椭圆的简单性质导学案

1、第2课时椭圆的简单性质学习由走帕月标喇嘛他，课程学习目标1 .进一步理解椭圆白标准方程及a,b,c之间的关系.2 .掌握椭圆的几何图形及简单几何性质 ，并能利用简单几何性质求椭圆的标准方程.3 .根据椭圆的标准方程，讨论研究其几何性质，使学生初步尝试利用椭圆的标准方程来 研究椭圆的几何性质的基本方法，加深对曲线与方程的理解，同时提高分析问题和解决问题 的能力.需一层皴能*林他A统相 泉化知识体系梳理o创债楠麓1998年12月19日，太原卫星发射中心为摩托罗拉公司（美国）发射了两颗 钺星”系统通讯卫星，卫星运行的轨迹是以地球中心为一个焦点的椭圆.若卫星的近地点高度（即轨道上的点到地球表面的最近距

2、离 ）为mkm,远地点高度为n km,地球半径为Rkm,且该轨迹上两点 MN 和轨迹中心O在一条直线上.问题1:在上述情境中，|OM|与|ON|之间的大小为 ,|MN|的最小值|AF|=m+R=a-G |BF|=n+R=a+c, a2-c 2=( m+R n+R,即 b=;(fll + Rg+J!),当 M于 M', N位于N'时，|MN|取最小值.问题2:根据椭圆的简单几何性质填写下表椭圆的简单几何性质焦点(-c,0),( c,0)(0, -c),(0, c)顶点(-a,0),( a,0),(0, -b),(0, b)(-b,0),( b,0),(0, -a),(0, a)对

3、称性关于x轴、y轴成轴对称；关于原点成中心对称离心率e=,0 <e<la, b, c的关系a2=b2+c2半轴长长半轴长a,短半轴长b, a>b问题3:椭圆的焦距与长轴长的比e=,叫作椭圆的.>00, .0<e<1.a 当e越接近1时，c越接近a,从而b二 |aa嗜，越小，因此椭圆越(2)当e越接近0时，c越接近0,从而b越接近a,因此椭圆越接近于 (3)当且仅当a=b时，c=0,两焦点，图形变为圆，方程成为x2+y2=a2.,|PO|= '问题4:如何求椭圆上到中心距离最远或最近的点？设P(x, y)为椭圆=1( a>b»)上任意一

4、点 d甘.-a今面.当x=0时，|PO|有,这时P在短轴端点 Bi或R处.当x=1a时，|PO|有,这时P在长轴端点 A或A处.加也H丽化间 « 火化基础学习交流1.椭圆x2+4y2=1的离心率为().A.1B.C. 一2D.2.已知椭圆C的左、右焦点坐标分别是(-v2，0),( 2，0)，离心率是,则椭圆C的方程为().A.3+y2=1B. x2+L=1r 户 r y*C. + =1D.+=11 2： 13.已知椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0,13),另一个顶点是(-10,0),则焦点坐标 为.4.求椭圆L+y2=1的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标第二居霾思维徐

5、究与创新一技能<鬲统小性怅重点难点探究利用标准方程研究几何性质22短轴长、离心率、焦点和顶点坐标求椭圆9x +16y =144的长轴长、由椭圆的几何性质求标准方程已知在椭圆C中，长轴长为2a,焦距为2c,且a+c=10, a-c=4,求椭圆C的标准方程O撮咒三与离心率有关的问题工："A E 1 八 L -A r -A a 1 八 W 曰 l L 什(1)椭圆r + r =1( a>b>0)的左、右顶点分力1J是 AB,左、右焦点分力1J是Fi, F2.右|AFi| , IF1F2I , |FiB|成等比数列，则此椭圆的离心率为().1Al -A.-B.=C.'

6、;D. -2452(2)椭圆L+L=i(a>b>0)的右顶点是 A a,0),其上存在一点P,使/ APO90 ,求椭圆的离r r心率的取值范围.才法觉力化力具体卡思维拓展应用d应用一椭圆C±+L=1和椭圆C2：上+L=1(0 <内9)有().K »M型A.等长的长轴B.相等的焦距C.相等的离心率D.等长的短轴应用二求适合下列条件的椭圆的标准方程：4(i)长轴长是io,离心率是二；§(2)在x轴上的一个焦点，与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6.应用三已知椭圆 -+=1(a>b>0) 的长、短轴端点分别为A B,从此椭圆上一点 M

7、(在x轴上方)? ?向x轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点Fi, AB/ OM.(1)求椭圆的离心率e;(2)设Q是椭圆上任意一点，F1、F2分别是左、右焦点，求/FQF的取值范围.基础智能检测1.已知椭圆x2+my=1的焦点在y轴上,且长轴长是短轴长的 2倍,则m等于（）.A.-B.-C.2D.4412 .椭圆=+=1 和 £+=k（ k>0）具有（）.a? f s? rA.相同的长轴B.相同的焦点C.相同的顶点D.相同的离心率3 .已知椭圆 +1=1的离心率为-,则k的值为 如4ini in4 .点P是椭圆+L=1上一点,F1、F2是其焦点，若/ F1PF2=60°,

8、求FiPE的面积.材料也囊他视角步元化全新视角拓展（2013年新课标 喷）设椭圆 d+：=1（a>b>0）的左、右焦点分别为Fi、F2, P是C上的点，PE± F1F2, / PFF2=30°,则 C的离心率为（）.A. B. - C. - D.一考题变式（我来改编）:第四层皴总结评价与反思、思学区不思不发星片耐将出里帝直楣也.思维导图构建学习京俄化班塞异产化.学习体骐分享第2课时椭圆的简单性质 知识体系梳理问题 1:|OM|=|ON| 2 蕊:一问题2:&问题3:离心率 （1）扁（2）圆（3）重合问题4:最小值最大值基础学习交流1. A将椭圆方程x2+

