2021届高考数学圆锥曲线压轴题专题03圆锥曲线与垂心问题(通用版解析版)

1、专题3、111锥曲线与垂心问题从近几年圆锥曲线的命题风格看，既注重知识又注重能力，既突出圆锥曲线的本质特征。而现在圆锥 曲线中面积、弦长、最值等几乎成为研究的常规问题。“四心”问题进入圆锥曲线，让我们更是耳目一新。 因此在高考数学复习中，通过让学生研究三角形的“四心”与圆锥曲线的结合问题，快速提高学生的数学 解题能力，增强学生的信心，备战高考.三角形的垂心：三角形三条高线的交点（1 ）、H是 A43C的垂心=HA- BC = HB - AC = HC AB = 0 0（2）、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离得2倍。经典例题：例L （2020 浙江高三）记椭圆C：/+2/=1

2、的左右焦点为鸟，尸2,过F?的直线/交椭圆于A , B, A， 3处的切线交于点夕，设”入。的垂心为，则P的最小值是（）A.屈B. 73C. "D."【答案】D【分析】先根据题意，得到",o）,设直线/的方程为y = k X一5，根据题意，得到8（“，乃），求出在点A，8处的切线方程，联立切线方程，得出点P轴，得出H的横坐标为72，再由耳"，P鸟求出H的纵坐标为yH =晅k，得出归川二¥% +噂 22 2k结合基本不等式，即可得出结果.【详解】椭圆=1的左右焦点为 由题意，易知直线/的斜率存在，（若斜率不存在，则写，工,P三点共线,不能构成三角

3、形），设直线/的方J2 I程为y = & x-半，3（肛），对炉+ 2/2=1两边同时求关于x的导数，得2x + 4»' = 0,则 y' = 一2y则椭圆在点A（x, X）处的切线斜率为k2M则椭圆在点A（x，y）处的切线方程为N- M = -，；（'一不），即工尸+ 2片y = x； + 2y2 即玉工+ 2%丁 = 1 ；3椭圆在点3a2,%）处的I为/工+2为），=1,品+2杵1得产2升，则工通一看乃女（吃一七）x2x + 2y2y = 1 1巧凹工 + 2)1%) = >i又aE死尸的垂心为，则P"，"工，"

4、;"，尸乙，即P”J_X轴，则”的横坐标也为正，记的纵_V2坐标为 ,山丹“_L PF)得 ku -k. = 1, Ivi.'1, 一ll = 1 ,则 y.=支匚攵, 应+正式.近222因此|。"| = |划一力|= 孚攵+ * .因为/过点尸2,所以直线/叮椭圆必有两个交点，故AwRIL&rO,W栏考即女=±立时，等号成立.故选：D. 3【点睹】本题主要考查椭I别中的最值问题，考查椭圆的切线方程，涉及基本不等式求最值，属于跨章行综 合题.例2. （2020.江苏省高三期中）已知耳，凡是双曲线二-"=1（“>0力>0）的左、

5、右焦点，过点E且垂直于 a lr实轴的直线与双曲线的两条渐近线分别相交于8两点，则坐标原点O可能为AA84的（）A.垂心B.内心C.夕卜心D.重心【答案】A【分析】根据三角形四种心的性质，即可得答案:【洋】MB.若。为A4BK的内心，则。到直线的距离等于O6=c,显然不可能，。到直线河 的距离恒小于0石.故B铠 时C. ?；。为MB耳的外心，则。耳=。6=。4,二4耳，4鸟，和已知矛盾.故B ： 对D,若。为AA%的重心,则因=2。玛,这也显然错误,c根据排除法，。可能为AA8片的垂心，故选：A.【点睛】本题考查双曲线中三角形的几种心的性质，考查逻辑推理能力，求解时注意三角形各种心的定义.X2

