初中数学模型解题法

1、初中数学模型解题法解答题1. （2001江苏苏州6分）如图，已知 AB是半圆。的直径，AP为过点A的半圆的切线。在 上任取一点C （点C与A、B不重合），过点C作半圆的切线 CD交AP于点D;过点C作 CEXAB ,垂足为E.连接BD,交CE于点F。（1）当点C为的中点时（如图1）,求证：CF=EF ;（2）当点C不是 的中点时（如图2）,试判断CF与EF的相等关系是否保持不变，并证 明你的结论。【答案】解：（1）证明：.DA是切线，AB为直径，DA ABo 点C是 的中点，且 CELAB, 点E为半圆的圆心。又DC是切线，DCXECo又CEAB , 四边形 DAEC是矩形。 .CD/AO,

2、CD=AD。,即 EF= AD= EC 。 .F 为 EC 的中点，CF=EF 。（2） CF=EF保持不变。证明如下：如图，连接BC,并延长BC交AP于G点，连接AC,AD、DC是半圆。的切线，DC=DA。 ./ DAC= / DCA。. AB 是直径，ACB=90 。 .CG=90 。 / DGC+ / DAC= / DCA+ / DCG=90 。 ./ DGC= / DCG。 在4GDC 中，GD=DC。 DC=DA , .1. GD=DA。.AP是半圆。的切线，APXABo又. CELAB,，CE/AP。 . BCFs bgd , BEF BAD o o,. GD=AD , C CF=

3、EF 。【考点】探究型，圆的综合题，切线的性质，矩形的判定和性质，平行线分线段成比例定理， 等腰三角形的判定，相似三角形的判定和性质。【分析】（1）由题意得DALAB,点E为半圆的圆心，DCLEC,可得四边形 DAEC是矩形， 即可得出，即可得EF与EC的关系，可知 CF=EF 。（2）连接BC,并延长BC交AP于G点，连接 AC,由切线长定理可得 DC=DA , / DAC= / DCA ,由角度代换关系可得出/ DGC= / DCG ,即可得 GD=DC=DA ,由已知可得 CE / AP , 所以，即可知CF=EF 。2. （2001江苏苏州7分）已知一个三角形纸片 ABC ,面积为25

4、, BC的长为10, /B、/C 都为锐角，M为AB边上的一动点（M与A、B不重合），过点M作MN / BC交AC于点N , 设 MN=x。（1）用x表示 AMN的面积；（2） AAMN沿MN折叠，使 AMN紧贴四边形 BCNM （边AM、AN落在四边形 BCNM所 在的平面内），设点A落在平面BCNM内的点A , A MN与四边形BCNM重叠部分的 面积为y。用的代数式表示 y,并写出x的取值范围；当x为何值时，重叠部分的面积 y最大，最大为多少？【答案】解：（1） MN/BC, . AMNs abc。,即。（2）当点A落在四边形BCMN内或BC边上时，（0 v xw 5）。当点A在四边形B

5、CMN外，连接AA 与MN交于点G与BC交于点F ,1. MN / BC, ,即。.AG= x。a AA =2AG=x。.A F=x5。 , MP o o，重合部分的面积 。综上所述，重合部分的面积。;当x= 时，y最大，最大值为 y最大=。【考点】翻折变换（折叠问题），相似三角形的判定和性质，二次函数的最值。【分析】（1）根据已知条件求出 AMNs abc,再根据面积比等于相似比的平方的性质即 可求出 AMN的面积。（2）根据已知条件分两种情况进行讨论，当点 A落在四边形 BCMN内或BC边上时和当 点A在四边形BCMN外时进行讨论，第一种情况很容易求出，第二种情况进行画图，连 接AA与MN

6、交于点G与BC交于点F,再根据面积比等于相似比的平方的性质求出即可.再根据求出的式子，即可求出重叠部分的面积y的最大值来。3.（江苏省苏州市 2002年7分）已知：O与。外切于点，过点 的直线分别交。 、O于 点、，。的切线交。于点、，为。的弦，（1）如图（1）,设弦交于点，求证：；（2）如图（2）,当弦 绕点 旋转，弦 的延长线交直线 B于点 时，试问：是否仍然成立？ 证明你的结论。【答案】解：（1）证明：连结，过点 作。与。的公切线。 O又二是。的切线，。又丁 ,。又丁 ,。,即。（2）仍成立。证明如下：连结，过点作。和。的公切线。 -是。的切线，。.二。 O又丁 ,。又丁 ,。,即。【考

