讲义笔记20190626方法精讲数量2

1、精讲-数量 2（笔记）第二章数算【注意】数算会比数字推理烧脑一些，主要烧脑在有些题目不像数字这么单纯，数算的题目条件有时候大家会读不明白，所以希望大家可以提前预习。本节课学习的是三大（一说就懂，但是做想不到），所以主要学习怎么才能想得到，其中代入排除法、数字特性法是极其具有代表性的，所谓“秒杀法”都是用这两种实现的。方程法大家能想到，比如已知甲、乙、丙三个班一共 100 人，此时可以、乙、丙三个班分别有 x、y、z 人，则 x+y+z=100。方程法如果只有一个未知数 x，可以比较快，但是如果有多个未知数 x、y、z，就会比较慢，因此方程法想不到，重点是要学会怎么才能快。第一节代入排除法1【知

2、识点】代入排除法：结合选项，把选项代入题干中，如果满足条件即当选，如果不满足条件即排除。假如代入 A、B、C 项都不满足条件，此时无需代入D 项，因为四个 中一定有一个正确 ，已经验证 A、B、C 项错误，证明 D项一定正确，否则题目就出错了，每道题最多只需要代入三次。有同学会觉得不学习任务：1. 课程内容：代入排除法、倍数特性法、方程法。2. 授课时长：3 小时。3.对应讲义：179 页184 页。4.重点内容：（1） 掌握代入排除法的适用范围。（2） 掌握倍数特性的基础知识、余数型和比例型的解题思路。（3） 掌握设未知数的技巧，熟悉不定方程的分析，了解赋零法的运用前提和运用。2放心，想要验

3、证一遍，但在考试中一定要学会放心，否则考题肯定做， 考试时间紧迫，如果还有强迫症，又想着，那所有时间只够做数学运算这一个模块，上不了岸。为了达到考查的行政职业能力，大家必须要改掉强迫症的毛病。1.什么时候用？（1）题型：、余数、不定方程、多位数。并不是说这些题目不能列方程，只是代入排除法一定比方程法快。：出现“”“岁”。【例】小哥哥比小2 岁、比小李大 5 岁。问 2014 年小李与小分别为多少岁？A.25，32B.27，30【 】例. 一：直接代入。代入 A 项：小李 25 岁，小王 32 岁，小王哥哥比小 2 岁，所以小王哥哥 34 岁，但小王哥哥此时不比小李大 5 岁，排除。再代入 B

4、项，可以发现满足题干条件。二：先排再代。分析题干条件可知：小王=小李哥哥-2，小李=小王哥哥-5，说明小王-小李=3 岁，观察选项，只有 B 项符合。【选 B】余数：出现“余”“剩”“多”。【例】一个数两位数，除以 7 余 3，除以 9 余 1，这个数最小是几？A.10B.11【 】例.题目问的是“最小”，假设 A、B 项均满足，此时要选 A 项，因为 A 项比 B 项小，故如果问题中出现“最小”“最大”，考虑最值代入，即问最大就从最大的选项开始代入，问最小就从最小的选项开始代入。代入 A 项： 10/7=1 3，10/9=1 1，满足题意，对应 A 项，此时无需验证 B 项。【选 A】【注意

5、】有时候题目 直接说 ，可能会说“每组 7 人，还多 1 人”，这也是余数的表述，此时说明总人数/7=组数 1，之后的课程会讲解这种题型的秒杀 ：多退 （总人数-1）是 7 的倍数。不定方程：未知数个数多于方程个数。比如 3x-5=11，可以解出 x，但3x-5y=11，无法解出 x 和 y，即解不出来的方程就是不定方程。【例】已知 x、y 都是正整数，3x+2y=10，求 x 的值。3A.2B.3【】例.一：直接代入。代入 A 项：3*2+2y=10，y=（10-6）/2=2，x 和 y 均为正整数，满足题意，对应 A 项，此时无需代入 B 项。二：先排再代。10 为偶数，2y 也为偶数，偶

6、数+偶数=偶数，说明 3x 也为偶数（2 的倍数），由于 3 不是 2 的倍数，说明 x 一定为偶数，只有 A 项符合。【选 A】多位数：涉及到位数变化。出现“个位”“百位”。【例】一个三位数，十位和个位对调之后比原数字大 9，则这个三位数可能是？A.121B.123【】例.代入 A 项：121 的十位与个位对调得到 112，112-1219，排除， 直接当选 B 项。【选 B】（2） 选项：选项为一组数。比如题目问的是甲、乙、丙分别有多少人，选项给的是30、20、50，此时选项为一组数，代入排除法一定比方程法快。选项可以转化为一组数。比如题目问的是甲，选项也只给了甲，但题干已知乙比甲多 10