6、 y2例3、（山东高考理）平而直角坐标系八0，中，双曲线G：r-=1（。0力 。）的渐近线与抛物线 a"" b'G：£=2y（0）交于点O,A,8,若AOAB的垂心为g的焦点，则G的离心率为.3【答案】-2【解析】设。4所在的直线方程为y = 2工，则03所在的直线方程为），=一2工，aa解方程组卜V = 7"，所以点A的坐标为二也抛物线的焦点尸的坐标为o，S .因为尸是A4BC的垂心，所以心火"=一1、b, => CT-所以/=二=1+土= 4a" cr【名师点睛】本题考查了双曲线，抛物线的标准方程与几何性质，意在考查

7、学生对圆锥曲线基本问题的把 握以及分析问题解决问题的能力以及基本的运算求解能力，三角形的垂心的概念以及两直线垂直的条件是突破此题的关键.例4、（2020年福建省高三联考16题）已知：椭圆+ = 1的右焦点为F.M为上顶点，。为坐标原点，84直线/交椭圆于尸,。两点，当F为"QM的垂心时，则"QM的面积为答案三也27【解析】 F为"QM的垂心，. MF 1 PQ,PF 1QMHi : 1 Zli M（0,2）, 77（2,O）,kyjp = 1, kPQ = 1,二汇=1设直线尸。方程为）' = x+f,尸（内,）,。（马，）联立彳84得3/+4仪+ 2产一

8、8 = 0，y = x + t可得 = 8产+96>0,即，e（2326）,且可得再+占=一%，玉石=3产，：PF 工QM , ：.pKqM =（x2,y）（为 必 -2） = 0,即 xAx2 -2x2 + yy2 -2y, = 2xtx2 +（f-2）（xt +x2） + r-2t=,_ = 3r + 2f-16=（）解得f = 一|或f = 2，q3256'11 = 2时,P,Q,M 三点共线（舍去）,； f = § ,此时 n +x2 = j -Vj%2 = 5y , _14|PQ| = Jl + A Qq +）二例看二1而，点M到宜线尸。的距离行 7卮.S M

9、p（=LPQ.d = - y22.小 PQ 2 ”77【点储】本题主要考查了根据a，c的值求椭圆的方程以及利用弦长公式求三角形的面积，涉及了三角形垂 心的性质、韦达定理、点到直线的距离公式，属于较难题.2例5、已知点。,0）在椭圆C： = 1上，过点尸（?,0）作直线交椭§于点4,8, &48。的垂心为T,若垂心丁在y轴上.则实数机的取值范围是【答案】(1)/+二=1： 223【解析】当直线斜率不存在时，设X (切，)，B(7W, 此时 T (0, 0).则行丽=0, ：.)r+ni (1 - w) =0，99又一+m2 = 1，联立解得 nF 下或 m= 1、)，J nF

10、-.2§。当直线斜率存在时，设T (0, t)(悻0), A (xi, yi), B (x2t y2),设直线方程为：y=k(x-m),则直线QT的斜率为-t, ,ABLQT,，攵=一!又.BT_LAQ, /. (-X2, t - yz) (1 - xi, - yi)=0,即 xiX2+yiy2=X2-tyi，化为(2*+l) x2 - 2mx+m2 - 2*=0, 1联立2 x； XX2+了2二天2十七 gx -in)， xix2+yiy2=xi+x2 - m, (*) d(XF)22V A>0, /.2t2+l - m2>0, /. x + x n=5, x-i x

11、n-七2t 1 2 2t2+l玉一MU I"7(3+W) + "/= 等J,代入(*)可得23，_in 2)八22广=-3i - 2,*.* 2广 > 0,m < I-/723.,.m2+3m+l<0,解得三立<m<_三叵，22综上可知：实数m的取值范惘为一 上正 7底2 .23【点睛】本题考查椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到（）及根。系数的 关系、相互垂直的直线斜率之间的关系等是解题的关键，属于中档题.2例6、（2020年浙江省绍兴市期末15题）己知椭圆;+ V=1的上顶点为M ,直线/与该椭圆交于只。两 点，且点