9、4y2=1化为标准方程x2+=1,贝U a2=1, b2=,2. A因为£=，且c二”,所以a=Q, b= /寸*=1.所以椭圆C的方程为L+y2=l.=丽，故焦点坐标为3 .(0, 书丽)由题意知，椭圆焦点在 y轴上，且a=13, b=10,则c= it;(0,而).4 .解：已知方程为L+L=1,所以a=2, b=1, c= J=C 因此,椭圆的长轴长和短轴长分别为2a=4,2 b=2,离心率e=；=二两个焦点分别为Fi(-y,0),尸2(例,0),椭圆的四个顶点是.UA(-2,0), A2(2,0), B(0, -1),艮(0,1). 重点难点探究探究一：【解析】已知方程化成标

10、准方程为匚+t=1,It J于是 a=4, b=3, c= 13 山三铲，椭圆的长轴长和短轴长分别是2a=8和2b=6,力 离心率e=,又知焦点在x轴上， A两个焦点坐标分别是 F1(-行,0)和F2(M,0),四个顶点坐标分别是 A1(-4,0), A2(4,0), Bi(0, -3)和 B2(0,3).【小结】解决此类问题的方法是将所给方程先化为标准形式，然后根据方程判断出椭圆的焦点在哪个坐标轴上，再利用a, b,c之间的关系和定义，求椭圆的基本量.fi+c=ia探究二：【解析】因为I所以a=7, c=3,(2-c=4,所以 b2=a2-c2=72- 32=40.所以椭圆C的标准方程为-+

11、-=1.fl 41问题本题中椭圆的焦点是在x轴上吗？有没有可能在y轴上？结论由于题目中没有告诉我们焦点的位置，因此所求标准方程有两种情况：焦点在x轴上；焦点在y轴上.于是，正确解答为：焦点在x轴上时，设方程为不+1=1( a>b>0),则有1解得a=7, c=3.Lt二4所以 b2=a2-c2=72- 32=40.所以椭圆的标准方程为+-=1.曲«焦点在y轴上时，设标准方程为:+ =1( a>b>0),则有J解得a=7, c=3,S七二4所以 b2=a2-c2=72- 32=40.所以标准方程为+ =1.助49综上所述，椭圆c的标准方程为 戈=1或匚+t=i.

12、44 40 期助【小结】利用性质求椭圆的标准方程，通常采用待定系数法，而其关键是根据已知条件确定其标准方程的形式并列出有关参数的关系式，利用解方程(组)求解，同时注意a、b、c、e的内在联系以及对方程两种形式的讨论.还要注意两点：(1)根据已知条件求椭圆的标准方程的思路是 选标准，定参数”,一般步骤为：求出a2, b2的值；确定焦点所在的坐标轴；写出 标准方程.(2)当所求椭圆焦点不确定时一定要注意分类讨论，并且体会方程思想在解题中的应用.探究三：【解析】(1)由椭圆的几何性质可知：|坞| =a-c,下面| =2c,帜国=a+c又|A片|F诲|,|F成等比数列，故(a-c)( a+c)=(2c

13、)2,可得；=e.故应选B.(2)设P(x, y),由/ APO900知：P点在以OM直径的圆上圆的方程是:(x-?)2+y2=(三)2?y2=ax-x2.又P点在椭圆上，故：1=1. af把代入得：+=1 ?(a2-b 2) x2-a3x+a2b2=0.正又 0<x<a -x=故(x-a)( a2-b 2) x-ab 2 =0.而.即 0V ” <a?2b2<a2?a2<2c2?e>?.又.0<e<1,故所求的椭圆离心率的取值范围是二<e<1.2【答案】(1)B【小结】椭圆的离心率是刻画椭圆扁平程度的量，求e的值或范围问题就是寻求它

14、们的方程或不等式，具体如下:(1)定义法：若给定椭圆的方程，则根据焦点位置确定a2,b2,求出 a, c的值，利用公式e3直接求解.(2)方程法：若椭圆的方程未知，则根据条件建立a, b, c满足的关系式，化为关于a,c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次哥，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或范围.思维拓展应用应用一 ：B 依题意知椭圆C2的焦点在y轴上,对于椭圆G:焦距=2 125-9 =8,对于椭圆G：1=8,故答案为B.焦品巨=2应用二：(1)设椭圆的方程为r VV* I+g=1( a>b>0)或：+?=1( a>b>0).由已知得，2

15、 a=10, a=5.又 e=三,c=4. b2=a2-c 2=25-16=9.r 了r 椭圆的标准方程为一+二=1或一+彳=1.25 1» 25(2)依题意，可设椭圆方程为-7+T=1(a>b>0).如图所示，AFA为一等腰直角三角形，OF为斜边AA的中线(高，且|OF|二c , |AA|二 2b,. c=b=3, . a2=b2+c2=18,故所求椭圆的方程为+ =1Li 1应用三：(1) ,.Fi(-c ,0),则 xM=-c,yM=一,/ko=-. ,.kAEF-, OIW AB fi! fl,- L=，,b=c,故 e=./Qfi 2(2)设|FiQ|=ri,|F2Q|=r2, / FiQF= Q. r i+2=2a, |F iF2|= 2c,cos =一-=： 一况力况l?工当且仅当ri=r2时,cos 0=0,：任0,白.基础智能检测1. A将椭圆方程化为标准方程为 ；a= -, b=i. .a=2b,m=.J JJ H2. D 在椭圆 匕+1=i和匚 J=k( k>0)中，不妨设x2+T=i, .焦点在 y轴上，_>i,0<m<.由方程得a>b,椭圆+i-=i的离心率 ei=,椭圆%+7=20v2- ,解得16a