高三数学创新题

1、二十、创新题8（2012年密云一模理8）若定义-2012,2012上的函数f(x)满足：对于任意Î-2012,2012有，且时，有，的最大值、最小值分别为，则的值为 （ C ） A2011 B2012 C 4022 D 402414（2012年门头沟一模理14）给出定义：若(其中为整数)，则叫离实数最近的整数，记作，已知，下列四个命题：函数的定义域为，值域为； 函数是上的增函数；函数是周期函数，最小正周期为1；函数是偶函数，其中正确的命题是 答案：。14.（2012年海淀一模理14）已知函数则（）= ；（）给出下列三个命题：函数是偶函数；存在，使得以点为顶点的三角形是等腰直角三角形；

2、存在，使得以点为顶点的四边形为菱形. 其中，所有真命题的序号是 . 答案：； 。14（2012年密云一模理14）已知数列中，=2，表示的整数部分，()表示的小数部分， =+( nÎN*)，则=_；数列中，=1，=2，( nÎN*)，则=_.答案：，。8（2012年门头沟一模理8）正四棱柱的底面边长为，点是的中点，是平面内的一个动点，且满足，到和的距离相等，则点的轨迹的长度为（ D ）A.B.C.D. 14.（2012年房山一模14）是抛物线的焦点，过焦点且倾斜角为的直线交抛物线于两点，设，则：若且，则的值为；（用和表示）.答案： ；或8（2012年房山一模理8）如图，边长为

3、1的正方形的顶点,分别在轴、轴正半轴上移动，则的最大值是（ A ）A.B. C.D.48.（2012年西城一模理8）已知集合，其中，且.则中所有元素之和等于（ D ）A B C D8.（2012年石景山一模理8）如图，已知平面，、是上的两个点，、在平面内，且，在平面上有一个动点，使得，则体积的最大值是（ C ） A. B. C. D.ACBDP8.（2012年东城11校联考理8）如图，半径为2的与直线相切于点，射线从出发绕点逆时针方向旋转到，旋转过程中，交于点，设为，弓 形 的面积为，那么的图象大致是（ D ） 4x224SOx224SOx22SOx224SO A B C D14（2012年东

4、城一模理14）如图，在边长为的正方形中，点在上，正方形以为轴逆时针旋转角到的位置 ，同时点沿着从点运动点，点在上，在运动过程中点始终满足，记点在面上的射影为，则在运动过程中向量与夹角的正切值的最大值为 .答案：。14（2012年丰台一模理14）定义在区间上的连续函数，如果，使得，则称为区间上的“中值点”下列函数：；中，在区间上“中值点”多于一个的函数序号为_（写出所有满足条件的函数的序号）答案：.8.（2012年朝阳一模理8）已知点集，点集所表示的平面区域与点集所表示的平面区域的边界的交点为.若点在点集所表示的平面区域内（不在边界上），则的面积的最大值是（ B ） A. B. C. D. 14

5、.（2012年朝阳一模理14）已知中， .一个圆心为，半径为的圆在内，沿着的边滚动一周回到原位. 在滚动过程中，圆至少与的一边相切，则点到顶点的最短距离是 ，点的运动轨迹的周长是 .答案：，14.（2012年石景山一模理14）集合 现给出下列函数：， 若 时，恒有则所有满足条件的函数的编号是 答案：。14.（2012年东城11校联考理14）把数列的所有数按照从大到小，左大右小的原则写成如右图所示的数表，第k行有个数，第k行的第s个数（从左数起）记为，则这个数可记为A( _)答案：A(10,495)。20. （2012年海淀一模理20）对于集合M，定义函数对于两个集合M，N，定义集合. 已知，.

6、（）写出和的值，并用列举法写出集合；（）用Card(M)表示有限集合M所含元素的个数，求的最小值；（）有多少个集合对（P，Q），满足，且？解：（），. （）根据题意可知：对于集合，若且，则；若且，则.所以 要使的值最小，2，4，8一定属于集合；1，6，10，16是否属于不影响的值；集合不能含有之外的元素.所以 当为集合1,6,10,16的子集与集合2,4,8的并集时，取到最小值4. （）因为 ，所以 .由定义可知：.所以 对任意元素， .所以 .所以 . 由 知：.所以 .所以 .所以 ，即.因为 ，所以满足题意的集合对（P，Q）的个数为.20.（2012年西城一模理20）对于数列，定义“变换

7、”：将数列变换成数列，其中，且，这种“变换”记作.继续对数列进行“变换”，得到数列，依此类推，当得到的数列各项均为时变换结束（）试问和经过不断的“变换”能否结束？若能，请依次写出经过“变换”得到的各数列；若不能，说明理由；（）求经过有限次“变换”后能够结束的充要条件； （）证明：一定能经过有限次“变换”后结束解：（）数列不能结束，各数列依次为；从而以下重复出现，不会出现所有项均为的情形 数列能结束，各数列依次为；（）经过有限次“变换”后能够结束的充要条件是 若，则经过一次“变换”就得到数列，从而结束当数列经过有限次“变换”后能够结束时，先证命题“若数列为常数列，则为常数列”当时，数列由数列为常