12、。,。）恰为的垂心，则直线/的方程为.4【答案】y = X 【解析】上顶点M（。），右焦点F为垂心（1,0） 因为勺川=7,且尸“，/，所以h = L所以设尸。直线），=升爪y = x + m且设尸81）, Q（刈，竺）由x2 , 消 y,得 3x44心+2加-2=0-+）= 12 ' = 16?722 - 12 < 27rr - 2） >0, m2<3 ,x1+x = -9 xx1 =-）1V2= （Xl+?r； ） （T2+?n ） =XlX2+w （xi+x：） +加2 =2nr -2 4m2nr 一 2+ nr =33又下为MP。的垂心，尸£1_河0

13、, ：.PF MQ = 0 PF =（-xf-yl）,MQ = （x2f y2-l）, PF-MQ = x2 + y -xx2 -yy2 =x2 +% +m-xlx2-yiy242m2 - 2 nr - 2 八.2 4 八= ？ + m = 0 - nr + = 0 ,33333，3nr + m - 4 = 0, m = 土 m = 1 经检验满足"户3 3存在满足条件直线/方程为：x-yH = 0, 3x - 3y - 4=0x-y+l=0过M点即MP重合 不构成三角形，.3x-3y-4 = 0满足题意.4故答案为y=X一大【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系,考查垂心的几何性质，

14、考查韦达定理的应用，属于中档题.例7、（2020.辽宁省高三期末）已知"，F）分别是双曲线二一二=1（。0力0）的左、右焦点，过点g且 cr lr垂直于实轴的直线与双曲线的两条渐近线分别相交于4 B两点，若坐标原点。恰为ABF2的垂心（三角形三条高的交点），则双曲线的离心率为（）A. WB. V2C. 6D. 3【答案】C【解析】”（-g°），E（c，。），则双曲线的渐近线为y = ±2x,abbebebe则当x = -c时，y = ±-'C = ±一；设A（c,一）,8（一g一一） aaaa若坐标原点。恰为ABF?的垂心，OA，BF2

15、,即。48X=0，即（c,） , （2c,-） =0 ,则2。2+（）' = 0» . （）2= 2a2 a aab2 = 2a2 = c a2-* c2 = 3a2 则。=/54,则离心率e = £ = "" =,故选 C.a a点俯：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于为,。的方程或不等式，再根 据a,"c的关系消掉b得到&c的关系式，而建立关于a,b,c的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的 几何性质、点的坐标的范围等.例8、（2019云南省曲靖二中模拟16题）己知A3O内接于抛物线）*=4x,

16、其中。为原点，若此内接三 角形的垂心恰为抛物线的焦点，则aABO的外接圆方程为.【答案】x2-9x+y2=0【解析】抛物线关于x轴对称，内接三角形的垂心恰为抛物线的焦点，三边上的高过焦点，.另两个顶点4 B关于x轴对称，即，铝。是等腰三角形，作乂。的中垂线交x轴与C点，而6是,四的中垂线，故C点即为ZU5O的外接圆的圆心，OC是外接圆的半径，设X （xi，2后），B（X1，-2百），连接8巴 则B产L4O,2a/xT4玉 _*.* k3F = - N，匕。=- , , kBF9k.4O = , 7：7 二 一 1,一玉X,（1_为）玉整理，得XI（XI-5） =0,则x】 = 5, （xi=0

17、不合题意，舍去）,F。的中点为（今. "），且MV曲.,.宜线MV的方程为丁一百=芈（X-:当xi=5代入得2百x+4y-9有=0, TC是MAT与"轴的交点,：.C（ - > 0）,29Q9而人4。的外接圆的半径。c=鼠 于是得到三角形外接圆方程为（X-）2+=（5）-。空的外接圆方程为：炉-9.叶俨=0,故答案为N-9卢铲=0.【点睛】本题考查抛物线的简单性质，考查了两直线垂直与斜率的关系，是中档题 22例9、（2018年福建预赛）已知兄、马分别为椭圆=的左、右焦点，点。在椭圆。上，且片PA的垂心为"一，一；.则椭圆C的方程为；一33【答案】+ = 1

