空间向量在立体几何中初步应用

1、空间向量在立体几何中初步应用大境中学 赵玉梅一、 向量产生的历史背景综述早在二千多年前，古希腊著名科学家亚里士多德在他的力学研究中发现，作用在物体同一点上的两个力，其结果不是两个力大小直接相加，而是遵循着“平行四边形法则”。所以向量的概念萌芽于二千多年前，亚里士多德是运用向量知识的先行者。但是德国学者施提文（15481620）在他的静力学研究中应用了这个法则，意大利著名科学家伽利略（15641642）清楚地叙述了这个法则，我们习惯上把这个法则称为阿基米德的“平行四边形法则”。在向量理论体系的建立过程中，几位数学、物理学家不懈努力的轶事。 （1）复数的几何表示（或几何解释）1545年意大利的数学

2、家卡当在他的著作大术首次提出，这样的数，用现代的写法就是。1797年挪威数学家维塞尔（17451818）提出了对复数的一个几何解说。这方面的工作除了维塞尔外，还有瑞士的阿工（1808年提出）和著名的德国数学家高斯（1831年提出复平面），所以复数的几何表示的发现在数学史上是一件不朽的大事，它使虚幻的数有了着落，有了实际的模型；平面向量和复数成一一对应，向量可以借助复数进行加、减、乘运算，而且这些运算都具有清晰的几何意义（如加法符合平行四边形法则，乘法相当于向量作旋转及伸缩长度的几何变换），这对建立平面向量理论提供了一个个理想的模式。（2）哈密顿的复数规范化与寻找“三维复数”的工作。英国著名数学

3、家、物理学家哈密顿（18051865）进一步对复数规范化，他把直接写成，而且定义了它们的四则运算：加、减法：；乘 法：；除 法：。哈密顿寻找“三维复数”没有成功，但是著名的数学、物理学家麦克斯韦（18311870）他将四元数中的数量部分与向量部分分开来作为各自的实体处理，他把四元数的向量部分独立出来发展成为更符合物理需要的更简便的数学工具，这就是3维向量。（3）3维向量分析的产生。麦克斯韦把向量作为实体从哈密顿的四元数中分离出来时，还是把向量看作四元数的向量部分来叙述的。真正对向量作为一门独立的数学分支进行研究，是由美国的吉布斯（18391903）和英国人亥维赛（18501925）分别进行的，

4、他们的思路基本是一致的，即把向量（），建立了现在的向量的线性运算，以及向量的内积、外积等理论体系。由此可见，向量理论体系在十九世纪前后建立。（4）由3维向量到维向量.德国数学家格拉斯曼（1809-1877），他认为既然3个有序数组可以表示一个向量，那4个有序数组呢？个有序数组呢？于是他大胆地提出维向量的概念，并模仿空间向量，建立起相关理论，所以向量从3维到维的推广是一种思维上的类比推广。当今市场经济的社会里，维向量在商品交易中也有广泛的应用。如某超市经营1000种商品，可按某一种顺序编号，然后把这1000种商品的单价排列起来，构成1000维向量，然后把顾客购买的商品数量也按此顺序排列起来（未购

5、的一律记为零），则顾客向超市付款额就是两者的数量积。只要把相应的运算程序制成电脑软件，通过运行软件，超市运作有了今天的快捷。再如某航空公司要招聘一批人员，对体格提出10项数字要求，这10个数字按一定顺序排好，就是一个10维向量，然后要求每个应聘人员去体检，把十项结果也按同样的顺序排列起来，也组成一个10维向量，两个向量差的模越小，说明应聘者越接近公司的要求。二、 向量的知识结构向量及其基本概念向量的坐标表示基本定理向量的物理背景向量的线性运算向量的应用向 量向量的内积、外积、混合积三、 向量进入中学数学教材的历史进程“在我国的中小学数学教学内容中，80年代教育部中学实验教材开始在中学教材中引入

6、向量，1992年上海编写的一期教材（陈昌平教授）、是比较早地写入向量知识的，以向量为工具解决立体几何的方法，成为解决计算题和证明题的通性通法，大大降低了解题的技巧性，深受广大师生和学生的认可和欢迎。” 当时的“一期教材”初步尝试应用向量的内积，求异面直线所成角的大小等，由于启用了一种新的处理方式，而且思路简洁、有效能算，所以学生对立体几何的学习，充满信心、心情愉悦，不再为“巧添辅助线”而愁眉苦脸。前苏联的学生，由于他们较早的学习向量知识，掌握了运用向量处理几何问题的要领，于是在国际奥林匹克数学竞赛几何题目的解答中，他们屡屡得手。命题专家们为了提高竞赛的公平性而煞费苦心，但是当他们面对应用向量解