7、，丙比甲少 10，此时可以根据条件算出。（3） 其他：剩二代一。结合排除法做，比如已知是三位数，但 A.28、B.76，此时可以直接排除 A、B 项，剩下 C、D 项，代入 C 项满足，即当选，否则选择 D 项。条件特复杂。通俗来说就是读完题目之后发现做，此时可以死马当活马医，从选项代入，有时候会发现别有洞天。2.怎么用？优先排除，排除不了再进行代入。（1） 怎么排除：尾数、奇偶、倍数。（2） 怎么代入：好算入手。如果没有问最大或最小，选项为：A.99、B.100、C.102、D.105， 优先代入好算的 100。最值代入。问最大，从最大的开始代入；问最小，从最小的开始代入。【例 1】（201

8、9 江苏）一只箱的是一个三位数，满足：3 个数字之和为 19，十位上的数比个位上的数大 2。若将百位上的数与个位上的数对调，得到一个新，且新数比原数大 99，则原数是：A.397B.586C.675D.964【】例 1.如果不知道怎么做，要先学会怎么识别。“十位上的数比个位上的数大 2”“百位上的数与个位上的数对调”，出现个位、十位、百位，为多位数问题，优先选择代入排除法。代入 A 项：3+9+7=19，9-7=2，对调百位和个位后得到 793，793-39799，错误；代入 B 项：5+8+6=19，8-6=2，对调百位和个位得到 685，685-586=99，满足，当选。此时无需验证 C、

9、D 项，因为有且仅有一个是对的。【选 B】【注意】对调后比原来的数大 99，说明个位一定大于百位，此时可以直接排除 C、D 项，剩下 A、B 项，代入一项验证即可。【例 2】（2019 河南）某饮料厂生产的 A、B 两种饮料均需加入某添加剂，A饮料每瓶需加该添加剂 4 克，B 饮料每瓶需加 3 克，已知 370 克该添加剂恰好生产了这两种饮料共计 100 瓶，则 A、B 两种饮料各生产了多少瓶？A.30、70B.40、60C.50、50D.70、30【】例2.本题可以想到代入排除法的两个角度：（1）读题后发现可以列方程组：A+B=100，4A+3B=370，此时可以直接把选项代入方程验证。（2

10、）观察选项，发现是一组数，也可以想到代入排除法。代入 A 项：30*4+70*3=330，330370，排除；代入B 项：40*4+60*3=340，340370，排除；代入C 项：50*4+50*3=350，350370，排除，直接选择 D 项。【选 D】【例 3】（2019 联考）在一次马拉松比赛中，某国员包揽了前四名，他们佩戴的参赛号码很有趣：一人的号码加 4，另一人减 4，第三人乘 4，第四人除以 8，其所得的数字都一样。且这四个号码中有 1 个三位数号码，2 个两位数号码，1 个一位数号码。而其中一位员在比赛中取得的名次也与的号码4相同。据此可知，其中三位数的号码为：A.120B.1

11、28C.256D.512【】例 3.读题后发现跟没读一样（题干长且复杂），考虑代入排除法。设四人对应的号码分别为 a、b、c、d，可得 a+4=b-4=c*4=d/8，为不定方程，此时也能想到代入排除法。分析可知，d 一定是最大的，则 d 即为所求。代入 A 项：d=120 时，120/8=15，故 c*4=15，此时 c 不是整数，排除；代入 B 项：d=128 时，a+4=b-4=c*4=d/8，a=12，b=20，c=4，满足有 1 个三位数号码（128），2个两位数号码（12、20），1 个一位数号码（4）。已知其中一位员在比赛中取得的名次也与的号码相同，且四个员包揽前四名，说明只有

12、14 名，此时 c 的号码既是 4，c 也是第四名，满足题干所有条件，此时无需验证 C、D项，直接选择 B 项。【选 B】【例 4】（2019）某工厂有甲、乙、丙 3 条生产线，每小时均生产整数件。其中甲生产线的效率是乙生产线的 3 倍，且每小时比丙生产线多生产 9件。已知 3 条生产线每小时生产的之和不到 100 件且为质数，则乙生产线每小时最多可能生产多少件？A.14B.12C.11D.8【】例 4.已知“甲生产线的效率是乙生产线的 3 倍，且每小时比丙生产线多生产 9 件”，可知：甲=3*乙、甲-丙=9（第二句话是指甲比丙多 9 件，而不是多 9 件，主语要与前一句话一致）；已知“3 条

13、生产线每小时生产的之和不到 100 件且为质数”，可知：甲+乙+丙100 且为质数。出现不定方程，可以考虑代入排除法；选项能转化为一组数，也可以考虑代入排除法。问最多，从最大的开始代入。代入 A 项：若乙=14，则甲=3*14=42，丙=42-9=33，甲+乙+丙=14+42+33=89，89100，分析 89 是不是质数（找有没有除了 1 和其本身的约数）：89 是奇数，只有奇数相乘才为奇数，所以排除 2、4、6、8、10；若各位数字之和能被 3 整除，这个数就能被 3 整除，8+9=17，不能被 3 整除，所以排除 3；个位是 0 或 5 的数能被 5 整除，89 的个位是 9，不能被 5