7、点】相切两圆切线的性质，弦切角定理，切线长定理，等腰三角形的性质，对顶角的性 质，相似三角形的判定和性质。【分析】（1）连结，过点作。与。的公切线。根据弦切角定理可得，由也是。的切线，根据切线长定理可得，从而根据等腰三角形等边对等角的性质，得到 ，由对顶角相等的性质，得到。又，从而，根据相似三角形的性质即可证明。（2）同（1）可以证明。4.（江苏省苏州市 2002年7分）如图，梯形 OABC中，。为直角坐标系的原点，A、B、C的坐标分别为（14, 0）、（14, 3）、（4, 3）。点P、Q同时从原点出发，分别作匀速运动。其 中点P沿OA向终点A运动，速度为每秒1个单位；点Q沿OC、CB向终点

8、B运动。当这 两点中有一点到达自己的终点时，另一点也停止运动。（1）设从出发起运动了 秒，如果点Q的速度为每秒2个单位，试分别写出这时点 Q 在OC上或在CB上时的坐标（用含 的代数式表示，不要求写出的取值范围）；（2）设从出发起运动了 秒，如果点P与点Q所经过的路程之和恰好为梯形OABC的周长的一半。试用含的代数式表示这时点 Q所经过的路程和它的速度；试问：这时直线PQ是否可能同时把梯形 OABC的面积也分成相等的两部分？如有可能，求出相应的 的值和P、Q的坐标；如不可能，请说明理由。【答案】解：（1）当点Q在OC上时，如图，过点 C作CELOA于点E,过点Q作QFLOA 于点F。依题意,有

9、 OE=4 , EC=3 , OC=5, OQ=2。 由OCEsoqf 得，即。，当点Q在OC上时，点Q的坐标为。当点Q在CB上时，如图，过点 C作CMLOA于点M,过点Q作QN，OA于点N。. CQ=2 -5, OM=4 + 2 5=2 1。又MQ=3, .当点 Q在CB上时，点 Q的坐标为（）。（2）二点P所经过的路程为 ，点Q所经过的路程为 OQ,且点P与点Q所经过的路程之和恰好为梯形OABC的周长的一半，+OQ= （14+ 3+10+ 5）,即 OQ=16。点Q所经过的路程为16-,速度为。不能。理由如下：当Q点在OC上时，如图，过点 Q作QFLOA于点F。则 OP= , QF=。 O

10、又 ，令，解之，得。 当 时，,这时点Q不在OC上，故舍去；当 时，这时点Q不在OC上，故舍去。 当Q点在OC上时，PQ不可能同时把梯形 OABC的面积也分成相等的两部分。 当 Q 在 CB 上时，CQ=16 5=11, O当Q点在CB上时，PQ不可能同时把梯形 OABC的面积也分成相等的 两部分。综上所述，这时PQ不可能同时平分梯形 OABC的面积。【考点】动点问题，勾股定理，相似三角形的判定和性质。【分析】（1）当点Q在OC上时，作直角三角形 OCE和OQF,由二者相似即可求出此时点Q的坐标。当点 Q在CB上时，过点 C作CMLOA于点M,过点Q作QNLOA于点N,即 可得出OM=4 +

11、2 5=2 -1,从而求出此时点 Q的坐标。(2)由点P与点Q所经过的路程之和恰好为梯形OABC的周长的一半，列出等式，+OQ= (14+ 3+10+ 5),即可求出点 Q所经过的路程。用路程+时间即可求得速度。分Q点在OC上和Q点在OC上，分别讨论即可得出结论。5.(江苏省苏州市 2003年7分)如图1,。的直径为AB ,过半径 OA的中点G作弦CE XAB ,在上取一点 D,分别彳直线 CD、ED ,交直线 AB于点F、M。(1)求/ COA和/ FDM的度数；(2)求证： FDMACOM;(3)如图2,若将垂足G改取为半径 OB上任意一点，点D改取在 上，仍作直线CD、ED, 分别交直线

12、AB于点F、Mo试判断：此时是否仍有 FDMACOM?证明你的结论。【答案】解：(1) .AB 为直径，CEXAB, CG=EG。在 RtCOG 中， OG= OC, . OCG=30 。 c JCOA=60 。又 / CDE的度数=的度数= 的度数=/ COA的度数=60 , ./FDM=180 -zCDE=120 。(2)证明：. / COM=180 -zCOA=120 , .JCOM=/FDM。在 Rt 4CGM 和 Rt 4EGM 中，,R Rt ACGMRtAEGM (HL)。 ./ GMC= / GME。又DMF= / GME ,GMC= / DMF。/.A FDMA COMo(3

13、)结论仍成立。证明如 / EDC的度数=的度数=的度数=/ COA的度数， ./FDM=180 OA=/COM。. AB 为直径，CE ABo在 Rt 4CGM 和 Rt 4EGM 中，. . Rt CGM Rt EGM (HL)。/ GMC= / GME。 FDMCOM。【考点】圆周角定理，锐角三角函数，特殊角的三角函数值，线段垂直平分线的性质，直角三角形两锐角的关系，平角定义，直角三角形全等的判定和性质，垂径定理，相似三角形的判定。【分析】(1)由于CGXOA,根据垂径定理可得出， ，那么根据圆周角定理可得出/ CDE= /COA,在Rt ACOG中，可根据 OG是半径的一半得出/ AOC

