2018届高考(理)热点题型：三角函数与解三角形(共7页)

1、精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业三角函数与解三角形三角函数与解三角形热点一三角函数的图象和性质注意对基本三角函数 ysin x，ycos x 的图象与性质的理解与记忆，有关三角函数的五点作图、图象的平移、由图象求解析式、周期、单调区间、最值和奇偶性等问题的求解，通常先将给出的函数转化为 yAsin(x)的形式，然后利用整体代换的方法求解.【例 1】已知函数 f(x)sin x2 3sin2x2.(1)求 f(x)的最小正周期；(2)求 f(x)在区间0，23上的最小值.(1)解因为 f(x)sin x 3cos x 3.2sinx3 3.所以 f(x)的最小正周期为 2.(2)解因为

2、 0 x23，所以3x3.当 x3，即 x23时，f(x)取得最小值.所以 f(x)在区间0，23上的最小值为 f23 3.【类题通法】求函数 yAsin(x)B 周期与最值的模板第一步：三角函数式的化简，一般化成 yAsin(x)h 或 yAcos(x)h的形式；第二步：由 T2|求最小正周期；第三步：确定 f(x)的单调性；第四步：确定各单调区间端点处的函数值；第五步：明确规范地表达结论.精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业【对点训练】 设函数 f(x)32 3sin2xsinxcosx(0)，且 yf(x)的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为4.(1)求的值；(2)求 f(x

3、)在区间，32上的最大值和最小值.解(1)f(x)32 3sin2xsinxcosx32 31cos 2x212sin 2x32cos 2x12sin 2xsin2x3 .因为 yf(x)的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为4，故该函数的周期T44.又0，所以22，因此1.(2)由(1)知 f(x)sin2x3 .设 t2x3，则函数 f(x)可转化为 ysin t.当x32时，53t2x383，如图所示，作出函数 ysin t 在53，83上的图象，由图象可知，当 t53，83时，sin t32，1，精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业故1sin t32，因此1f(x)sin2x

4、3 32.故 f(x)在区间，32上的最大值和最小值分别为32，1.热点二解三角形高考对解三角形的考查，以正弦定理、余弦定理的综合运用为主.其命题规律可以从以下两方面看：(1)从内容上看，主要考查正弦定理、余弦定理以及三角函数公式，一般是以三角形或其他平面图形为背景，结合三角形的边角关系考查学生利用三角函数公式处理问题的能力；(2)从命题角度看，主要是在三角恒等变换的基础上融合正弦定理、余弦定理，在知识的交汇处命题.【例 2】 在ABC 中， 角 A， B， C 所对的边分别是 a， b， c， 且cos Aacos Bbsin Cc.(1)证明：sin Asin Bsin C；(2)若 b2

5、c2a265bc，求 tan B.(1)证明在ABC 中，根据正弦定理，可设asin Absin Bcsin Ck(k0).则 aksin A，bksin B，cksin C.代入cos Aacos Bbsin Cc中，有cos Aksin Acos Bksin Bsin Cksin C，变形可得sin Asin Bsin Acos Bcos Asin Bsin(AB).在ABC 中，由 ABC，有 sin(AB)sin(C)sin C，所以 sin Asin Bsin C.(2)解由已知，b2c2a265bc，根据余弦定理，有cos Ab2c2a22bc35.精选优质文档-倾情为你奉上专心-

6、专注-专业所以 sin A 1cos2A45.由(1)知，sin Asin Bsin Acos Bcos Asin B，所以45sin B45cos B35sin B，故 tan Bsin Bcos B4.【类题通法】(1)在等式中既有边长又有角的正余弦时，往往先联想正弦定理；出现含有边长的平方及两边之积的等式，往往想到应用余弦定理.(2)正余弦定理与两角和(差)角公式的活用是求解该类问题的关键.【对点训练】 四边形 ABCD 的内角 A 与 C 互补，且 AB1，BC3，CDDA2.(1)求角 C 的大小和线段 BD 的长度；(2)求四边形 ABCD 的面积.解(1)设 BDx，在ABD 中

7、，由余弦定理，得 cos A14x2221，在BCD 中，由余弦定理，得 cos C94x2223，AC，cos Acos C0.联立上式，解得 x 7，cos C12.由于 C(0，).C3，BD 7.(2)AC，C3，sin Asin C32.又四边形 ABCD 的面积 SABCDSABDSBCD12ABADsin A12CBCDsin C32(13)2 3，四边形 ABCD 的面积为 2 3.热点三三角函数与平面向量结合三角函数、解三角形与平面向量的结合主要体现在以下两个方面：(1)以三角函数精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业式作为向量的坐标，由两个向量共线、垂直、求模或求数量积

8、获得三角函数解析式；(2)根据平面向量加法、减法的几何意义构造三角形，然后利用正、余弦定理解决问题.【例 3】已知ABC 的三内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，向量 m(cos B，cos C)，n(2ac，b)，且 mn.(1)求角 B 的大小；(2)若 b 3，求 ac 的范围.解(1)m(cos B，cos C)，n(2ac，b)，且 mn，(2ac)cos Bbcos C0，cos B(2sin Asin C)sin Bcos C0，2cos Bsin Acos Bsin Csin Bcos C0.即 2cos Bsin Asin(BC)sin A.A(0，)，sin A0

9、，cos B12.0B，B23.(2)由余弦定理得b2a2c22accos23a2c2ac(ac)2ac(ac)2ac2234(ac)2，当且仅当 ac 时取等号.(ac)24，故 ac2.又 acb 3，ac( 3，2.即 ac 的取值范围是( 3，2.【类题通法】向量是一种解决问题的工具，是一个载体，通常是用向量的数量积运算或性质转化成三角函数问题.【对点训练】 已知向量 a(m，cos 2x)，b(sin 2x，n)，函数 f(x)ab，且 yf(x)的图象过点12， 3和点23，2.(1)求 m，n 的值；(2)将 yf(x)的图象向左平移(0)个单位后得到函数 yg(x)的图象，若 yg(x)图象上各最高点到点(0，3)的距离的最小值为 1，求 yg(x)的单调递增区间.精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业解(1)由题意知 f(x)abmsin 2xncos 2x.因为 yf(x)的图象过点12， 3和23，2，所以3msin6ncos6，2msin43ncos43，即312m32n，232m12n，解得m 3，n1.(2)由(1)知 f(x) 3sin 2xcos 2x2sin2x6 .由题意知 g(x)f(x)2sin2x26 .设 yg(x)的图象上符合题意的