18、43（2 J6 5、【解析】设E（-C,O）, A（c,。）,H ”尸尸2的垂心为H ，得耳"，尸鸟.X/5所以H9一2，解得/=. + C -C33由点尸生,11在椭圆C上，得士+ 1 = 1.结合"2一 =°2=1，解得2=4,*=3.3 9（r b-)7所以椭圆C的方程为工+t=1.4 3例10. (2020.成都市高三期中)若。四的垂心恰是抛物线yMx的焦点，其中。是原点，H、3在抛物线 上，则。43的而积骅.【答案】10>/5【详解】抛物线的焦点为尸(1，0).因尸为015的垂心，则。尸L",故可设儿方的坐标为皿2,功),时,一川3>

19、;0).于是。4的方科W，% =2aBF的斜率氏防=-，据卜打., kOA =-1,得。=下,a -1因此 A B = 4"，h=a2=5,所以 SOAB = 1075 .故答案为：10例11.如图所示，己知圆O： 乂2+=4与y轴的正方向交于A点，点B在直线y=2上运动，过点B作圆O的切线，切点为C,则回：的垂心H的轨迹方程为.rA B【答案】/+(>-2)2=4(-0)【分析】设垂心的坐标，根据条件，建立方程关系，即可求出H的轨迹方程.【详解】设 H(x, y), C(x /),由题意知 AHJ_BC, CH±AB, BC 是切线，OC_LBC,y9 = y -

20、2所以OCAH. CHOA. OA = OC,所以四边形AOCH是菱形.所以CH=|OA| = 2,则/ x =x又C(x'，y)满足/+y=4,所以x?+(y2)?=4(x网)即是所求的轨迹方程.【点睛】本题主要考查轨迹的求解方法，考查学生的计算能力.例12.平面直角坐标系xOy中，双曲线土一二= l(a>0,b>0)的两条渐近线与抛物线C： a- trx2=2py(p>0)交于o, A, B三点，若.OAB的垂心为C?的焦点，则C1的离心率为()L35AB. C 2D.V22【答案】B【分析】由三角形垂心的性质，得BF_LOA,即kBFk°A=l,由此可

21、得C1的离心率.【解析】联立渐近线与抛物线方程得A（弛，驾Bf 2pb 2pb_y抛物线焦点为F（O,q）,<3 a / a a7/由三角形垂心的性质，得BF_LOA,即kBFk°A=l， 所以（三一？2 = -1,所以b = a,所以c = ?a,所以Cj的离心率为故选B.14b a ；a222【点睛】本题考查双曲线的性质，联立方程组，根据三角形垂心的性质，得BF_LOA是解决本题的关他. 考查学生的计算能力.课后训练：1. （2020浙江高三月考）若曲线C： y2 = 4x.上一点X（x0,4）,是否存在直线m与抛物线C相交于两不同的 点B,C,使21/8C的垂心为H（8,

22、0）.则直线m的方程为.【答案】y = x - 16.仆析：求出点4的坐标，然后假设存在直线加叮抛物线C相交于两不同的点EC,使助C的垂心为日(&°),再根据垂心的性质可得力c 1BH,即就四=0,于是联立直线加。抛物线的方程并由韦达定理得到% +为，以 »2,将其代入就 BH = 0即可求出直线方的方程，最后检验其是否满足题意即可.【解析】易求出抛物线。上的点力(4,4),假设存在直线配与抛物线C相交于两不同的点瓦C ,使A43C的 垂心为设8(4，%),。(&72)，显然直线为H的斜率为一 1，则直线切的斜率为1，设宜线冽的方程是 y = x + b,由

23、y_,消去x化简得：4y +4b = 0, . %+%=4,% 丫2 = 4b,4= 1616b > 0, (y = x 十 b即b < 1.因为，必。的垂心为笈(&0),所以4C 1 BH, ：.AC-BH =( 一 8)(%2 - 4) + %优 一 4) = 0.即X/2 - 8& +y1y2 4% + 32 = 0, 1一 4(% b) 8(y2 - b) + y1y2 - 4yl + 32 = 0 ：IO)工”. + y1y2 - 8(yx +y2) + 12b + 32 = 0，a b2 + 16b = 0f /. b = °或b = -16.

