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文档简介

1、圆锥曲线重要结论椭 圆1. 点P处的切线PT平分PF1F2在点P处的外角.2. PT平分PF1F2在点P处的外角,则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆,除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.4. 以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5. 若在椭圆上,则过的椭圆的切线方程是.6. 若在椭圆外 ,则过Po作椭圆的两条切线切点为P1、P2,则切点弦P1P2的直线方程是.7. 椭圆 (ab0)的左右焦点分别为F1,F 2,点P为椭圆上任意一点,则椭圆的焦点角形的面积为.8. 椭圆(ab0)的焦半径公式:,( , ).9. 设过椭圆焦点F作直线

2、与椭圆相交 P、Q两点,A为椭圆长轴上一个顶点,连结AP 和AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于M、N两点,则MFNF.10. 过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q, A1、A2为椭圆长轴上的顶点,A1P和A2Q交于点M,A2P和A1Q交于点N,则MFNF.11. AB是椭圆的不平行于对称轴的弦,M为AB的中点,则,即。双曲线1. 点P处的切线PT平分PF1F2在点P处的内角.2. PT平分PF1F2在点P处的内角,则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆,除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交.4. 以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切

3、.(内切:P在右支;外切:P在左支)5. 若在双曲线(a0,b0)上,则过的双曲线的切线方程是.6. 若在双曲线(a0,b0)外 ,则过Po作双曲线的两条切线切点为P1、P2,则切点弦P1P2的直线方程是.7. 双曲线(a0,bo)的左右焦点分别为F1,F 2,点P为双曲线上任意一点,则双曲线的焦点角形的面积为.8. 双曲线(a0,bo)的焦半径公式:( , 当在右支上时,,.当在左支上时,,9. 设过双曲线焦点F作直线与双曲线相交 P、Q两点,A为双曲线长轴上一个顶点,连结AP 和AQ分别交相应于焦点F的双曲线准线于M、N两点,则MFNF.10. 过双曲线一个焦点F的直线与双曲线交于两点P、

4、Q, A1、A2为双曲线实轴上的顶点,A1P和A2Q交于点M,A2P和A1Q交于点N,则MFNF.11. AB是双曲线(a0,b0)的不平行于对称轴的弦,M为AB的中点,则,即。12. 若在双曲线(a0,b0)内,则被Po所平分的中点弦的方程是.13. 若在双曲线(a0,b0)内,则过Po的弦中点的轨迹方程是.椭圆与双曲线的对偶性质-椭 圆1. 椭圆(abo)的两个顶点为,,与y轴平行的直线交椭圆于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是.2. 过椭圆 (a0, b0)上任一点任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C两点,则直线BC有定向且(常数).3. 若P为椭圆(ab0)上异于长轴端

5、点的任一点,F1, F 2是焦点, , ,则.4. 设椭圆(ab0)的两个焦点为F1、F2,P(异于长轴端点)为椭圆上任意一点,在PF1F2中,记, ,,则有.5. 若椭圆(ab0)的左、右焦点分别为F1、F2,左准线为L,则当0e时,可在椭圆上求一点P,使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.6. P为椭圆(ab0)上任一点,F1,F2为二焦点,A为椭圆内一定点,则,当且仅当三点共线时,等号成立.7. 椭圆与直线有公共点的充要条件是.8. 已知椭圆(ab0),O为坐标原点,P、Q为椭圆上两动点,且.(1);(2)|OP|2+|OQ|2的最大值为;(3)的最小值是.9. 过椭圆(ab

6、0)的右焦点F作直线交该椭圆右支于M,N两点,弦MN的垂直平分线交x轴于P,则.10. 已知椭圆( ab0),A、B、是椭圆上的两点,线段AB的垂直平分线与x轴相交于点, 则.11. 设P点是椭圆( ab0)上异于长轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记,则(1).(2) .12. 设A、B是椭圆( ab0)的长轴两端点,P是椭圆上的一点,, ,,c、e分别是椭圆的半焦距离心率,则有(1).(2) .(3) .13. 已知椭圆( ab0)的右准线与x轴相交于点,过椭圆右焦点的直线与椭圆相交于A、B两点,点在右准线上,且轴,则直线AC经过线段EF 的中点.14. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线,与

7、以长轴为直径的圆相交,则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.15. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点,则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.16. 椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率). (注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.)17. 椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e.18. 椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.椭圆与双曲线的对偶性质-双曲线1. 双曲线(a0,b0)的两个顶点为,,与y轴平行的直线交双曲线于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是.2