7、决几何问题已是游刃有余的前苏联学生时，只能感叹：“防不胜防。”如今的“二期教材”在“一期教材”的基础上，又迈出了可喜的一步，教材又引进了平面的法向量，这样立体几何中所有的距离和角的问题，都能通过向量计算得出。正如吴文俊先生所说：“为了使中学几何腾飞，必须采取数量化的方法，也就是要及早地引入坐标，使几何解析化，使几何可以计算”。吴文俊先生的观点是很有见解的、非常深刻的，是从现代数学思想的高度指出了几何教改的一种方向，“二期教材”立体几何教材设计正是体现了这样的指导思想。四、 向量处理几何问题的理论分析以往的立体几何问题常常是给出一定的几何条件，通过逻辑推理、演绎论证得出需要证明的几何结论；现在应

8、用向量处理立体几何问题，常把一定的几何条件通过基向量，转化为向量关系式，再运用向量的基本运算即加法、减法、数乘、内积、外积等，转化为新的向量关系式，从而使得要求的几何结论得以解决，具体处理的过程见下图：五、 初步运用空间向量（正交基向量）处理立体几何问题的实例分析（一）度量空间的距离.求空间的距离，综合法处理的常用方法有：直接法：作高构造三角形； 间接法：等体积性。平面的法向量的求法:待定系数法和共面向量法。1、 运用平面的法向量，求点到平面的距离例题 如图，直二面角中，四边形是边长为2的正方形，为上的点，且平面，求点到平面的距离。解：容易知道，平面，知，中，为中点，故，以为原点，射线、分别为

9、、轴建立空间直角坐标系，如图所示。则，设平面的一个法向量为，则令，则，轴，故，点到平面的距离.例题 在三棱锥中，三角形是边长为4的正三角形，平面平面，、分别是、的中点，求点平面的距离。解 运用法向量求解的方法1. 如图，建立空间直角坐标系，则，设是平面的一个法向量，则，令，则，得，所以到平面的距离。运用法向量求解的方法2. 设平面，垂足为，因为、四点共面，由共面定理，可设。由，所以点到平面的距离为。2、 运用平面的法向量，求异面直线间的距离。例题 已知长方体中，求异面直线与间的距离。解：建立平面直角坐标系，如图所示，则，所以，设且，则 ，令，则，设向量在向量上的射影长为，则异面直线与间的距离，

10、则.，异面直线与间的距离为。（二）度量空间的角1、直线与直线所成的角。求直线与直线所成的角，运用空间向量方法处理与综合论证法处理的对比说明。结论:各有千秋，各取所长。例题 在棱长为4的正方体中，是正方形的中心，点在平面上的射影为，点在上，且，求证：。分析：要证明，只需证明即可。证明：令,，则（另解：综合论证法。，由（证明完毕）2、运用平面的法向量计算直线与平面所成的角。例题 如图，在四棱柱中，底面是正方形，侧棱底面，是的中点，求直线与底面所成的角的大小。解：令底面是正方形的边长为，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示。则，所以，易知为平面的一个法向量，设直线与底面所成的角的大小为,异面直

11、线与所成的角的大小为，则，所以直线与底面所成的角的大小为。例题 如图，已知正方形和矩形所在的平面互相垂直，是线段的中点，求证：平面证明：以为原点，建立空间直角坐标系，如图所示。则，设平面的一个法向量为，则，令，则，得，设直线与平面所成的角的大小为，则即与平面所成的角为0，且直线不在平面内，所以平面。3、运用平面的法向量，求解平面与平面所成的二面角。二面角的大小为二面角的大小为例题 在棱长为1的正方体中，是正方形的中点，点是棱上的点，且，求平面与平面所成锐角的大小。解：以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示。则，则是平面的一个法向量。设为平面的一个法向量，则，不妨令，则，设平面与平面所成锐角

12、为，则，所以平面与平面所成锐角的大小为。注意到：在两个平面内，各任取一点（均不在棱上），运用检验向量与两个法向量的点积符号判定：同等异补。，其中所以平面与平面所成角的大小与相等（否则为其补角）。六、 初步运用空间向量（自由向量）处理立体几何问题的实例分析。空间四边形和正方体是立体几何中常见的两个图形，学生在小学学习中对正方体有所感知，在高中处理正方体中的立体几何问题，更多的采用正交基向量，即建立空间直角坐标系，通过位置向量的运算来完成。空间四边形则是学生在高中才学习，与正方体相比较而言，缺少了两两互相垂直且共点的三条直线，建立空间直角坐标系困难了一些，运用向量能否处理？通过自主学习，结合教学实