14、 整除，所以排5除 5；84/7=12，89/7=12 5，故 89 不能被 7 整除，所以排除 7；81/9=9，89/9=9 8，故 89 不能被 9 整除，所以排除 9，此时排除了 10 以内除了 1 的数字，10+*10+100，说明 89 一定只有 1 和 89 两个约数，故 89 为质数，满足题意。【选 A】【注意】1.虽然其他选项也有正确的，但是题目问的是最多，只能选 A 项。2.有同学直接找 100 以内的质数进行验证，比如总和为 97 件，此时无法保证“甲+乙+丙=97”这个等式算出来的整数，因此直接代入选项验证会更快。【汇总】1-4：BDBA【小结】代入排除法：1.范围：（

15、1）看题型：、余数、不定方程。（2）看选项：选项为一组数、可转化为一组数。（3）剩二代一：只剩两，代入一。2.：（1）优先排除：尾数、奇偶、倍数。（2）直接代入：最值、好算。第二节倍数特性法6【知识点】倍数特性法：公考中秒杀技最常用到的。1.整除型。【例 1】（2017 福建）如下图，一个正方体的表面上分别写着连续的 6 个整数，且每两个相对面上的两个数的和都相等，则这 6 个整数的和为：A.53B.52C.51D.50【】例 1.一：设 10 的相对面是 a，9 的相对面是 b，6 的相对面是c，此时 10+a=9+b=6+c，设相对面数字之和为 X，则总和=3X，可知总数是 3 的整数倍，

16、A 项：5+3=8，不能被 3 整除，排除；B 项：5+2=7，不能被 3 整除，排除；C 项：5+1=6，可以被 3 整除，满足；D 项：5+0=5，不能被 3 整除，排除，选择C 项。注意此处验证 C 项能被 3 整除后不能直接选，排除 A、B、D 项后才能选，因为如果D 项为 48，也满足被 3 整除的条件，此时要将 C 项或D 项代入计算出a、b、c，看看是否满足“6 个连续的整数”的条件。二：正向考虑。结合图形可知 6 个整数中6、7、8、9、10，则另7（1） 例子：比如一份工作，总量=效率*时间，用了 18h 干完所有工作， 问工作总量是多少，在整个数算的环境中情况下效率和时间都

17、是整数， 虽然也会有非整数的情况，但此例中我们作为整数处理。总量=效率*18，故总量一定是 18 的倍数，选项为：A.800、B.900、C.1000、D.1100，此时可以直接选B 项。有时候也会这样出题：已知工作总量有 120 个零件，问甲单干几天能完成工作，120=效率*时间，选项为：A.27、B.24、C.23、D.22，选择 B 项的概率最高，因为 24 乘以一个整数可以等于 120，其他选项都不行。（2） 若 A=B*C（B、C 均为整数），则：A 能被 B 或 C 整除。B 和 C 均是 A 的约数。2.余数型。3.比例型。外一个数应为 5 或 11，然后再根据题干条件求解正确。

18、【选 C】【知识点】余数型：江苏省考的题型。比如已知每组 7 人恰全班分完，说明总人数=7*组数，但考试会说“每组 7 人还多 1 人”，多 1 人就减掉，（总数-1）就刚好满足每组 7 人，此时也能转化为 A=B*C 的形式。口诀：多退。1.若=ax+b，则-b 能被 a 整除（a、x 均为整数）。例：一堆分给每人 10 个，剩余 3 个。答：（-3）=10*人数，则（-3）是 10 的整数倍。2.若=ax-b，则+b 能被 a 整除（a、x 均为整数）。例：一堆分给每人 10 个，还缺 3 个。答：（+3）=10*人数，则（+3）是 10 的整数倍。【例 2】（2019 江苏）一群学生分小

19、组在户外活动，如 3 人一组还多 2 人，5人一组还多 3 人，7 人一组还多 4 人，则该群学生的最少人数是：A.23B.53C.88D.158【】例 2.“3 人一组”即每组 3 人。已知 3 人一组还多 2 人，说明（答案-2）=3*组数；5 人一组还多 3 人，说明（-3）=5*组数；7 人一组还多 4人，说明（-4）=7*组数，代入选项验证。代入A 项：学生人数为23 人，23-2=21，21=3*7；23-3=20，20=5*4；23-4=19，19 不是 7 的倍数，排除；代入 B 项：学生人数 53 人，53-2=51，是 3 的倍数；53-3=50，是 5 的倍数；53-4=