8、. 过双曲线(a0,bo)上任一点任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于B,C两点,则直线BC有定向且(常数).3. 若P为双曲线(a0,b0)右(或左)支上除顶点外的任一点,F1, F 2是焦点, , ,则(或).4. 设双曲线(a0,b0)的两个焦点为F1、F2,P(异于长轴端点)为双曲线上任意一点,在PF1F2中,记, ,,则有.5. 若双曲线(a0,b0)的左、右焦点分别为F1、F2,左准线为L,则当1e时,可在双曲线上求一点P,使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.6. P为双曲线(a0,b0)上任一点,F1,F2为二焦点,A为双曲线内一定点,则,当且仅当三点共线且和在y轴

9、同侧时,等号成立.7. 双曲线(a0,b0)与直线有公共点的充要条件是.8. 已知双曲线(ba 0),O为坐标原点,P、Q为双曲线上两动点,且.(1);(2)|OP|2+|OQ|2的最小值为;(3)的最小值是.9. 过双曲线(a0,b0)的右焦点F作直线交该双曲线的右支于M,N两点,弦MN的垂直平分线交x轴于P,则.10. 已知双曲线(a0,b0),A、B是双曲线上的两点,线段AB的垂直平分线与x轴相交于点, 则或.11. 设P点是双曲线(a0,b0)上异于实轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记,则(1).(2) .12. 设A、B是双曲线(a0,b0)的长轴两端点,P是双曲线上的一点,, ,

10、,c、e分别是双曲线的半焦距离心率,则有(1).(2) .(3) .13. 已知双曲线(a0,b0)的右准线与x轴相交于点,过双曲线右焦点的直线与双曲线相交于A、B两点,点在右准线上,且轴,则直线AC经过线段EF 的中点.14. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线,与以长轴为直径的圆相交,则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.15. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点,则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.16. 双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率).(注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点).

11、17. 双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比e.18. 双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项.圆锥曲线问题解题方法 圆锥曲线中的知识综合性较强,因而解题时就需要运用多种基础知识、采用多种数学手段来处理问题。熟记各种定义、基本公式、法则固然重要,但要做到迅速、准确解题,还须掌握一些方法和技巧。一. 紧扣定义,灵活解题灵活运用定义,方法往往直接又明了。例1. 已知点A(3,2),F(2,0),双曲线,P为双曲线上一点。求的最小值。 解析:如图所示, 双曲线离心率为2,F为右焦点,由第二定律知即点P到准线距离。二. 引入参数,简捷明快参数的引入,尤如

12、化学中的催化剂,能简化和加快问题的解决。例2. 求共焦点F、共准线的椭圆短轴端点的轨迹方程。 解:取如图所示的坐标系,设点F到准线的距离为p(定值),椭圆中心坐标为M(t,0)(t为参数) ,而 再设椭圆短轴端点坐标为P(x,y),则 消去t,得轨迹方程三. 数形结合,直观显示将“数”与“形”两者结合起来,充分发挥“数”的严密性和“形”的直观性,以数促形,用形助数,结合使用,能使复杂问题简单化,抽象问题形象化。熟练的使用它,常能巧妙地解决许多貌似困难和麻烦的问题。例3. 已知,且满足方程,又,求m范围。 解析:的几何意义为,曲线上的点与点(3,3)连线的斜率,如图所示四. 应用平几,一目了然用

13、代数研究几何问题是解析几何的本质特征,因此,很多“解几”题中的一些图形性质就和“平几”知识相关联,要抓住关键,适时引用,问题就会迎刃而解。例4. 已知圆和直线的交点为P、Q,则的值为_。 解:五. 应用平面向量,简化解题向量的坐标形式与解析几何有机融为一体,因此,平面向量成为解决解析几何知识的有力工具。例5. 已知椭圆:,直线:,P是上一点,射线OP交椭圆于一点R,点Q在OP上且满足,当点P在上移动时,求点Q的轨迹方程。 分析:考生见到此题基本上用的都是解析几何法,给解题带来了很大的难度,而如果用向量共线的条件便可简便地解出。 解:如图,共线,设,则, 点R在椭圆上,P点在直线上 , 即 化简

