第三讲 立体几何综合

1、第三讲 立体几何综合【知识梳理】一、位置关系1、线面平行的证明（1）判定定理:如果平面外一条直线与这个平面内一条直线平行, 那么这条直线与这个平面平行；（2）两平面平行的性质定理：，a = ，b = a b .2、面面平行的证明：（1）判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面, 那么这两个平面平行. （2）垂直于同一条直线的两个平面平行; （3）平行于同一个平面的两个平面平行.3、线面垂直的证明： （1）判定定理；（2）如果两条平行线中一条垂直于一个平面, 那么另一条也垂直于这个平面； （3）一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面, 它也垂直于另一个平面； （4）两个平面垂直,

2、 在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面（5）如果两个相交平面都与第三个平面垂直, 那么它们的交线与第三个平面垂直. 4、面面垂直的证明：（1）计算二面角的平面角为90 ；（2）如果一个平面经过另一个平面的一条垂线, 那么这两个平面垂直;二、夹角1、异面直线的夹角： 已知两条异面直线, a b ，经过空间任一点O 作直线/, /a a b b ''，把, a b ''所成的锐角（或直角）叫异面直线, a b 所成的角（或夹角）. , a b ''所成的角的大小与点O 的选择无关，为了简便，点O 通常取在异面直线的一条上；异面直线所成的角

3、的范围为(0,90，如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直，记作a b . 求两条异面直线所成角的步骤可以归纳为四步：选点平移定角计算.范围：090< .2、线面夹角：斜线和平面所成的角，简称“线面角”，它是平面的斜线和它在平面内的射影的夹角. 求直线和平面所成的角，几何法一般先定斜足，再作垂线找射影，然后通过解直角三角形求解，可以简述为“作（作出线面角）证（证所作为所求）求（解直角三角形）”. 通常，通过斜线上某个特殊点作出平面的垂线段，垂足和斜足的连线是产生线面角的关键.范围：090 . 3、二面角：1. 定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角（dihed

4、ral angle）. 这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面. 记作二面角AB . （简记P AB Q ）2. 二面角的平面角：在二面角l 的棱l 上任取一点O ，以点O 为垂足，在半平面, 内分别作垂直于棱l 的射线OA 和OB ，则射线OA 和OB 构成的AOB 叫做二面角的平面角.范围： 1800.【典例分析】 例1. 如图，长方体1111D C B A ABCD -中，底面1111D C B A 是正方形，O 是BD 的中点，E 是棱1AA 上任意一点。 (1证明：BD 1EC ；(2如果AB =2，AE =2，1EC OE , ，求1AA 的长。例2. 【2012高考新

5、课标文】如图，三棱柱ABC A 1B 1C 1中，侧棱垂直底面，ACB=90°，121，D 是棱AA 1的中点( 证明：平面BDC 1平面BDC（）平面BDC 1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比.【变式练习】：1. 如图，正方形ABCD 所在平面与平面四边形ABEF 所在平面互相垂直，ABE 是等腰直角三角形，, , 45AB AE FA FE AEF = （I ）求证：EF BCE 平面；（II ）设线段CD 、AE 的中点分别为P 、M ，求证： PM BCE 平面 1 BDCA 1 2. 如图，长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AB 1，AA 1AD 2. 点E

6、为AB 中点 (1求三棱锥A 1ADE 的体积； (2求证：A 1D 平面ABC 1D 1； (3求证：BD 1平面A 1DE .例3：四棱锥P-ABCD 中，PA 底面正方形ABCD 于A ，且A=AB=a ，E 、F 是侧棱PB 、PC 的中点。 （1）求证：EF 平面PAB ； （2）求直线PC 与底面ABCD 所成角 的正切值；【变式训练】1. 在三棱柱111ABC A B C -中，各棱长相等，侧掕垂直于底面，点D 是侧面11BB C C 的中心，则AD 与平面11BB C C 所成角的大小是 ( A 30B45C60D902. 如图，已知六棱锥ABCDEF P -的底面是正六边形，

7、AB PA ABC PA 2, =平面则下列结论正确的是（ ） A. AD PB B. PAB 平面PBC 平面 C. 直线BC PAE 平面D. 直线ABC PD 与平面所成的角为45°3. 如图6，在四棱锥P-ABCD 中，PA 平面ABCD ，底面ABCD 是等腰梯形，AD BC ，AC BD.（）证明：BD PC ； （）若AD=4，BC=2，直线PD 与平面PAC 所成的角为30°，求四棱锥P-ABCD 的体积.例4. 如图, 直三棱柱111ABC A B C -中, AB=1,1AC AA =°. (证明: AB 1AC ; (求二面角A 1AC B

8、的平面角的余弦值【变式训练】1. 边长为a 的等边三角形ABC 中，AD BC 于D, 沿AD 折成二面角B-AD-C 后，2aBC , 这时二面角B-AD-C 的大小为 2. (2011年高考全国新课标卷理 如图，四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，DAB=60°,AB=2AD,PD底面ABCD. ( 证明：PA BD ；( 若PD=AD，求二面角A-PB-C 的余弦值。BA【家庭作业】1. 如果一个几何体的三视图如图所示（单位长度：cm ），则此几何体的体积是（ ） A 396cm B 380cm C(380cm + D3224cm 3 2. 设, l m 是两条

9、不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是( A 若l m ，m ，则l B 若l ，l m /，则m C 若l /，m ，则l m / D 若l /，m /，则l m /3. 设l,m,n 为三条不同的直线，、为两个不同的平面，下列命题中正确的个数是 （ ） 若l ，m ，则l m 若，n l m l n m 则l 若l m ，m n ，l ，则n 若l m ，m ，n ，则l nA. 1B. 2C. 3D. 44. 正方体ABCD -1111A B C D 中，1BB 与平面1ACD 所成角的余弦值为（ ）（A ）3 （B）3 （C ）23 （D） 35. 如图所示是某一容器的三视图，现向

10、容器中匀速注水，容器中水面的高度h 随时间t 变化的可能图象是( 6. 在正方形S G 1G 2G 3中，E 、F 分别是G 1G 2、G 2G 3的中点，现沿S E 、S F 、EF 把这个正方形折成一个四面体，使G 1、G 2、G 3重合为点G ，则有（ ）.A. SG 面EFG B. EG 面SEFC. GF 面SEF D. SG 面SEF7. 如图：点P 在正方体1111ABCD A BC D -的面对角线1BC 上运动，则下列四个命题： 三棱锥1A D PC -的体积不变； 1A P 面1ACD ； 1DP BC ； 面1PDB 面1ACD 。 其中正确的命题的序号是_.8. 如图, 在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，AC 3，BC 4，AA 14，点D 是AB 的中点， （I ）求证：AC BC 1； （II ）求证：AC 1/平面CDB 1； G 2FE3 G 1正视图俯视图左视图9. 已知四棱锥 PABCD 及其三视图如下图所示，E 是侧棱 PC 上的动点 (1求四棱锥 PABCD 的体积； (2不论点 E 在何位置，是否都有 BDAE？试证明你的结论 10.如图为一简单组合体，其底面 ABCD 为正方形，PD平面 ABCD，ECPD，且 PDAD2EC2. (1求四棱锥 BCEPD 的体积； (2求