20、49，是 7的倍数，满足，对应 B 项。【选 B】【注意】本题也可以直接代入验证，3 人一组还多 2 人，说明总人数/3=组数 2，验证总人数为 23 是否满足，但之前强调过先排再代的，因为大部分情况下先排除会减少计算量，觉得本题简单是因为数字小，若把选项改为 823、537，此时再做除法就比较难算。做题时可以先排除再代入，没有想到排除的话，直接代入也是可以的。倍数特性其实是代入排除法中“先排”的小技巧，单拎出来作为一小节知识点讲解是因为很常考，但也隶属于代入排除法的行列。对于数8字小的题目，直接代入和先排再代相差不大；对于数字大的题目，先排再代会使做题速度更快一些。【知识点】整除判定法则：1

21、.口诀法：3 和 9 看各位数字和（比如 53，5+3=8，8 不能被 3 整除，故 52也不能被 3 整除），2 和 5 看末位（比如 53，3 不是 2 的倍数，故 53 也不是 2 的倍数），4 和 25 看末两位（25 不常考，比如 836，36 是 4 的倍数，故 836 也是 4的倍数），8 和 125 看末三位（考查较少，了解即可）。2.拆分法（大数）：大数是否为 n 的倍数，拆分为 n 的倍数与一个小数字的和或差。（1）例 1：681 是不是 7 的倍数？答：681=630+51=700-19，51 和 19 都不能被 7 整除，故 681 不是 7 的倍数。如果某个数能拆为7

22、00-14，此时这个数就能被7 整除，因为能提出一个公因子7。（2）例 2：448 是不是 7 的倍数？答：448=420+28，28 是 7 的倍数，故 448 是 7 的倍数。（3）例 3：432 是不是 11 的倍数？答：432=440-8，8 不是 11 的倍数，故 432 不是 11 的倍数。（4）例 4：736 是不是 8 的倍数？答：736=720+16，16 是 8 的倍数，故 736 是 8 的倍数。3.因式分解：12=3*4，拆分后的数字必须互质（即两者没有公约数）。比如432 是不是 12 的倍数，只需是不是 3 和 4 的倍数即可。4+3+2=9，9 是3 的倍数，故

23、432 也是 3 的倍数；末两位 32 是 4 的倍数，故 432 也是 4 的倍数，即 432 是 12 的倍数。但这种容易错，只能把 12 拆成 3*4，不能拆成 2*6，比如 6 是 2 的倍数，6 是 6 的倍数，但不能说 6 是 12 的倍数，注意 2 和 6 有公约数 2。比如 18 不能拆成 3*6，因为 3 和 6 有公约数 3，只能拆成 2*9。【例 3】（2019选调）回乡开办土鸡养殖基地，某天他收获一筐土鸡蛋。每 4 个一组取出则多 2 个；每 5 个一组取出则少 1 个；每 6 个一组取出则刚好；每 7 个一组取出则多 1 个。已知一筐最多能装 500 个土鸡蛋，如果每

24、 69个一组取出，需要多少次刚好取完？A.67B.69C.70D.72【】例 3.已知“每 6 个一组取出刚刚好”，说明总数=6*组数。问的是次数，而非鸡蛋总数，所以在等式的右边，故是总数的约数，但不一定是 6的倍数。做，可以直接代入选项验证，先算出每个选项对应的鸡蛋总数。A项：67*6=402；B 项：69*6=414；C 项：70*6=420；D 项：72*6=432。此时可以再次分析条件：（总数-2）是 4 的倍数，（总数+1）是 5 的倍数，（总数-1）是 7的倍数，5 的倍数相对来说更好验证（只需看个位数字即可），将总数依次+1，A项：402+1=403，不是 5 的倍数，排除；B

25、项：414+1=415，是 5 的倍数，满足；C 项：420+1=421，不是 5 的倍数，排除；D 项：432+1=433，不是 5 的倍数，排除，只有 B 项符合。【选 B】【注意】本题是排除 A、C、D 项之后才选择 B 项，并不是验证满足 5 的倍数后直接选择 B 项。因为如果出现多个选项满足 5 的倍数，则还需要验证是不是 4的倍数和 7 的倍数。【例 4】（2019 山东）某老旧写字楼重新装修，需要将原有的窗户全部更换为单价 90 元每扇的新窗户。已知每 7 扇换下来的旧窗户可以跟厂商兑换一个新窗户。全部更换完毕后共花费 16560剩余 4 个旧窗户没有兑换，那么该写字楼一共有多少