24、 16当b = 0时，直线方的方程是、=工，过点5(4,4),不合题意，舍去，所以存在这样的直线横，其方程是y = x-16.考点：1、抛物线的定义与标准方程；2直线与抛物线的相交问题.222.双曲线£：:一今=1(>0)的渐近线与抛物线。2：/=2小(2>0)相交于O, 4, 3,若及9A3的垂心为。2的焦点,则/?=()A. 2B. 3【答案】C9Ir【分析】设。A： y = -'x,O8: y = /x,解储 4 -pb，W,222，根据AF ±OB计算得到答案.【详解】设。4:)= 一。08:)=枭，则，乙乙x2 = 2py/b 解得：A -1也

25、 )' = 一$xb/b?P,根据/J_历得到P>b Jr p=0解得。=行故选:【点睛】本题考查了双曲线和抛物线的综合题型，意在考查学生的计算能力.3.已知双曲线G：一二=1（>0, >0）的渐近线与抛物线。“b'/=2），（>。）交于点。、A、3,若OAB的垂心为抛物线G的焦点，则双曲线G的离心率为（A-1B.空2D.25/3【答案】A析104所在的宜合方程为y = 2x a,则OB所在的直线方程为y = -，bv = x'。，求得x2 = 2 py点A的坐标,再根据尸是AOAB的乖心，由8次”=-1求解.【详解】rOA所设的匕J v = 2

26、，则03所在的I工方方为为y = -X ,aa解方程组，b y = xa 得： x2 = 2py5 2Pbx、则点A的坐标为（亚,警7,抛物线的焦点F的坐标为（0,4）.2pZra cr2y =/ F是AQAB的垂心，.二攵（犯k" = - 12pb2 p干一哼qc2ba3，/=： = l + r = J,解得6 =大，故选：A. aa42224. （2020武邑高三（理）在平面直角坐标系xoy中，双曲线G :二-二=1（。> 0力> 0）的渐近线与抛物 cC b1线G：V=2/»（>0）交于点O,A,8,若AOW的垂心为G的焦点，则G的离心率为（）A 3

27、 r后 3"迷A - Jd . vDC L） 252【答案】C【解析】设A。/） ,一x） , C2焦点为尸,由题意FA OB = 0 ,即印，y J G，-y J=o ,所以为司一号 一寸=0,又）'；=2p， / 7X,X,"2-2Pxi =0,b2 4 c2-a2），；=2pxi = 2px- p = 5/r , y =#p. ifij y, = xl, HP y/5p = - , - =2aala 5二=2.所以e = £ =姐.故_c.cr 5a 55. （2019浙江高三期末）已知点4（玉,）,3（%,%）在抛物线C：/=4y上，点尸是抛物线C

28、的焦点, 线段A8的中点为N.若点M的坐标为（1,一1）,且尸是A4Z加的垂心，则直线A3的方程：【答案】y = ；x + 2+而：乙【分析】求得抛物线的焦点和准线方程，求得M尸的斜率，可得的斜率,设A8的方程，联立抛物线方 程，运用判别式大于0和书达定理，运用两直线垂直的条件，可得小的方程，求得m的值，即可得到所求 直线方程：【详解】f=4y的焦点尸（0,1）,准线方程为y = -l,砥=-2,/为A4BM的垂心，可得A8JLM/，即有心8=；，设A8的方程为y = gx + ？，代入抛物线方程可得： 一 2X一4加=0，可得 = 4 + 166>0,演+/ = 2,>又=4m

