抛物线焦点弦性质

1、抛物线的焦点弦【教学背景】前面已经学习了抛物线的定义、标准方程、抛物线的几何性质以及抛物线与直线的位置关系，通过对抛物线过焦点的弦的性质研究，达到优化学生的认知结构，同时抛物线过焦点的弦的性质又是历届模拟考和高考的热点，女口2001 年的高考题就出现两个题目。【问题探究】【探究 1】求弦长|AB|。ABAF|BF（xi号）（X2#）xiX2p。【结论 1】AB x1x2p。【探究 2】还有没有其他方法求弦长|AB| ？（1）当时，直线 L 的斜率不存在，此时 AB 为抛物线的通径2AB 2p结论得证;【结论 7】AMiBMi，MiF AB。进而可得如下结论：以 AiBi为直径的圆与直线 AB

2、相切。【探究 8】点A、0、Bi的位置关系？当时，设直线L的方程为:(x少an，即:x y cot-，代入抛2物线方程得：y22 py COt p20，由韦达定理yiy22p ,yiy2pcot由弦长公式得AB ,1 cot2【结【探2sin【结论yiy2【结yi目22p(1 cot2)2p.2。sin若直线 I 的倾斜角为，则弦长AB过焦点的所有弦中，何时最短？. 2p _i12P sin过焦点的弦中通径长最小。从刚才的解题过程中我们能否发现了AB的最小值为2p，Xi2yix2p2y22px1x24】丫皿2p； (2)xix2=42p.2。sin2p。A、B 两点的坐标关系?2 2(yiy2

3、)P。4P24【探究 5】以 AB 为直径的圆与抛物线的准线的位置关系？设 M 为 AB 的中点，过 A 点作准线的垂线 AAi,过 B 点作准线的垂线 BBi,过 M 点作准线的 垂线 MMi，由梯形的中位线性质和抛物线的定义知：MMiAA1lBBi竺_竺，所以二者相切。2 2 2【探究 6】连接 AiF、BiF 贝UAiF、BiF 有什么关系？AAiAF,AAiFAFAiAAi/OFAAiFAiFOAiFOAiFA同理BiF0BiFBAiFBi90AiF BiF。【结论6】AiFBiF。由“探究 5”知 Mi在以 AB 为直径的圆上 AMiBMi。由“探究 6”知AiFBi为直角三角形，M

4、i是斜边 AiBi的中点,AiMiMiFMiFAiMiAiFAAiFAFAi，AAiFFAiMAAiMi90，AFAiAiFMi90， MiF AB。【结论 5】以 AB 为直径的圆与抛物线的准线相切。【探究 7】刚才我们证得AiFBi为直角三角形，那么图形中还有哪些直角三角形?【探究 9】FA ?, FB由抛物线的定义得：|FA&少FB X21 1【探究 10】一r是定值吗？（2001 年高考题）|FA| |FB【法 1】因为直线 I 的倾斜角为，过 A 作 AR 垂直于x轴,垂足为 R,设准线与X轴的交点为（这实际上是极坐标的观点，想法不错） 【法 2】可利用平行线分线段的比定理证

5、得。因为koAy122p,koB1y22y2，而y1y22p，Xy1y1Pp2p2所以k2p2y2k所以三点共线。koA20B1，ppy2【结论 8】点A、0、Bi三点共线。【类似结论】（1）B、0、Ai三点共线；（2）设直线 A0 与抛物线的准线的交点为（3）设直线 B0 与抛物线的准线的交点为Bi,贝 U BBi平行于X轴；（2001 年高考题）Ai,贝 U AAi平行于X轴。【结论 9】FA xiX2R1,则RR,AA AF R1F同理可1BF1 cospFR - AF cos211 cosAFp|OF|BFOF|AA,|ABBB1AF忑，而AFBF| AB,QF| |OF|AA| |B

6、B1又AA AF , BB1BF1112|FA|FBOFp（数与形的结合，这是重要的数学思想）IAB2p2p【法 3】11 2sinsin22FAFBFA|FBM1F2p(.p)2 psin(Q FM1B1JM1FI .p）。sin（利用前后知识的联系，不错）【法 4】直接利用“结论 9”，可得证。此时，学生参与热情还很高，还急于想发表自己的观点，但下课铃声已想，教师指出：今天我们讲的是抛物线过焦点的弦的性质的探究，整堂课中同学们积极地思考，思维活跃， 探究出抛物线过焦点的弦的很多性质，希望同学们在以后的学习中要养成善于思考，勇于探究的良好习惯，此课到此，但探究还没结束，其余性质请同学们回去继续研究。如：1.A,F与AMi的交点是否在y轴上?2.BMi, AMi,AiF,BiF构成的四边形是什么四边形?3.线段EF平分角PEQ;AF4. BF5.KAEKBE0;6.当一时 AE BE ,当一时 AE 不垂直于 BE。2 2【课后反思】i、设计意图：本节课设计主要注重对学生能力的培养，整堂课要求学生观察、思考、猜验证，通过联想、 类比，培养学生的探究能力，数形结合的能力，同时，紧扣抛物线的定义，抛物线与直线的位