26、扇窗户？A.214B.218C.184D.188【】例 4.已知将原有的窗户全部更换成新窗户，说明窗户总数不变，新窗户总数=旧窗户总数。出现“剩余 4 个”，为余数型考法，总数-4=7*新换的窗户，注意新窗户总数新换的窗户和新买的窗户。直接代入选项，选项依次-4 得到：A.210、B.214、C.180、D.184，只有 210 是 7 的倍数，对应 A 项。【选A】【注意】1.总数=新换的窗户+新买的窗户=（总数-4）/7+新买的窗户，数量一定是整数，说明（总数-4）/7 是整数，即（总数-4）是 7 的倍数。102.虽然题目条件出现，但是解题过程中只需要用到“总数-4=7*新换的窗户”这个

27、条件就能得到，所以无需多此一举去列方程求解本题。【知识点】比例型：在考试中比较常见，只能用倍数特性，没有其他思路。如甲、乙两个班男女比例为 3：5（男/女=3/5），代表男生对应 3 份人数，女性对应 5 份人数，人数不可能为小数，所以每 1 份都是整数。男生人数应该是 3的倍数，同理，女生人数应该是 5 的倍数。如果问全班总人数，总人数=男生人数+女生人数=8 份，就是 8 的倍数。如果问男性比女性少多少人，5 份-3 份=2份，就是 2 的倍数。1.A/B=m/n（m、n 互质）：（1）A 是 m 的倍数。（2）B 是 n 的倍数。（3）A+B 是 m+n 的倍数。（4）A-B 是 m-n

28、 的倍数。2.比例的常见形式：（1）男生是女生的 3/5（分数），男生/女生=3/5，男生=女生*3/5。（2）男生与女生之比 3：5（比例），可以横着写，也可以竖着写，3：5=3/5。（3）男生是女生的 60%（百分数），可以化简约分，60/100=3/5。见到百分数，先化简为最简分数，然后就变成第（1）类，此时就知道是谁的倍数。一定要化简为最简分数，比如 30/50 也满足 60%，但是不能说男生和女生分别是 60和 100 的倍数。（4）男生是女生的 0.6 倍（倍数），0.6=6/10=3/5。【例 5】（2017）甲、乙两个班各有 30 多名学生，男女生比为 5：6，乙班男女生比为

29、5：4，则甲、乙两班男生总数比女生总数：A.多 1 人B.少 1 人C.多 2 人D.少 2 人【】例 5.出现“比例”，用倍数特性。“30 多”不含 30，即 3139。“甲班男女生比为 5：6”，总人数=5 份+6 份=11 份，总数为 11 的倍数，则总人11数为 33 人，一份对应 3 人，则男生人数=5*3=15 人，女生人数=6*3=18 人。同理，“乙班男女生比为 5：4”，总人数=5 份+4 份=9 份，乙班总数为 9 的倍数，则总人数为 36 人，一份对应 4 人，则男生人数=5*4=20 人，女生人数=4*4=16 人。男生总数-女生总数=（15+20）-（18+16）=3

30、5-34=1 人，对应 A 项。【选 A】【汇总】1-5：CBBAA【例 6】（2018 山东）某企业有不到 100 名员工，本月只有 1/12 的员工未得到每人 1000 元的全勤奖，只有 13 名员工未得到每人 1000 元的绩效奖，两个奖都未得到的员工占员工总数的1/14。问企业本月共发放全勤奖和绩效奖多少万元？A.7.1B.12.6C.14.8D.16.8【】例 6.“不到 100”即小于 100。“本月只有 1/12 的员工未得到全勤奖”，未得全勤的人数/总人数=1/12，看到分数，想到倍数特性（比例、分数、百分数），则总人数为 12 的倍数。“两个奖都未得到的员工占员工总数的 1/

31、14”，都未得的人数/总人数=1/14，则总人数为 14 的倍数。故总人数是 12 和 14 的公倍数，用短除法，得到最小公倍数为 2*6*7=84，且总人数小于 100，说明总人数只能是 84。要求全勤奖和绩效奖，未得全勤的人数=84*（1/12）=7，则得全勤奖的人数=84-7=77，每人得到 1000 元，则全勤奖=77*1000=77000=7.7 万。一共84 人，“13 名员工未得到每人 1000 元的绩效奖”，则得到绩效人数=84-13=71，则绩效奖=71*1000=71000=7.1 万。本题可以同时得到全勤奖和绩效奖，比如程成特别优秀，工作态度特别好，得了全勤奖；而且工作能

32、力特别强，得了绩效奖；有交叉，这样的人就应该发的，可以直接相加，则一共发了 7.7 万+7.1万=14.8 万，对应 C 项。【选 C】12【例 7】（2018 广西）某储蓄所两名，一天内共办理了 122 件业务，其中小王经手的有 84%是现金业务，小李经手的有 25%为非现金业务，小李当天办理了多少件现金业务？A.36B.42C.48D.54【】例 7.一：破题点：84%、25%，看到百分数，想到倍数特性。小王现金/小王=84/100=21/25，小李非现金/小李=25/100=1/4。122 是共办理的业务数，122 分给小王和小李。小王办理的业务总数应该为 25 的倍数，小李办理的业务总