8、数列得，解得，从而数列也为常数列其它情形同理，得证在数列经过有限次“变换”后结束时，得到数列(常数列)，由以上命题，它变换之前的数列也为常数列，可知数列也为常数列 所以，数列经过有限次“变换”后能够结束的充要条件是证明：（）先证明引理：“数列的最大项一定不大于数列的最大项，其中”证明：记数列中最大项为，则令，其中因为， 所以，故，证毕 现将数列分为两类第一类是没有为的项，或者为的项与最大项不相邻（规定首项与末项相邻），此时由引理可知， 第二类是含有为的项，且与最大项相邻，此时下面证明第二类数列经过有限次“变换”，一定可以得到第一类数列不妨令数列的第一项为，第二项最大()（其它情形同理） 当数列

9、中只有一项为时，若()，则，此数列各项均不为或含有项但与最大项不相邻，为第一类数列；若，则；此数列各项均不为或含有项但与最大项不相邻，为第一类数列；若()，则，此数列各项均不为，为第一类数列；若，则；，此数列各项均不为，为第一类数列 当数列中有两项为时，若()，则，此数列各项均不为，为第一类数列；若()，则，此数列各项均不为或含有项但与最大项不相邻，为第一类数列 当数列中有三项为时，只能是，则，此数列各项均不为，为第一类数列总之，第二类数列至多经过次“变换”，就会得到第一类数列，即至多连续经历次“变换”，数列的最大项又开始减少又因为各数列的最大项是非负整数，故经过有限次“变换”后，数列的最大项

10、一定会为，此时数列的各项均为，从而结束20（2012年东城一模理20）若对于正整数,表示的最大奇数因数，例如，.设 （）求,的值；（）求，的值；（）求数列的通项公式解：（）， （）； ； ()由（）（）不难发现对，有 所以当时，于是，所以 ， 又，满足上式， 所以对，20.（2012年朝阳一模理20）已知各项均为非负整数的数列 ，满足，若存在最小的正整数，使得，则可定义变换，变换将数列变为数列设，（）若数列，试写出数列；若数列，试写出数列；（）证明存在唯一的数列，经过有限次变换，可将数列变为数列；（）若数列，经过有限次变换，可变为数列设，求证，其中表示不超过的最大整数解：（）若，则； ； ；

11、若，则 ； ； ； 4分（）先证存在性，若数列满足及，则定义变换，变换将数列变为数列：易知和是互逆变换 5分对于数列连续实施变换（一直不能再作变换为止）得 ，则必有（若，则还可作变换）反过来对作有限次变换，即可还原为数列，因此存在数列满足条件下用数学归纳法证唯一性：当是显然的，假设唯一性对成立，考虑的情形假设存在两个数列及均可经过有限次变换，变为，这里，若，则由变换的定义，不能变为；若，则，经过一次变换，有由于，可知（至少3个1）不可能变为所以，同理令，则，所以，因为，故由归纳假设，有，再由与互逆，有，所以，从而唯一性得证 9分（）显然，这是由于若对某个，则由变换的定义可知， 通过变换，不能变

12、为由变换的定义可知数列每经过一次变换，的值或者不变，或者减少，由于数列经有限次变换，变为数列时，有，所以为整数，于是，所以为除以后所得的余数，即13分20.（2012年石景山一模理20） 若数列满足，则称数列为“平方递推数列”已知数列中，点()在函数的图像上，其中n 为正整数（）证明数列是“平方递推数列”，且数列为等比数列；（）设（）中“平方递推数列”的前n项之积为，即 ，求数列的通项及关于的表达式；（）记 ，求数列的前项和，并求使的的最小值解：（I）因为 所以数列是“平方递推数列” . -2分 由以上结论， 所以数列为首项是公比为2的等比数列. -3分 （II）， . -5分 ， . -7分

13、（III） . -10分 . -13分20（2012年密云一模理20）将正整数2012表示成个正整数之和.记.（I）当时，取何值时有最大值.（II）当时，分别取何值时，取得最大值，并说明理由.（III）设对任意的15且|2,当取何值时，S取得最小值，并说明理由.解：（I）根据均值不等式，当x1=x2=1006时，S有最大值10062. -2分（II）当x1=x2=x3 =402，x4=x5=403时，S取得最大值. -4分由x1+x2+x3 +x4+x5=2012，取得最大值时，必有|xi-xj|1（ 1i<j5）.（*）事实上，假设（*）式不成立.不妨设x1-x22，令x1'=x1-1，x2'=x2+1，x3'=x3，x4'=x4，x5'=x5.有x1'+x2'=x1+x2， =x1x2+x1+x2x3+x4+x5+x3x4+x3x5+x4x5，同时S=x'1x'2+x'1+x'2x3+x4+x5+x3x4+x3x5+x4x5，S-S'=x1x2-x1'x2'<0这与S取得最大值矛盾.所以必须有|xi-xj|1（ 1i<j5）. -8分因此当x1=x2=x3 =4