13、践，略举数例，来说明用自由向量处理空间四边形中的几何问题：1、运用平行向量1.1证明空间四边形中三点共线问题.例题1、如图一所示，空间四边形中，、分别是、的中点，是线段的中点，是三角形的重心，求证：、三点共线.分析：在空间合理的选取一组基向量，将和按此基向量分解，若能证明 ，即证明（），找到实数，问题得到解决.证明：= 所以 所以 由于、是一组不共面向量，由、可得，即，即、三点共线.1.2证明空间四边形中三线共点问题.例题2、如图二所示，空间四边形中，点、分别是、的中点，求证：、相交于一点且点平分线段、.分析：利用向量相等的性质，即，可知、三点重合. 解：设的中点为，的中点是，的中点是，则由已

14、知条件可得，所以， 即、重合为一点. 、相交于一点且点平分线段、得到证明.2、应用向量数量积：2.1活用向量数量积的变形式，求空间四边形中的角（包括线线成角、线面成角、面面成角）。2.1.1判断空间四边形中角的范围问题.例题3、如图三所示，空间四边形中，判断三角形的形状.分析：三角形中，；. 解：由已知条件， 可得，又因为， =，所以是锐角，同理可得和都是锐角，即三角形是锐角三角形.2.1证明空间四边形中线线垂直.例题4、如图四所示，空间四边形，是三角形的重心,是上的一点，求证：且.分析：欲证明且，只需证明和 即可. 解：由题意可得，所以，因为， 即得 ，所以， ，从而且得到证明.2.1确定空

15、间四边形中点的位置.例题5、如图五所示，空间四边形中，、互相垂直，且，是的中点，点在线段上，且，判断点的位置.分析：由题中条件可得，即，利用题中条件，即可求出实数的值，于是点的位置得到确定. 解：设，则 ，=因为，所以，得即，又由 所以，解得，得到. 2.1求空间四边形中线线成角大小. 例题6、如图七所示，空间四边形中，、分别是和的中点，求异面直线和所成角的大小.分析：求异面直线和所成角的大小，只需求出向量与所成的角即可.但是需要注意的是异面直线所成角的范围是，两个向量所成角的范围是.解：由已知条件可得， 又因为，得，即向量与所成角大小为 所以异面直线和所成角的大小为.2.1.5求空间四边形中

16、线面成角大小.例题7、如图八所示，空间四边形中，求直线与平面所成角的大小.分析：求出平面的单位法向量，可知直线与平面所成角的大小为. 解：由题意可知， 所以，即直线与平面所成角的大小为.2.1.6求空间四边形中面面成角.例题8、如图九所示，空间四边形中，平面， ，求二面角的大小.分析：平面与平面的法向量所成角与所求二面角的平面角相等或互补，只需求出平面与平面的法向量所成角即可.解：由已知条件可知，令平面的法向量为，平面的法向量为，则， 则由拉格朗日恒等式可得， =，得= 因为二面角是锐角，所以二面角的大小为.2.2巧用向量内积的变形式，求空间四边形中的距离（两点间距离、线线距离、线面距离、点面

17、距离、点线距离）。2.2.1度量空间四边形中线段长度.例题9、如图六所示，空间四边形中，边、互相垂直，连接 对角线、，且有，求边的长度.分析：根据向量模长与内积的关系：，即可求出边的长度. 解：由题意可得，知， = 所以，即. 2.2.2求空间四边形中点线距离.例题10、如图十所示，空间四边形中，线段、两两互相垂直，求点到直线的距离. 分析：求出直线的单位方向向量，由向量内积的几何意义可知，的值，是点到经过点作直线的法向量所在直线的距离，即点到直线的距离为.解：由已知条件可得， 所以点到直线的距离为. 2.2.3求空间四边形中线线距离.例题11、如图十一所示，空间四边形中，=1，求异面直线与的

18、距离.分析：找到与、同时垂直的单位向量，然后分别在异面直线与上各取一点，不妨取和，由向量内积的几何意义可知，的值即为异面直线与的距离.解：由已知条件可得， 取、中点分别为、，连结，容易知道，取， 则 所以异面直线与的距离为 .2.2.4求空间四边形中点面距离.例题12、如图十二所示，空间四边形中，线段、两两互相垂直，求点到平面的距离. 分析：如果是平面的一个单位法向量，由向量内积的几何意义可知，的值即为点到平面的距离.解：由已知条件可得， 和在平面内，共点于.且有，即（） 平面，则得到. = 所以点到平面的距离为. 利用空间自由向量求解空间四边形中与点、线、面有关的角，距离、线段长、共点、共线等问题，关键是恰当的选取基向量，将相关向量用选取的基向量