29、,由可得十 一,q-+l_ ,+ l（x； -x/）- 1 + x, （x, -1） = 0 »X x2-l164.,1L化筒 U 省厂 + （X勺 - 2*） + XjX2 - 1 = 01 l!|J 为尸4/” 一 2 = 0 , 解得? = 2 土 J8 , 211iili > 可得? = 2 + #,则 A3 的方程为 y =+2 +«；【点睛】本题考查抛物线的定义、方程和性演、三点共线取得最小值和三角形的垂心的定义，考查函数 与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意直线方程和抛物线方程 联立，运用韦达定理求解.6 .如图，已知直

30、线，：X = my + 1 + 2与抛物线V = x相交于两点A3, C 1,1 ,且AC1.BC.设动点尸 满足PA8的垂心恰好是矶1，0），记点。到直线4距离为d，若小|尸耳=1,求实数”的值.【答案】?=生点，或加=0. 2【分析】先求行d，由石是/尸48的正心，得A£_LP3.设尸（玉），No） . ,通过向量的坐标运算求得/一1 =竺1，九 = ”（1）,进而求得归目，再由小|尸同=1求得加即可."7 + 1m + 12in + 【详解】易得" =!因为E是尸48的垂心，所以A石，且8E_LPA x/l + /w2由AE_L必得,小产总=0，即西屁=包丽

31、设户（事,%）,则瓦丽=&-1）（为一 1）+%,又 X + x2 = y： + y; = （y + y2）2 2yy2 = nr + 2m+4 , x,x2 = y： y；=（加 + 2）2,所以 £>-而=(工_1)(42 _l)+y/'2 =xix2 _(X +)+ +)'1)'=?_，由得：(1)(玉)- 1) +y、0=加一1,即(玉)- 1)玉+先凹=%+"? 2,同理：；8E_LF4可得：(曲一1)文2+%)'2 =7)+?一2所以(内，M)，(,%)是方程(1)%+%> =%+机-2的两组解,故此方程表示直

32、线L/Vox(l + m-2-又因为直线(? + 2)= 0,所以一=-？， = + 2, 工0 140 1解得：/一1 ='二，九=>"二""=".所以 = J(x()- 1十 '=F j5+ 1 .|(77z-l)(2/n + l)|所以小 PE = 一-一= 1.|加+1|© 当(71) (2?+1) = HJ +1 时，?？ 一 ? 一 1 = 0，解得 m = 1 - J- -当( - 1) (2? +1) = ("? +1)时，/ = o,解 f j m = 0综卜.所述：m ="二，或?

33、= 0. 2【点睛】本题主要考查直线与抛物线位置关系，考查学生的计算能力，属于综合题.7 .己知点P(l,2)是抛物线)J=4x上的一点，过点。作两条直线4与/2,分别与抛物线相交于异于点P的A,8两点.若直线A8的斜率为1且.PAB的垂心在工釉上，则直线A8的方程.【答案】x-y-9 = 0.【分析】分类讨论，根据韦达定理和斜率公式即可求出.【详解】若直线ab的斜率为1,则直线ph的方程是y 2 = （x 1）,所以H（3,0）,若直线AB的斜率为1，则设直线AB的方程为* = 丫 + 1 ,将直线AB代入抛物线y2 = 4x方程可得：y2-4y-4t=0,所以 丫1+丫2=4，y： =-4

34、t .且WG+IGt。，因为BH_LAP,所以一三三| = 一1（*）,将=%+3 X2=y?+t代入（*）得2丫,2+。-3）（%+丫2）+12-4+3 = 0,将丫1 + 丫2=4,%丫2 = -41代入上面方程可得：t2-8t-9 = 0.由此方程解得：t=9或t = -l（舍），所以直线AB的方程是x - y 9 = 0.【点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因宜线的方程是一次的，圆 锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问 题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长

35、问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用.8.在平面直角坐标系xQv中，椭圆c： +:= 1（。 cr /顶点连线的斜率之积为-L若椭圆C上存在两点。,R , 2标原点。，则直线QR的方程.yR>o）经过点且点尸与椭圆的左、右使得aPOR的垂心（三角形三条高的交点）恰为坐【答案】（），= -企工-21, + TT = 1【分析1根据题意，得到< 二 八求出涉，即可得出椭圆方程:设0（%,）1），氏（，%），1 U1 U1、鼻-a >j2+a2根据题意，得到kQR=-,设直线2R的方程为y =-5+小，联立直线叮椭圆方程，根据判别式，以及根与系数关系，由题意，得

