初中七年级数学竞赛培优讲义全套专题29归纳与猜想[精品]

1、专题29归纳与猜想阅读与思考当一个问题涉及相当多的乃至无穷多的情形时，可从问题的简单情形或特殊情况人手，通过对简单 情形或特殊情况的试验，从中发现一般规律或作出某种猜想，从而找到解决问题的途径或方法，这种研 究问题的方法叫归纳猜想法.归纳是建立在细致而深刻的观察基础上，发现往往是从观察开始的，观察是解决问题的先导，解题 中的观察活动主要有三条途径：1 .数与式的特征观察.2 .几何图形的结构观察.通过对简单、特殊情况的观察，再推广到一般情况需要注意的是，用归纳猜想法得到的结果，常常具有或然性，它可能是成功的发现，也可能是失败 的尝试，需用合乎逻辑的推理步骤把它写成无懈可击的证明.C三种状态所显

2、示的数字，推出”处的数字【例1】下图是飞行棋的一颗骰子，根据图中 A B,（“东方航空杯”上海市竞赛试题）B)8从中发现规律，作出推断。解题思路：认真观察A, B, C三种状态所显示的数字,【例2】如图，依次连结第一个正方形各边的中点得到第二个正方形，再依次连结第二个正方形各边的中点得到第三个正方形， 按此方法继续下去，若第一个正方形边长为 1,则第n个正方形的面积是（湖北省武汉市竞赛试题）解题思路：从观察分析图形的面积入手，先考察n=1, 2, 3, 4时的简单情形，进而作出猜想.【例3】如图，平面内有公共端点的六条射线OA OB OG OD OE OF从射线OA开始按逆时针方向依次在射线上

3、写出数字1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,.(1) “17”在射线 上.(2) 请任意写出三条射线上数字的排列规律.(3) “2 007 ”在哪条射线上？(贵州省贵阳市中考试题)解题思路：观察发现每条射线上的数除以6的余数相同.【例4】观察按下列规则排成的一列数：1121231234123451 ()1， 2'丁 3'2'1' 4'3'2'1' 5'4'3' 2' 1' 6'()2 .(1) 在()中，从左起第 m4"数记为F(m),当F(m)=2001时，求m的值和

4、这m个数的积.(2) 在(X)中，未经约分且分母为 2的数记为c.它后面的一个数记为 d,是否存在这样的两个数c和d,使cd= 2 001 000? 如果存在，求出 c和d；如果不存在，请说明理由.(湖北省竞赛试题)解题思路：按分母递减而分子递增的变化规律，对原数列恰当分组，明确每组中数的个数与分母的关系、未经约分且分母为2的数在每组中的位置，这是解本例的关键，、”，2+3”，、一，2+5 7一【例5】在2,3两个数之间，第一次写上-=5,第二次在2.5之间和5, 3之间分别写上一二=2和5+3,一=4,如图所不：第。次操作：23第1次操作*253第2次操作,2-543第3次操作：第k次操作是

5、在上一次操作的基础上,在每两个相邻的数之间写上这两个数的和的1 k,(1) 请写出第3次操作后所得到的 9个数，并求出它们的和.(2) 经过k次操作后所有的数的和记为&,第k+ 1次操作后所有数的和记为0+1,写出8+1与S之间的关系式.(3) 求&的值.(“希望杯”邀请赛试题)解题思路：(1)先得出第3次操作后所得到的 9个数，再把它们相加即可.(2) 找到规律，即毒次操作几个数的时候，除了头尾两个数2和3之外，中间的n2个数均重复计算了 2次，用&表示出8+1(3)根据(1) , (2)可算出&的值.能力训练1 .有数组(1 , 1, 1) , (2 , 4

6、, 8) , (3, 9, 27),，则第100组的三个数之和为(广东省广州市竞赛试题)2.如图有一长条型链子，其外形由边长为1 cm的正六边形排列而成.其中每个黑色六边形与白色六边形相邻，若链子上有35个黑色六边形,则此链子有个白色六边形.(2013年“实中杯”数学竞赛试题)1 23 12 34 53，”7,中，第98个数是.按一定规律排列的一串数:3' 3'3' 5'5' 5'5' 5'7' T(山东省竞赛试题)4 .给出下列丽列数2, 4, 6, 8, 10,，1 9946, 13, 20, 27, 34,，1 99

7、4则这两列数中，相同的数的个数是 （）（浙江省竞赛试题）5 .如图，/ AOB= 45° ,对OA上到点O的距离分别为1, 3, 5, 7, 9, 11 ,的点作OA的垂线且与OBf交，得到并标出一组黑色梯形，面积分别为S, S2, S3,，则So=6. 一条直线分一张平面为两部分,二条直线最多分一张平面为4部分，设五条直线最多分平面为 n部分，则n等于（C. 24（北京市“迎春杯”竞赛试题）7.观察下列正方形的四个顶点所标的数字规律.2013这个数标在（）逸】个比方粉（第2个正方'形）那么第3个正方痂（第4个正方形）A.第503个正方形的左下角B.第503个正方形的右下角C

8、.第504个正方形的左下角D.第504个正方形的右下角12151017 14 -1d 3i111111819 - N -7121119 f16 -15 -14 113f 20125 - 24 25 22 21（2013年浙江省衢江市竞赛试题）8.自然数按下表的规律排列： 求上起第10行，左起第13列的数.（2）数127应在上起第几行，左起第几列.（北京市“迎春杯”竞赛试题）9 . 一串数排成一行，它们的规律是这样的：头两个数都是1,从第三个数开始，每一个数都是前两个数的和，也就是 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 -问：这串数的前100个数中（包括第100个数）

9、有多少个偶数？（“华罗庚金杯”竞赛试题）10 .将一个圆形纸片用直线划分成大小不限的若干小纸片，如果要分成不少于50个小纸片，至少要画多少条直线？请说明理由.（“五羊杯”竞赛试题）11 .下面是按一定规律排列的一列数:,，1 1第 1 个数：2-(1 + )；1(_1、(-121-(-11第2个数：1 _ 1十中十1 |1十上！；3 < 2 .< 3 4 11 (-1Y (-121- (-13 T(-1)4(-1)5131_1+l1+kd! 11+k2£4 < 2 .< 3 4 一 5 一 6 1第n个数:+a,+1211+131 十尸n +112 J 342n那么，在第10个数，第11个数，第12个数，第13个数中，最大的数是哪一个?12 . 有依次排列的3 个数：3， 9， 8对任相邻的两个数，都