33、数应该为 4 的倍数。小技巧：从大数入手找得更快，因为 4 的倍数太多了，从大数开始列会快很多，122 以内 25 的倍数有 25、50、75、100，则对应小李办理的业务数为 97、72、47、22，只有 72 是 4 的倍数，说明小王和小业务分配方式只能是 50 和 72，则小李办理的现金业务数=72*（1-1/4）=54，对应 D 项。二：直接代入，问小李办理的现金业务数，36=小李*3/4，可以求出小李，小王=122-小李，看能不能转化为 84%（21/25），84%*小王=小王现金，如果是整数，就是正确的，如果不是整数，就是错误的，对应 D 项。【选 D】【例 8】（2019 联考）

34、某农户饲养有肉兔和宠物兔两种不同用途的兔子共计2200 只，所有兔子的毛色分为黑、。肉兔中有 87.5%的毛色为黑色，宠物兔中有 23%的毛色为白色。据此可知，毛色为白色的肉兔至少有多少只？A.25B.50C.100D.200【】例 8.破题点：87.5%、23%，看到百分数，想到倍数特性。87.5/100=（100-12.5）/100=1-1/8=7/8，23%=23/100。肉黑/肉兔=7/8，宠白/宠物兔=23/100，一共 2200 只，从肉兔和宠物兔分析，肉兔对应 8 的倍数，宠物兔对应 100 的倍数，从大数下手。问的是至少，要想让白色的肉兔少，肉兔就要少，宠物兔就应该尽量多，这是

35、一个此消彼长的过程。宠物兔不能为 2200，这样就没有 7/8（肉兔）了，说明宠物兔最大是 2100，则肉兔为 100，不是 8 的倍数，排除；如果宠13物兔为 2000，则肉兔为 200，200/8=25，满足要求。问的是白色肉兔，黑色肉兔占 7/8，则白色肉兔占 1/8，故白色肉兔=（1-7/8）*200=25，对应 A 项。【选 A】【注意】不能直接选择 8 的倍数，因为 8 的倍数是肉兔的数量，而问的是白色肉兔的数量。白色肉兔/肉兔=1/8，白色肉兔应该对应 1 的倍数，无法得出。【汇总】6-8：CDA【小结】倍数特性：1.整除型：用来蒙选项，难题中会用到。（1）若 A=B*C，则 A

36、 能被 B 或 C 整除。（2）前提：B、C 均为整数。2.余数型（重中之重）：多退。（1）若=ax+b，则-b 能被 a 整除。（2）若=ax-b，则+b 能被 a 整除。（3）前提：a、x 均为整数。3.比例型：比例、分数、百分数、倍数，只要出现任何一个，都可以用倍数特性。（1）若 A/B=m/n，则：A 是 m 的倍数，B 是 n 的倍数，和就是相加的倍数。14A±B 是 m±n 的倍数。（2）前提：A、B 均为整数，m/n 是最简整数比。4.判定：（1）口诀：3、9 看各位数字之和；4 看末两位；5 看末位。（2）因式分解：12=3*42*6，分解时必须互质。（3）

37、拆分：拆成两个数的和或差。5.：甲、乙两个派出所一共 240 个刑事，其中，甲有 12.5%是刑事，乙有 23%是非刑事，问乙有多少刑事？答：12.5%=1/8，23%=23/100，说明甲是 8 的倍数，100 的倍数，要把240 分成 8 和 100 的倍数，从 100 开始下手。如果100，则甲为 140，140不是 8 的倍数，不满足；如果200，则甲为 40，40 是 8 的倍数，满足；则乙的刑事数=（1-23%）*200=77%*200=154。第三节方程法【知识点】普通方程设未知数技巧：与设未知数有，设得好，解方程就会特别快；设得不好，解方程就比较慢。1.设小不设大（减少分数计算

38、）：如甲是乙的 3 倍，建议为 x，甲为 3x；如果为 x，则x/3，有分数，分数计算比较慢，所以建议设小的为 x。又如人数占年级总数的 3/5，见到分数可以用倍数特性，如果没想到倍数特性，可以列方程班人数为 3x，总数为 5x，这样计算的时候就出现 3/5。2.设中间量（方便列式）：如甲比3，丙比4，设“中间量”，谁出现的次数多，谁就是“中间量”，乙出现了两次，为 x，则甲为 x+3，丙为 x-4。3.问谁设谁（避免陷阱）：如甲、乙两个班一共 100 人，问乙班有多少人？为 x、y，x=40，选项刚好是 40、50、60、70，直接就选了 40，这是错误的。要注意 x=40，但要求的是 y，

