中考数学综合题专题复习圆专题解析

1、中考数学综合题专题复习【圆】专题解析 一. 教学内容： 1. 圆的内容包括：圆的有关概念和基本性质，直线和圆的位置关系，圆和圆的位置关系，正多边形和圆。 2. 主要定理： （1）垂径定理及其推论。 （2）圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理。 （3）圆周角定理、弦切角定理及其推论。 （4）圆内接四边形的性质定理及其推论。 （5）切线的性质及判定。 （6）切线长定理。 （7）相交弦、切割线、割线定理。 （8）两圆连心线的性质，两圆的公切线性质。 （9）圆周长、弧长；圆、扇形，弓形面积。 （10）圆柱、圆锥侧面展开图及面积计算。 （11）正n边形的有关计算。 二. 中考聚焦： 圆这一章知识在中考试

2、题中所占的分数比例大约如下表： 圆的知识在中考中所占的比例大，题型多，常见的有填空题、选择题、计算题或证明题，近年还出现了一些圆的应用题及开放型问题、设计型问题，中考的压轴题都综合了圆的知识。三. 知识框图： 【典型例题】 【例1】. 爆破时，导火索燃烧的速度是每秒0.9cm，点导火索的人需要跑到离爆破点120m以外的安全区域。这个导火索的长度为18cm，那么点导火索的人每秒钟跑6.5m是否安全？ 分析：爆破时的安全区域是以爆破点为圆心，以120m为半径的圆的外部，如图所示： 解： 点导火索的人非常安全 【例2】. 已知梯形ABCD内接于O，ABCD，O的半径为4，AB6，CD2，求梯形ABC

3、D的面积。 分析：要求梯形面积必须先求梯形的高，即弦AB、CD间距离，为此要构造直角三角形利用勾股定理求高。为了便于运用垂径定理，故作OECD于E，延长EO交AB于F，证OFAB。 此题容易出现丢解的情况，要注意分情况讨论。 解：分两种情况讨论： （1）当弦AB、CD分别在圆心O的两侧时，如图（1）： 过O作OECD于E，延长EO交AB于F 连OC、OB，则CEDE ABCD，OECD OFAB，即EF为梯形ABCD的高 在RtOEC中，EC1，OC4 （2）当弦AB、CD在圆心O的同侧时，如图（2）： 过O作OECD于E，交AB于F 以下证法同（1），略。 【例3】. 如图，已知AB为O的直

4、径，P是OB的中点，求tanC·tanD的值。 分析：为了求tanC·tanD的值，需要分别构造出含有C和D的两个直角三角形。而AB是直径，为我们寻找直角创造了条件。连BC、BD，则得到RtACB和RtADB。可以发现ACDABD，ADCABC，于是，可以把tanC·tanD转化为 解：连结BC、BD AB是O的直径，ACBADB90° ACDABD，ADCABC 作AECD于E，作BFCD于F 则AECADB AC·ADAE·AB 同理，BD·BCBF·AB APEBPF P为半径OB的中点 tanC·

5、tanD3 【例4】. 分析：由已知条件，等边ABC可得60°角，根据圆的性质，可得ADB60°，利用截长补短的方法可得一个新的等边三角形，再证两个三角形全等，从而转移线段DC。 证明：延长DB至点E，使BEDC，连结AE ABC是等边三角形 ACBABC60°，ABAC ADBACB60° 四边形ABDC是圆内接四边形 ABEACD 在AEB和ADC中， AEAD ADB60° AED是等边三角形 ADDEDBBE BEDC DBDCDA 说明：本例也可以用其他方法证明。如： （1）延长DC至F，使CFBD，连结AF，再证ACFABD，得出A

6、DDF，从而DBCDDA。 （2）在DA上截取DGDC，连结CG，再证BDCAGC，得出BDAG，从而DBCDDA。 【例5】. 如图，已知四边形ABCD内接于O，AB是直径，ADDC，分别延长BA、CD交于点E，BFEC交EC的延长线于F，若EAAO，BC12，求CF的长。 分析：在RtCFB中，已知BC12，求CF，故可寻找与之相似的直角三角形，列比例式求解。 解：连结OD，BD ABCAOD ODBC EAAO，EAAOBO AB16，BE24 四边形ABCD内接于O EDAEBC E是公共角 EDAEBC 设ADDCx，EDy，则有 AB为O的直径 ADBF90° 又DABF

