第三章 单相液体稳定渗流

1、第三章 单相液体稳定渗流第十一节 保角变换内容概要：上节介绍了用复势理论求解平面渗流场的一些问题，其中一些简单的边界问题都得到了解决，但对于边界形状较复杂的问题则方程繁琐复杂，甚至难以求解，而对于这类问题，保角变换方法则显示了其优越性。形状复杂的边界问题可以通过保角变换而转化为简单形状的流场，而往往这些简单形状边界的流场问题的解已经求得，这样就可以使复杂的边界问题的求解变得较为简单。本节应牢固掌握保角变换的概念、变换前后井半径、产量的关系及保角变换在直线供给边缘附近一口井问题的应用问题；了解用保角变换法求解平面渗流问题的基本原理及特点。课程讲解：讲解ppt教材自学： 平面渗流问题的保角变换求解

2、法本节导学上节介绍了用复势理论求解平面渗流场的一些问题，其中一些简单的边界问题都得到了解决，但对于边界形状较复杂的问题则方程繁琐复杂，甚至难以求解，而对于这类问题，保角变换方法则显示了其优越性。形状复杂的边界问题可以通过保角变换而转化为简单形状的流场，而往往这些简单形状边界的流场问题的解已经求得，这样就可以使复杂的边界问题的求解变得较为简单。本节将介绍用保角变换方法求解平面渗流场的问题。本节重点1、保角变换的概念；2、变换前后井半径、产量的关系；3、保角变换在直线供给边缘附近一口井问题的应用；4、保角变换在圆形地层一口偏心井问题的应用；5、保角变换在圆形地层n口井的环形井排问题的应用；6、保角

3、变换在直线无穷井排问题的应用；一、保角变换的概念1.z平面到 平面上的变换在复平面上复变数z=x+iy，引入新的复变数 = +i ， 与z之间有关系z=z（ ）或= （z），则or即（1）（1）式确定了平面z上的点与上的点的对应关系， = （z）是单值或多值，则z平面上对应平面上一点或几点。如：则即在z平面上给定一点，在平面上可得到对应的一点。同样z平面上一条线在面上有对应的一条或几条线，对于z平面上的一个渗流场，同样可在面上有对应的渗流场。2、解析函数的导数和幅角（2）设解析函数= （z）把z平面一点z=x+iy变换到平面内 = +i 的一点。用M和 分别代表函数在z点的导数的摸和幅角，即或

4、由（2）式知，在d /dz0时，变换= （z）使z点处很短的线伸长或缩短了M倍，并旋转了一个角。这样在z点附近很小的图形变换到平面内具有与原来相同的形状，在z平面两条相交的曲线间的夹角变换到平面内保持不变，称这种变换为保角变换。3.变换前后井半径的关系复平面z上有一口半径为Rw的井，通过变换到平面上将有一口半径为w的井与之对应。 w dvxzyRwldn保角变换示意图由（2）式知：或 （3）4.井产量变换前后不变（4）由（2）式：（5）（6）代入（4）有：表示对应井产量相等。二、举例分析设z平面上的单向流动复势为：则作变换：则 即三、保角变换的应用1、直线供给边缘附近一口井作变换 （1）令z=

5、ia，得=0令z=x，由（1）式有：即 （2）说明z平面上的x轴变为平面上半径为e的圆周。（3）即在平面为圆形地层中心井问题，产量公式为：把（3）代入：（4）保角变换的求解方法：寻找一个适当的变换，将复杂的物平面变为较易求解的像平面，求出像平面的产量公式后，再利用变换式把参数代回物平面，从而得到实际问题的解。2.圆形地层一口偏心井作变换：（5） 为Z0的共轭复数则Z平面Z0点变到平面=0点，在Z平面圆周上任取一点Z，代入(5)式:（6） 即Z平面半径为Re圆周上的点对应平面为单位圆周上的点。又因则（7）为偏心井产量公式。0xyZ0,Rww, w Re 3.圆形地层n口井的环形井排d环形井排变换

6、图Z平面上在半径Re的圆形地层内沿半径R的圆周均匀布置n口等产量的井，井半径Rw，井底势w,由于对称，只考虑中心角为2/n的扇形区域1口井由 将井点、边界分别变换，可知上述问题转化圆形地层一口偏心井的问题。 可得单井产量4.直线无穷井排直线无穷井排示意图具有直线供给边缘的半无穷地层，边缘上势e，与边缘相距L处有一直线井排，井距2a，等产量，井半径Rw，井底势w。由于对称，只考虑中心角为2/n的扇形区域1口井由将井点、边界分别变换，可知上述问题转化圆形地层一口偏心井的问题(直线井排的各井点影射为平面的同一点)可得单井产量例题分析：内容小结：上节介绍了用复势理论求解平面渗流场的一些问题，其中一些简单的边界问题都得到了解决，但对于边界形状较复杂的问题则方程繁琐复杂，甚至难以求解，而对于这类问题，保角变换方法则显示了其优越性。形状复杂的边界问题可以通过保角变换而转化为简单形状的流场，而往往这些简单形状边界的流场问题的解已经求得，这样就可以使复杂的边界问题的求解