39、所以建议设要求的x，甲为 100-x，这样算出的 x 就是正确。建议求谁设谁，避免掉入陷阱。15【例 1】（2018 广西）年终某大型企业的甲、乙、丙三个部门评选优秀员工，已知甲、乙部门优秀员工数分别占三个部门总优秀员工数的 1/3 和 2/5，且甲部门优秀员工数比丙部门的多 12 人，问三个部门共评选出优秀员工多少人？A.120B.150C.160D.180【】例 1.一：出现“1/3、2/5”，见到分数，想到倍数特性。甲/总数=1/3，求的是总数，总数是 3 的倍数，排除 C 项；同理，总数是 5 的倍数，但是A、B、D 项都是5 的倍数。可以直接代入验证，假设总数=120，则甲=120*

40、1/3=40，乙=120*2/5=24*2=48，丙=120-40-48=32，40-3212，排除；同理，再验证 B项，如果 B 项正确，直接选择 B 项，否则选择 D 项。二：分数设方程，尽量好算，甲/总数=1/3，尽量把总数设为 3 的倍数，乙/总数=2/5，尽量把总数设为 5 的倍数。故把总数设成 3 和 5 的倍数，为 15x，则甲部门优秀员工数为 15x*1/3=5x，乙部门优秀员工数为 15x*2/5=6x，丙部门优秀员工数为 15x-5x-6x=4x，列式为：5x-4x=12，x=12，则三个部门优秀员工总人数为 15x=15*12=180，对应 D 项。【选 D】【例 2】（

41、2019 山东）某研究团队开展小学生身体健康状况调查活动，需要从某市三所小学中抽取部分小学生组成研究样本，其中实验小学抽取的人数他两所小学抽取人数的五分之一路小学抽取的人数他两所小学抽取人数的二分之一，精英小学抽取的人数为 180 人，那么三所小学合计抽取多少人？A.540B.480C.360D.280【】例 2.“其中实验小学抽取的人数他两所小学抽取人数的五分之一，路小学抽取的人数他两所小学抽取人数的二分之一”，这两句话中的“其他”表达的意思不同，第一个“其他”应该路小学和精英小学，第二个“其他”应该实验小学和精英小学，因为总数是不变的，所以全部转化为与总数的。实验小学/总数=1/（1+5）

42、=1/6，路小学/总数=1/（1+2）=1/3。设总数为 6x，则实验小学为 x，路小学为 6x*1/3=2x，精英小学为6x-x-2x=3x=180，x=60，则总数=6x=6*60=360，对应 C 项。【选 C】16【知识点】不定方程：就是尝试代入排除，尽量先排（倍数、尾数）再代。1.：分析奇偶、倍数、尾数等数字特性，尝试代入排除。2.奇偶：（1）ax+by=M，当 a、b 恰好一奇一偶时，考虑奇偶特性。（2）3x+4y=25，x=？（x、y 均为正整数）A.2B.3C.4D.5答：一：如果做，可以直接代入，代入 A 项：x=2，3*2+4y=25，看y 是不是整数，y 是整数就直接选，

43、y 不是整数就不选，y=（25-6）/4，不是整数，不满足；同理，再代入 B、C、D 项。二：3x+4y=25，4 乘以一个整数一定是偶数，偶数*任意整数=偶数，25是奇数，（奇数）+偶数=奇数，则 3x 不应该是 2 的倍数，3 不是 2 的倍数，则 x不能是 2 的倍数，排除 A、C 项；剩二代一，代入 B 项：x=3，3*3+4y=25，y=（25-9）/4=4，是正整数，满足，对应 B 项，如果 B 项不对，就直接选择 D项。三：勾股定理，3²+4²=5²，如果想到了可以直接用。如果想不到，就直接代入。3.倍数：（1）ax+by=M，当 a 或 b 与 M

44、 有公因子时，考虑倍数特性。（2）7x+3y=60，x 最大为多少?（x、y 均为正整数）A.2B.3C.6D.8答：奇偶特性就是是否是 2 的倍数。60 和 3y 是 3 的倍数，则 7x 也是 3的倍数，或者 7x=60-3y=3*（20-y），3 乘以一个整数一定是 3 的倍数，即 3*（20-y）也必须是 3 的倍数，7x 也是 3 的倍数，7 不是 3 的倍数，那么 x 必须是 3 的倍数，排除A、D 项；剩二代一，问“最大”，从最大的开始代入，代入C 项：x=6，7*6+3y=60，y=（60-42）/3=18/3=6，正确，对应 C 项。如果想不到排除，可以从 8 开17始代入。

45、建议大家先排再代。4.尾数：（1）ax+by=M，当 a 或 b 尾数是 0 或 5 时，考虑尾数。0 乘以一个数字一定是 0；5 乘以一个数，尾数只能是 0 或者 5。（2）37x+20y=271，x=？（x、y 均为正整数）A.1B.3C.2D.4答：一：0 乘以任何数都得 0，说明 20y 尾数为 0，0+（1）=1，说明 37x的尾数为 1。代入选项，A 项：1*7=7，不满足；B 项：3*7=21，满足；C 项：2*7=14，不满足；D 项：4*7=28，不满足；对应 B 项。二：用奇偶特性，20y 是偶数，271 是奇数，说明 37x 是奇数，则 x 是奇数，可以先排除 C、D 项