14、是60 ,那么就能得出/ FDM=180 -zCDE=120 。(2)在(1)中根据垂径定理得出 OA是CE的垂直平分线，那么 CMG和 BMG就应该 全等，可得出/ CMA=/EMG,也就可得出/ CMO=/FMD,在(1)中已经证得/ AOC= / EDC=60 ,那么/COM=/MDF,因此两三角形相似。(3)可按(2)的方法得出/ DMF= ZCMO,关键是再找出一组对应角相等，还是用垂径定 理来求，根据垂径定理我们可得出，那么/ AOC=/EDC,根据等角的余角相等即可得出/ COM= / FDM ,由此可证出两三角形相似。6.(江苏省苏州市2003年7分)OABC是一张放在平面直角

15、坐标系中的矩形纸片，。为原点，点A在x轴上，点 C在y轴上，OA=10, OC=6。(1)如图1,在OA上选取一点G,将 COG沿CG翻折，使点 。落在BC边上，记为E, 求折痕CG所在直线的解析式。(2)如图2,在OC上选取一点 D, WA AOD沿AD翻折，使点。落在BC边上，记为 。求折痕AD所在直线的解析式；再作F / AB ,交AD于点F,若抛物线 过点F,求此抛物线的解析式，并判断它与直线 AD的交点的个数。（3）如图3, 一般地，在 OC、OA上选取适当的点，使纸片沿 翻折后，点。落在BC边上，记为。请你猜想：折痕 所在直线与中的抛物线会有什么关系？用（1）中的情形验证你的猜想。

16、【答案】解：（1）由折叠法知，四边形 OCEG是正方形，OG=OC=6。，G （6, 0）, C （ 0, 6）。设直线CG的解析式为y=kx+b ,则，解得。，直线CG的解析式为：y= x+6。（2）在 Rt AABE中，。，CE =2。设 OD=x,贝U DE=x , CD=6-x,在 RtDCE中，解得。则 D （0,）。设AD所在直线的解析式为 y=kx + ,由于它过 A （10, 0） ,k=。AD所在直线的解析式为。 EF / AB, E （2, 6）, 设 F （2, yF）。 . F 在 AD 上，。 F （2,）。又.点F在抛物线上，解得h=3。 抛物线的解析式为。联立和得

17、，即。 =0,，直线AD与抛物线只有一个交点（2, ）。（3）例如可以猜想：（i）折痕所在直线与抛物线只有一个交点；或（ii）若作 EF /AB,交DG于F,则F在抛物线 上。验证：（i）在图1中，折痕为CG,将y= -x+6代入，得，即O =0, .折痕CG所在直线与抛物线 只有一个交点。或（ii）在图1中，D即C, E即E, G即G,交点F也为G （6, 0）,当x=6时，。一. G点在这条抛物线上。【考点】二次函数综合题，折叠的性质，正方形的判定和性质，待定系数法，曲线点的坐标 与方程的关系，勾股定理，一元二次方程根的判别式。【分析】（1）根据折叠的性质可知：四边形 OGEC是个正方形，

18、因此 OC=OG=6,据此可得 出G点的坐标，然后用待定系数法即可求出直线CG的解析式。（2）求出D的坐标，根据折叠的性质可知 AE =OA,那么可在RtABE中求出BE 的长，从而可求出 CE的值。在 RtCDE中，CD=6 -OD, DE =OD ,根据勾股定理 即可求出OD的长，也就得出了 D点的坐标，然后可用待定系数法求出直线AD的解析式。中已经求得 CE的长，即F点的横坐标，可根据直线AD的解析式求出F点的坐标，然后将F的坐标代入抛物线中即可求出抛物线的解析式.从而可根据抛物线的解析式来判 断其与x轴交点的个数。（3）可以猜想：（i ）折痕所在直线与抛物线 只有一个交点：（ii）若作 EF /AB,交 DG于F,则F在抛物线 上。验证（i ）时，将y= x+6代入，证明 =0即可。验证（ii） 时，说明G （6, 0）满足即可。7.（江苏省苏州市2004年7分）某中学为筹备校庆活动，准备印制一批校庆纪念册。该纪 念册每册需要10张8K大小的纸，其中4张为彩页，6张为黑白页。印制该纪念册的总费用 由制版费和印刷费两部分组成，制版费与印数无关，价格为：彩页 300元/张，黑白页 50 元/张；印刷费与印数的关系见下表。印数a （单位：千册）1w a5 5 a 10彩色（单位：元/张）2.2 2.0黑白（单位：元/张）0.7 0.6（