讲义一元二次方程讲义

1、 考点一、概念(1)内容：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的整式方程就是一元二次方程。 (2)一般表达式： （3）关键点：强调对最高次项的讨论：次数为“2”；系数不为“0”。典型例题：例1、下列方程中是关于x的一元二次方程的是（ ）A B C D 变式：当k 时，关于x的方程是一元二次方程。例2、方程是关于x的一元二次方程，则m的值为 。针对练习：1、方程的一次项系数是 ，常数项是 。2、若方程是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是 。考点二、方程的解内容：使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。应用：利用根的概念求代数式的值； 典型例题：例1、已知的值为2，则的值为 。例

2、2、关于x的一元二次方程的一个根为0，则a的值为 。说明：任何时候，都不能忽略对一元二次方程二次项系数的限制.例3、已知关于x的一元二次方程的系数满足，则此方程必有一根为 。说明：本题的关键点在于对 “代数式形式”的观察，再利用特殊根“-1”巧解代数式的值。例4、已知，求 变式：若，则的值为 。针对练习：1、已知方程的一根是2，则k为 ，另一根是 。2、已知m是方程的一个根，则代数式 。3、已知是的根，则 。4、方程的一个根为（ ）A B 1 C D 5、若 。作业：1、若方程是关于x的一元一次方程，求m的值；写出关于x的一元一次方程。2、已知关于x的方程的一个解与方程的解相同。求k的值；方程

3、的另一个解。考点三、解法方法：直接开方法；因式分解法；配方法；公式法关键点：降次类型一、直接开方法：对于，等形式均适用直接开方法典型例题：例1、解方程： =0; 例2、若，则x的值为 。针对练习：1、下列方程无解的是（ ）A. B. C. D.类型二、因式分解法:方程特点：左边可以分解为两个一次因式的积，右边为“0”，方程形式：如， ，典型例题：例1、的根为（ ）A B C D 例2、若，则4x+y的值为 。变式1： 。变式2：若，则x+y的值为 。变式3：若，则x+y的值为 。例3、方程的解为（ ）A. B. C. D.例4、解方程： 例5、已知,则的值为 。变式：已知,且,则的值为 。针对

4、练习：1、下列说法中：方程的二根为，则 . 方程可变形为正确的有（ ）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个2、写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为1，且两根互为倒数： 写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为1，且两根互为相反数： 3、若实数x、y满足，则x+y的值为（ ）A、-1或-2 B、-1或2 C、1或-2 D、1或24、方程：的解是 。类型三、配方法在解方程中，多不用配方法；但常利用配方思想求解代数式的值或极值之类的问题。典型例题：例1、试用配方法说明的值恒大于0，的值恒小于0。例2、已知x、y为实数，求代数式的最小值。变式：若，则t的最大值为 ，最小值为 。例3、已知为实数，

5、求的值。变式1：已知，则 .变式2：如果,那么的值为 。类型四、公式法条件：公式： ,典型例题：例1、选择适当方法解下列方程： 说明：解一元二次方程时，首选方法是因式分解法和直接开方法、其次选用求根公式法；一般不选择配方法。考点四、根的判别式根的判别式的作用：定根的个数；求待定系数的值；应用于其它。典型例题：例1、若关于的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 。例2、关于x的方程有实数根，则m的取值范围是( )A. B. C. D.例3、已知二次三项式是一个完全平方式，试求的值.说明：若二次三项式为一个完全平方式，则其相应方程的判别式即：若，则二次三项式为完全平方式；反之，若为完全平方式

6、，则.针对练习：1、当k 时，关于x的二次三项式是完全平方式。2、已知方程有两个不相等的实数根，则m的值是 .考点五、根与系数的关系前提：对于而言，当满足、时，才能用韦达定理。主要内容：应用：整体代入求值。典型例题：例1、已知一个直角三角形的两直角边长恰是方程的两根，则这个直角三角形的斜边是（ ）A. B.3 C.6 D.说明：要能较好地理解、运用一元二次方程根与系数的关系，必须熟练掌握、之间的运算关系.例2、解方程组：说明：一些含有、的二元二次方程组，除可以且代入法来解外，往往还可以利用根与系数的关系，将解二元二次方程组化为解一元二次方程的问题.有时，后者显得更为简便.例3、已知关于x的方程

