，以(xa)?2+(y七)?2=产表示。？三维空间里的坐标与二维空间类似，只是多加一个z

30、轴而已，例如半径为r、中心位置在(a,?b,?c)的球，以(xa)?2+(y七)?2+(zp)?2=r2表示。三维空间平面的一般式为ax+by+cz=d。?三角学?边长为a、b、c的直角三角形，其中一个夹角为。它的六个三角函数分别为：正弦(sine)、余弦(cosine)、正切(tangent)、余害U(cosecant)、正害U(secant)和余切(cotangent)。?sin珏b/ccos9=a/ctan生b/a?csc壮c/bsec9=c/acot冬a/b?若圆的半径是1，则其正弦与余弦分别为直角三角形的高与底。?a=cos0b=sin0?依照勾月定理，我们知道a2+b2=c2o因此对于圆上的任何角度以我们都可得出下列的全等式：？cos2。+sin29=1?三角恒等式根据前几页所述的定义，可得到下列恒等式(identity)：?tan生sin0/coscot生cos0