36、到，忍求出洲，即可得出结果【详解】由题意，得21/+庐=1-01-01，解得a2 =4x2 v22,所以椭圆C的方程为L + 2_ = 1.b2 = 242设。（x，x），R（%2，）2）因为而即。=，所以k0R=-母, 故可设直线QR的方程为_y = _0x + m.；2=£2' 消去.一4"心 +2/-4 =。，首先，出/0得32m20（2/4）0,解得/io. （*）且为+9=坞"，为=五二f 又QOtPR,所以勺。攵柳=一1,得=一1，整理得，3x2 -尬1(% +x1)+nr -，7 = 0 ,所以3、丁 一万“字+ j = 0.4即3加一5加一

37、12 = 0,解得2 = 3或加=一一（均适合（*）式）.3当7 = 3时，宜线QR恰好经过点P，不能构成三角形，不合题意，故舍去.所以直线。R的方程为），=一岳-【点睛】本题主要考查求椭圆的标准方程，以及求椭圆中满足题意的直线方程问题，热记椭圆的标准方程, 以及椭圆的简单性质即可，属于常考题型，计算量较大.9 . （2020 江西高三（理）已知抛物线E： / =2x.若直线A3是经过定点。（2,0）的一条直线，且与抛物线E交于A，4两点，过定点。作A8的垂心与抛物线交于G, O两点，则四边形AG3。面积的最小【答案】20分析：先求出四边形AG3D面帜的S = 2j"/+E2j4/+

38、 17 .再换元求函数的最小值.【解析】设直线A8的方程为x = my + 2 (加工0),设3(,乃)，y2 2X'得)32一4 = 0,则耳+为=2机，力力二-4， x = my + 2,|AB| = J1 + J 旧-y2| = Jl + 川 J4J + 16 = 2jl + /W/+4，设 GQq,)、)，。(冷 乂).同理得 |GZ)| = 2+ 1 -ym2 + 4 = 2j?2+r+ 2in + +17 ,"广7则四边形AGBQ的ifh枳S = L令m2+' = (/>2),则S = 2j( + 2)(4 + 17)=4,42+25 + 34,S

39、= 2j42+25 + 34是关于4的增函数,故5疝“=20，、.仅、1? = ±1时取得最小值20.点俯：解答本题的关键有二，其一是求出四边形AGBD面枳的表达式S,这里计算量比较大，所以要求il算准确，其.是怒么求5 = 2?2+ 214(?2+31+17的最小仇，这里需要换元，利用复合函数和二次函数的图像和性质解答.210 .己知A8分别是双曲线C/2 一二=1的左、右顶点，0为C上一点，且P在第一象限.记直线AP8 的斜率分别为4次2，当2仁+质取得最小值时，PA3的垂心到x轴的距离为.【答案】2【分析】外乱(1<2=母=2,利用基本不等式求解2K+k2取最小值时K=l

40、,进而得PA的方程为 丫 = 乂 + 1,与双曲线联立解得。的坐标为(3,4),设PAB的垂心的坐标为(3,y),由PALBH,得APHB =0，向量坐标化解得y即可【详解】易证kK=： = 2（k >0*,>0），则21+卜22网已=4,当且仅当2% = k? ,即 = 1时， a-2等号成立，此时直线PA的方程为y = x + l, Ox?-± = 1联、工，f'Jx2-2x-3 = 0,解得x = 3.或一1（舍2去），则P的坐标为（3,4）,设aPAB的垂心的坐标为（3,y）,由PAJ_BH，得&由§ = 8 + 4y = 0,解得y =