7、有两个不相等的实数根，（1）求k的取值范围；（2）是否存在实数k，使方程的两实数根互为相反数？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由。典型例题：1、关于x的方程有两个实数根，则m为 ,只有一个根，则m为 。 2、解方程，判断关于x的方程根的情况。3、如果关于x的方程及方程均有实数根，问这两方程是否有相同的根？若有，请求出这相同的根及k的值；若没有，请说明理由。考点六：一元二次方程应用题典型例题一例 某公司八月份售出电脑200台，十月份售出242台，这两个月平均每有增长的百分率是多少？分析 设平均每月的增长率为x.那么九月份售出电脑台，即台，十月份售出台，即台，于是根据题意，可以列出方程.解：

8、设平均每月增长的百分率为x.依题意，有 （不符合题意，舍去）答：平均每月增长的百分率为10%.说明 在有关增长率的问题中，要掌握等量关系：，其中a为变化前的数，如本题中的200台，p为变化后的数，如本题中的242台，x为增长（降低）率，n为变化次数，如本题从八月到十月份共变化两次，因此.典型例题二例 某工厂第三年的产量比第一年的产量增长21%，平均每年比上一年增长的百分率为 .解 设平均增长率为，则%. . （不合题意，舍去）. =10%.说明：本题主要考查利用一元二次方程求平均数增长率的问题，解题关键是设出未知数，列出方程.典型例题四例 （安徽省，1997）如图，要建一个面积为150的长方形

9、养鸡场，为了节约材料，鸡场的一边靠着原有的一条墙，墙长为米，另三边用竹篱笆围成，如果篱笆的长为35米.（1）求鸡场的长与宽各为多少？（2）题中，墙的长度对题目的解起着怎样的作用？解 （1）设鸡场的宽为米，则 当宽为10米时，长为35-20=15米.当宽为米时，长为35-15=20米.（2）由（1）的结果可知，题中的墙长对于问题的解有严格的限制作用.当时，问题无解；当时，问题有一解，只可建宽为10米，长15米一种规格的鸡场；当时，问题有两解，可建宽10米，长15米，或宽为米，长为20米两种规格的鸡场.说明：本题考查利用一元二次方程解与面积有关的实际问题，解题关键是设出未知数，表示出长与宽，根据面

10、积公式列出方程，易错点是在讨论的限制作用时漏解或叙述不清.典型例题五例将进货单价为40元的商品按50元出售时，能卖500个，已知该商品每涨价1元，其销售量就要减少10个，为了赚8000元利润，售价应定为多少，这时应进货多少个？分析：该题属于经营问题.设商品单价为元，则每个商品得利润元，因为每涨价1元，其销售量会减少10个，则每个涨价元，其销售量会减少个，故销售量为个，为了赚得8000元利润，则应有，进而可以求解.解设每个商品涨价元，则销售价为元，销售量为个.根据题意，得；整理，得解之，得，.经检验，都符合题意.当时，当时，答：要想赚8000元，售价应定为60元或80元，若售价为60元，则进货量

11、应为400个；若售价为80元，则进货量应为200个.说明：根据题意列出相应的等量关系是解决问题的关键.对于本题要注意单价的上涨与销售量的减少之间的相互关系.典型例题六例 某人将2000元人民币按一年定期存入银行，到期后支取1000元用于购物，剩下的1000元及应得利息又全部按一年定期存入银行，若存款的利率不变，到期后本金和利息共1320元，求这种存款方式的年利率。分析：可设存款的年利率为，依题意，以本利和为主线列方程解之。解设这种存款的年利率为，则2000元存入一年后，应得本金和利息为元，支取1000元后，还有元，再存入一年后，本息应为元，依题意，得整理，得（所得结果要符合实际意义）解之，得，（不合题意，舍去）.答：这种存款方式的年利率为.说明：存款利率是一种典型的应用题，此类题一般年利率为未知数，依存款本利和列方程解之。典型例题七例 “坡耕地退耕还林还草”是国家对解决西部地区水土流失生态问题，帮助广大农民脱贫致富提出的一项战略措施，某村长为带领全村群众自觉投入坡耕地退耕还林行动，率先垂范，1999年将自家的坡耕地全部退耕，并于当年承包20亩坡耕地的还林还草及管护任务，而实际完成的亩数增加的百分率为.如果保持这一增长率不变，200