高数学复数的向量表示及复数的三角形式

1、复数的向量表示及复数的三角形式基础概念一、基础知识概述 由于解方程的需要，我们引进了复数和及其四则运算，并建立了复数集和复平面内所有的点构成的集合之间的一一对立，我们还学过向量及其运算，在些基础上，我们现在一起来学习复数的向量表示、复数的三角形式及其运算、复数的指数形式、复数的运算的几何意义二、重点知识归纳及讲解1、复数的向量表示： 复数集与复平面内的向量集合（为原点）一一对应说明：（1）零向量表示复数0，相等的向量表示同一个复数；（2）向量的模就是复数（、）的模，即2、复数的三角形式及运算：（1）复数的幅角：设复数对应向量，以轴的正半轴为始边，向量所在的射线（起点为）为终边的角，叫做复数的辐

2、角，记作，其中适合的辐角的值，叫做辐角的主值，记作说明： 不等于零的复数的辐角有无限多个值，这些值中的任意两个相差的整数倍（2）复数的三角形式：叫做复数的三角形式，其中，说明： 任何一个复数均可表示成的形式其中为的模，为的一个辐角（3）复数的三角形式的运算： 设，则 1）乘法：； 2）除法：； 3）乘方：； 4）开方：3、复数的几何意义：（1）复数模的几何意义：，即点到原点的距离，一般地即点到点的距离（2）复数加、减法的几何意义： 图中给出的平方四边形，可以直观地反映出复数加、减法的几何意义 即，（3）复数乘、除法的几何意义： 设，则的几何意义是把的对应向量按逆时针方向旋转一个角（如果，就要把

3、按顺时针方向旋转一个角，再把它的模变为原来的倍，所得向量即表示积，如图，的几何意义是把的对应向量按顺时针方向旋转一个角（如果，就要把按逆时针方向旋转一个角，再把它的模变为原来的倍，所得的向量即表示商4、复数的指数形式： 把模为1，辐角为（以弧度为单位）的复数用记号表示，即，由此任何一个复数就可以表示为形式，我们把这一表达式叫做复数的指数形式3、 难点知识剖析 复数的几何意义的理解是本讲的难点 由于复数集与平面点集间的一一对应关系，使得复数问题常常可用几何方法来解决，几何问题常常可用复数语言来表述，要善于运用“数形结合”的解题思想来思考，分析这类问题，找出最简捷的解题方法 复数的模可以帮助我们表

4、示出一些常用曲线方程 如圆：； 线段中垂线：； 椭圆：； 双曲线：典型例题例1、已知，且，复数（1）求的三角形式；（2）若，求的取值范围解析：（1）， 1）当时，则， 而， 此时三角形式为 2）当时，则， 而， 此时三角形式为（2）当， 而，； 当， 而，评析： 化含三角函数关系的复数为三角形式时，应把握概念，准确运用有关三角公式例2、设，且，（1）存在实数、，使成立，求、；（2）若，求解析：（1）依题意可设，则 ，且， 即 ，且 当时，当时，（2）若，则，即 ，例3、复数与满足：，且，问：当为何值时，取得最大值和最小值？并求出这一最大值和这一最小值解析： 设， 则，且 ， ，即， （显然）

5、，即 当时，解得或； 当时， 即或时，而时，例4、设复数、满足：，其中，若、在复平面上所对应的点分别是、，求的面积解析： 由复数及复数乘法的几何意义，点在单位圆上，设其辐角主值为，点是，其辐角主值是，点是将逆时针旋转角后对应向量的终点，同理向量则是由向量逆时针旋转后，再将模伸长为模的3倍而得到 如图所示： 例5、已知复数满足，求复数的模的最大、小值及对应的解析： 方法一： 、 ， 而当时， 当时，；而当时， 方法二： 设 ， ，且当时，； 当时， 高考中对复数的考查多集中在复数的概念以及复数的代数运算，对复数的三角形式的考查不多有时可能采取一题多法，即设复数的代数形式和复数的三角形式均可解，只

6、不过运用三角形式解答时较方便基础练习1、 选择题1、复数的辐角主值是（ ）A B C D2、设，给出复数：，其中能确定为复数的三角形式的有（ ）A3个 B2个 C1个 D0个3、已知，（，），则（ ）A B C D4、若，则复数的辐角主值是（ ）A B C D5、若，则（ ）A B C0 D16、设，若，则最小的正整数（ ）A1 B2 C5 D77、在复平面内，把复数对应的向量按顺时针方向旋转，所得向量对应的复数是（ ）A B C D8、是两个非零复数，且分别对应点、，则的充要条件是（ ）A B的实部为0 C D的虚部为09、复数满足条件：，则的最大值是（ ）A B C D10、设（、），且，则复数的对应点的轨迹是（ ）A 圆 B抛物线 C椭圆 D双曲线2、 综合题11、已知和均为复数，且，为纯虚数，求和的取值范围12、设复数、分别对应复平面上的、点，、的辐角分别为、，且的