41、 -2 ,则H到x轴的即离为2 .故答案为2【点睛】本题考查双曲线的综合，考察抽象概括能力与运算求解能力，掌握双曲线的常见二级结论，转化垂心为垂直关系是关键，是中档题2211.平面直角坐标系X。，中，双曲线G：二一二= 1（40, 6>0）的渐近线与抛物线G：炉=2必Q>0）交 a- 1T于点。，/区若。宓的垂心为C2的焦点，且点仅双曲线上，则双曲线的方程为：o2）【答案】= 145【解析】双曲线的渐近线为y = ±2r ay = -x iA（2bP ib-p .y = -xJ 彻 2bMx2=2py a a x2 = 2py ，" a2P P,VF 0,4为空

42、的垂心，k,火力=一1 .即建一一勺=一1,解得 = *, 2）也二0 V4a因为点（2&,式）双曲线上，所以得到：“2=4, =5 22即双曲线方程为：二一二=145【点睛】本题考查了双曲线的离心率，将垂心转化为斜率相乘为-1是解题的关键，意在考查学生的计算能力.12 .双曲线G： * = 1S>O)的渐近线与抛物线G：/=2py (，>0)相交于。，4，B,若AOAB的垂心为G的焦点，则/?=()C. 75D. "A. 2B. 3【答案】C【解析】设。4：y = 乙乙X2 = 2py 则I b y = -x C 2,blp 解得：A -pb，U <乙)根

43、据赤_L丽得到，之1 4同理3 pb,?尸(%)解得6 =正故选：C 【点睛】本题考查了双曲线和抛物线的综合题型，意在考查学生的计算能力.13 .已知椭圆C:59 = 1 直线'与椭圆0交于知，N两点.若椭圆C的右焦点F恰好为&BMN的垂心, 则直线/的方程为.【答案】尸X-。【解析】易知直线8/；的斜率为T,从而直线)的斜率为1.设直线的方程为 y = x + m , (内，yf) , N(x2, y2)» 尸(1,0),由l了 +)=L 得3x?+4"lx + 2(J -1) = 0 .y = .v + m,a7>w2根据韦达定理，xx + a2

44、= -/ , x,x2 =八§ 一 .于是 NF - BM = (l-x2)xl - y2(y -1) =xx + y2 -xx2 - yxy2 = x1 + x2 + m - xyx2 - (% + m)(x2 +)=-2x1x2 + (1 -?)(m + %) + in-nr = -2 - - + (1 /?)() + m-M = ° 解之褥 ?=1或,？ = 一?.333小帆=1时，点5即为直线/ Lj椭圆的交点，不合题意：当. = 时.经检验知/和椭圆相宣,延意.3所以，当且仅当直线/的方程为），=工-9时，点/是MMN的垂心. 3214 . （2019河北省邯郸市

45、一模16题）已知A, B分别是双曲线C ：一二=1的左、右顶点，夕为。上一点， 2且P在第一象限.记直线PB的斜率分别为kk2,当2k + k2取得最小值时，4PAB的垂心到x轴的距 离为.【答案】2卜2【解析】易证Kk2=F = 2（k>0,k2>0），则2k|+k2N2j2k|k2 = 4.当且仅当2l=k2,即k】=l时，27,此时直线PA的方程为y = x + l,*jx2=1联立，得x22x3 = O,解得x = 3或T ；去），则2的坐标为（3,4）, 设.PAB的垂心的坐标为（3,y）,由PA_LBH，得APRS = 8 + 4y = 0 ,解得y = -2 ,则H到

46、X轴的距离为2.故答案为2【点睛】本题考查双曲线的综合，考察抽象概括能力与运算求解能力，掌握双曲线的常见二级结论，转化垂心为垂直关系是关键，是中档题15 .数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心，依次在同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线后人称为三角形的欧拉线.己知ZU5c的顶点工（2, 0）3（0, 4）, 若其欧拉线方程为x-y+2=0,则顶点C的坐标是.【答案】（-4,0）【解析】设C（/儿），由重心坐标公式得,AA3C的重心为代入欧拉线方程得：2土一土!± + 2 = 0,整理得：7+4 = 0 334-0AB 的中点为(1,2) , kAB = 2，0 2AB的中垂线方程