46、，再剩二代一。（3）：3x+5y=28，出现 5，可以用尾数分析。5y 的尾数为 5 或者 0：（8）+0=8，说明 3x=18，x=6，5y=10，y=2，满足。（3）+5=8，说明 3x=3，x=1，5y=25，y=5，满足。如果问 x 最大是多少，就选 6；问 x 最小是多少，就选 1。【例 3】（2019 联考）现有 5 盒动画卡片，各盒卡片张数分别为 7、9、11、14、17。卡片按图案分为米老鼠、葫芦娃、喜羊羊和灰太狼 4 种，每个盒内装的是同图案的卡片。已知米老鼠图案的卡片只有一盒，而喜羊羊、灰太狼图案的卡片数之和比葫芦娃图案的多 1 倍，据此可知，图案为米老鼠的卡片张数为：A.

47、7B.9C.14D.17【】例 3.“喜羊羊、灰太狼图案的卡片数之和比葫芦娃图案的多 1 倍”，则喜羊羊+灰太狼=葫芦娃+葫芦娃=2*葫芦娃。做，看总数，总数=7+9+11+14+17=58=米老鼠+葫芦娃+喜羊羊+灰太狼=米老鼠+葫芦娃+2*葫芦娃=米老鼠+3*葫芦娃。代入选项验证，A 项：如果米老鼠为 7，3*葫芦娃=51=3*17；B 项：如果米老鼠为 9，3*葫芦娃=49，不是 3 的整数倍，不满足；C 项：如果米老鼠为 14，3*葫芦娃=44，不是 3 的整数倍，不满足；D 项：如果米老鼠为 17，3*葫芦娃18=41，不是 3 的整数倍，不满足；对应 A 项。【选 A】【知识点】不

48、定方程组：1.第一类：未知数一定是整数。（1）a1x+b1y+c1zM。（2）a2x+b2y+c2zN。2.：先消元（求谁留谁，剩下两个哪个简单消哪个）转化为不定方程，再按不定方程求解。【例 4】（2019 联考）某次田径会中，选手参加各单项比赛计入所在团体总分的规则为：一等奖得 9 分，二等奖得 5 分，三等奖得 2 分。甲队共有 10位选手参赛，均获奖。现知甲队最后总分为 61 分，问该队最多有几位选手获得一等奖？A.3B.4C.5D.6【】例 4.设获得一等奖、二等奖、三等奖的人数分别为 x、y、z，列方：x+y+z=10，9x+5y+2z=61，两个方程三个未知数，解可以代入，问的是

49、x，代入 x 相当于消去了 x，只剩 y 和 z，如果 y 和 z 是整数就选，不是整数就不选。或者先排再代，求谁留谁，z 比较好消，所以消去 z，*2-得：7x+3y=41，问最多，从大数开始代，先代入 D 项：x=6，7x+3y=41，y0，排除；代入 C 项：x=5，35+（6）=41，3y=6，y=2，z=3，满足，对应 C 项。【选 C】【注意】因为人数必须是整数，当 x、y 为整数时，只有一组解，所以本题不可以令 z=0。【知识点】不定方程组第二类：未知数不一定是整数，如（一等奖可以是 3 元、2.5 元）、时间，会有很多组解，问题问的一定是很多组解中的一组，随便代入一组即可。1.

50、特值法（赋零）：对于未知数不一定是整数的不定方程组，可以赋其中 1 个未知数为零，进而快速计算出其他未知数。192.配系数：不建议这么做。【例 5】（2018 上海）现有甲、乙、丙三，若购买甲 1 件、乙 3 件、丙 7 件共需 200 元；若购买甲 2 件、乙 5 件、丙 11 件共需 350 元。则购买甲、乙、丙各 1 件共需多少元？A.50B.100C.150D.200【】例 5.一：、乙、丙三的价格分别为 x、y、z，列方：x+3y+7z=200，2x+5y+11z=350，未知数可以为小数，这样的很多，要求和，任意找一组即可。用赋零法，特值都是 0（0 最简单），z 的系数最大，令 z=0，则 x+3y=200，2x+5y=350，*2 得：2x+6y=400，2x+5y=350，-得：y=50，x=50，故 x+y=z=50+50+0=100，对应 B 项。二：配系数法。x+3y+7z=200，2x+5y+11z=350，*3 得：3x+9y+21z=600，*2 得：4x+10y+22z=700，-得：x+y+z=100，对应 B 项。这个虽然快，但是系数 3 和 2