7、CB RtADBRtCFB 说明：与圆有关的问题，大都与相似三角形联系在一起。 此题运用了两次相似三角形，找到线段之间的关系，并且运用了方程的思想解几何问题，这是解几何问题的一种重要方法。 【例6】. 如图，已知等腰ABC中，ABAC，以AB为直径的O分别交AC、BC于 解：连结FD AB是直径，ADBC ABAC，BDDC，FADDAB 四边形ABDF是圆内接四边形 CFDB C是公共角 ABCDFC ABAC CDDF （也可以证CFDB，ABAC，BC，CCFD，CDDF。） DE切O于D FADEDF 又CDEEDFFADDAB CDEDAB CDEEDF CDFD CEEF，DECF

8、 设CD3x，AC5x EC9 【例7】. 如图，相交两圆的公共弦长为120cm，它分别是一圆内接正六边形的边和另一圆内接正方形的边。求两圆相交弧间阴影部分的面积。 解：公共弦AB120 【例8】.一个长方体的香烟盒里，装满大小均匀的20支香烟。打开烟盒的顶盖后，二十支香烟排列成三行，如图（1）所示。经测量，一支香烟的直径约为0.75cm，长约为8.4cm。 （1）试计算烟盒顶盖ABCD的面积（本小题计算结果不取近似值）。 （2）制作这样一个烟盒至少需要多少面积的纸张（不计重叠粘合的部分，计算结果 解题点拨：四边形ABCD中，AD长为7支香烟的直径之和，易求；求AB长，只要计算出如图（2）中的

9、O1E长即可。 解：（1）如图（2），作O1EO2O3 四边形ABCD的面积是： （2）制作一个烟盒至少需要纸张： 【例9】. 在直径为20cm的圆中，有一弦长为16cm，求它所对的弓形的高。 解：一小于直径的弦所对的弓形有两个：劣弧弓形与优弧弓形。 如图，HG为O的直径，且HGAB，AB16cm，HG20cm 故所求弓形的高为4cm或16cm【例10】.求：CAD所夹圆内部分的面积。 解：符合题设条件的图形有两种情况： （1）圆心O在CAD的内部，如图（1），连结OC、OD，过O作OEAD于点E OCAB （2）圆心O在DAC的外部时，如图（2），有： 【例11】. 分析：由已知条件可知AB

10、、CD弦的位置不确定，所以要分多种情况讨论，可分为四种情况。 解：（1）当AB、CD不相交时，且AB、CD在圆心的两侧，如图（1）连结OD、OB。 M、N分别是弦AB、CD的中点，OD、OB过圆心O 图（1） （2）当AB、CD不相交，且在圆心O的同侧时，如图（2），连结OB、OC 图（2） （3）当AB、CD相交于点P，且圆心O在DPA的内部时，如图（3），DPA是圆内角， 图（3） （4）当AB、CD相交于点P，且圆心O在DPA的外部时，如图（4） 图（4） 【例12】.已知：如图，圆心A（0，-3），圆A与x轴相切，圆B的圆心B在x正半轴上，且圆B与圆A外切于点P。两圆内公切线MP交y轴

11、于点M，交x轴于点N：（1）求证AOBNPB；（2）设圆A半径为r1，圆B半径为r2，若r1：r23：2，求点M、N的坐标及公切线MP的函数解析式；（3）设点B（x1，0），点B关于y轴的对称点B（x2，0），若x1·x2-6，求过B、A、B三点的抛物线解析式；（4）若圆A的位置大小不变，圆心B在x正半轴上移动，并始终有圆B与圆A外切，过点M作圆B的切线MC，C为切点，MC时，B点在x轴的什么位置？从你的解答中能获得什么猜想？ 解：（1） 设直线MP的解析式为ykxb， （3）设抛物线为yax2bxc（a0） 令y0，则有ax2bxc0 B与B关于y轴对称， x1x20，即b0， 又

12、点A（0，-3），C=-3 （4）MCMP 可证APMAOB 猜想：圆心B在x轴的正半轴上任一位置时，都有切线MP的长等于点B的横坐标或四边形MOBC是长方形。【模拟试题】一. 选择题：（本题共24分，每小题4分，每道题只有一个正确答案） 1. 已知AB是O的直径，半径EOAB于O，弦CDEO于F点，若CDB120°，则的度数为（ ） A. 10°B. 15°C. 30°D. 60° 2. 如图，已知O中，M是弦CD的中点，N为弦AB的中点，并且的度数为130°、90°，则MON的度数为（ ） A. 70°B. 9

13、0°C. 130°D. 160° 3. 已知ABC中，a、b、c是A、B、C的对边，若r是内切圆半径，则ABC的面积可以表示为（ ） A. B. C. D. 4. 已知两圆的半径分别为R、r，且圆心距为d，若，则这两圆的位置关系为（ ） A. 外离或外切B. 相交或内切 C. 外切或内切D. 内切或内含 5. 已知正多边形的边长为a与外接圆半径R之间满足，则这个多边形是（ ） A. 正三边形B. 正四边形C. 正五边形D. 正六边形 6. 已知正方形ABCD边长为5，剪去四个角后成正八边形，则正八边形的边长为（ ） A. B. C. D. 二. 填空题：（本题共1

14、6分，每小题4分） 7. 已知ABC，C90°，B28°，以C为圆心，以CA为半径的圆交AB于D，则的度数为_。 8. 已知ABC内接于O，F、E是的三分之一点，若AFE130°，则C_度。 9. 已知PA切O于A，APO30°，若，OP交于O于C，则PC_。 10. 两圆半径之比为2：1，大圆内接正六边形与小圆外切正六边形的面积比为_。三. 求解下列各题：（本题共18分，每小题6分） 11. 已知AB是O的直径，弦CDAB于E，若弦CD把O分为2：1的两部分，且，求O的直径及AE长。 12. 已知等边ABC内接于O，E是上一点，AE交BC于D，若BD：

15、DC2：1，且AB6，求DE长。 13. 如图所示，AB是O的弦，EF切O于B，ACEF于C。 求证：四. 解答题：（本题共24分，每小题8分） 14. 如图所示，AB切O于B，AE过O点交O于E、C，过C作O切线交AB于D，若。 求证： 15. 如图所示，ABC中，A90°，O是BC上一点，以O为圆心的圆切AB、AC于D、E，若AB3，AC4，求阴影部分的面积。 16. 如图所示，O与O'交于A、B，过A点任意作两圆的割线CAD，若连结CB、DB，问因割线CAD的位置不确定，CBD的大小是否改变？五. 解答题：（本题共18分，每小题9分） 17. 如图所示，PA切O于A，P

16、O交O于B、C，若，AE交BC于D，且BEA30°，DB1，求AP及PB长。 18. 已知一块直径为30cm的圆形铁板，已经截去直径分别为20cm，10cm的圆形铁板各一块。现在剩余的铁板中再截出两块同样大小的圆形，问这两个圆形的最大半径是多少？参考答案一. 选择题。 1. D 2. D 3. B 提示：设ABC的内切圆的圆心为O 连结OA、OB、OC，则ABC可分割成三个三角形：ABO，BCO，ACO 则 应选B 4. C 提示：依题意，有： 所以，或 即，或 两圆内切或外切 5. C 提示：正多边形的边数越多，则边长越小，而有 因为，所以 则，是正五边形，应选C。 6. D 提示

17、：如图所示，所截的四个角是全等的等腰三角形，且GEEFFH 设EFx，则根据勾股定理， 则有 即 应选D二. 填空题。 7. 56° 8. 75°或105° 提示：如图所示： AFE130°，的度数为260° 则的度数为 F、E是的三分之一点 或 9. 12 10. 3：1 如图所示，设大圆与小圆的半径为2r和r 则大圆内接正六边形的边长为2r，小圆外切正六边形的边长为 因为这两个正六边形相似，所以面积比等于边长比的平方 即三. 求解下列各题： 11. 解：如图，分两种情况：（1）点E在OA上；（2）点E在OB上 （1）直径AB弦CD于E， 根

18、据垂径定理，有： A、B分别为和的中点 CD把O分成2：1两部分 的度数为120°，的度数为240° 连结BC，则 在中， （2）当点E在OB上时，AE6 直径为8，AE6或2 12. 解法一：如图（1），ABC是等边三角形，AB6图（1） BCABAC6，BACB60° BD：DC2：1 BD4，CD2 AD·DEBD·CD8 连结CE，BE60° ACBE CAD是公共角 ACDAEC 解法二：如图（2），过A作AGBC于G图（2） ABC是等边三角形，BC6 CGGB3 由解法一得：CD2，BD4 DG1 在中， 在中， 根据相交弦定理，有： 13. 证明一：延长AD交O于D，连结BD，如图（1） AD是直径，ABD90°，2AOAD EF切O于B 1D ACEF于