14、整理得点Q的轨迹方程为: (直线上方部分)六. 应用曲线系,事半功倍利用曲线系解题,往往简捷明快,收到事半功倍之效。所以灵活运用曲线系是解析几何中重要的解题方法和技巧之一。例6. 求经过两圆和的交点,且圆心在直线上的圆的方程。 解:设所求圆的方程为: 则圆心为,在直线上 解得 故所求的方程为七. 巧用点差,简捷易行在圆锥曲线中求线段中点轨迹方程,往往采用点差法,此法比其它方法更简捷一些。例7. 过点A(2,1)的直线与双曲线相交于两点P1、P2,求线段P1P2中点的轨迹方程。 解:设,则 <2><1>得 即 设P1P2的中点为,则 又,而P1、A、M、P2共线 ,即 中

15、点M的轨迹方程是解析几何题怎么解高考解析几何试题一般共有4题(2个选择题, 1个填空题, 1个解答题), 共计30分左右, 考查的知识点约为20个左右. 其命题一般紧扣课本, 突出重点, 全面考查. 选择题和填空题考查直线, 圆, 圆锥曲线, 参数方程和极坐标系中的基础知识. 解答题重点考查圆锥曲线中的重要知识点, 通过知识的重组与链接, 使知识形成网络, 着重考查直线与圆锥曲线的位置关系, 求解有时还要用到平几的基本知识,这点值得考生在复课时强化. 例1 已知点T是半圆O的直径AB上一点,AB=2、OT=t (0<t<1),以AB为直腰作直角梯形,使垂直且等于AT,使垂直且等于B

16、T,交半圆于P、Q两点,建立如图所示的直角坐标系.(1)写出直线的方程; (2)计算出点P、Q的坐标; (3)证明:由点P发出的光线,经AB反射后,反射光线通过点Q. 讲解: 通过读图, 看出点的坐标.(1 ) 显然, 于是 直线的方程为;(2)由方程组解出、; (3), . 由直线PT的斜率和直线QT的斜率互为相反数知,由点P发出的光线经点T反射,反射光线通过点Q.需要注意的是, Q点的坐标本质上是三角中的万能公式, 有趣吗?例2 已知直线l与椭圆有且仅有一个交点Q,且与x轴、y轴分别交于R、S,求以线段SR为对角线的矩形ORPS的一个顶点P的轨迹方程 讲解:从直线所处的位置, 设出直线的方

17、程, 由已知,直线l不过椭圆的四个顶点,所以设直线l的方程为代入椭圆方程 得 化简后,得关于的一元二次方程 于是其判别式由已知,得=0即 在直线方程中,分别令y=0,x=0,求得 令顶点P的坐标为(x,y), 由已知,得 代入式并整理,得 , 即为所求顶点P的轨迹方程方程形似椭圆的标准方程, 你能画出它的图形吗? 例3已知双曲线的离心率,过的直线到原点的距离是 (1)求双曲线的方程; (2)已知直线交双曲线于不同的点C,D且C,D都在以B为圆心的圆上,求k的值. 讲解:(1)原点到直线AB:的距离. 故所求双曲线方程为 (2)把中消去y,整理得 . 设的中点是,则 即故所求k=±.为

18、了求出的值, 需要通过消元, 想法设法建构的方程. 例4 已知椭圆C的中心在原点,焦点F1、F2在x轴上,点P为椭圆上的一个动点,且F1PF2的最大值为90°,直线l过左焦点F1与椭圆交于A、B两点,ABF2的面积最大值为12 (1)求椭圆C的离心率; (2)求椭圆C的方程 讲解:(1)设, 对 由余弦定理, 得,解出 (2)考虑直线的斜率的存在性,可分两种情况: i) 当k存在时,设l的方程为 椭圆方程为 由 得 .于是椭圆方程可转化为 将代入,消去得 ,整理为的一元二次方程,得 .则x1、x2是上述方程的两根且,也可这样求解: ,AB边上的高ii) 当k不存在时,把直线代入椭圆方

19、程得 由知S的最大值为 由题意得=12 所以 故当ABF2面积最大时椭圆的方程为: 下面给出本题的另一解法,请读者比较二者的优劣:设过左焦点的直线方程为:(这样设直线方程的好处是什么?还请读者进一步反思反思.)椭圆的方程为:由得:于是椭圆方程可化为:把代入并整理得:于是是上述方程的两根.,AB边上的高,从而当且仅当m=0取等号,即由题意知, 于是 .故当ABF2面积最大时椭圆的方程为: 例5 已知直线与椭圆相交于A、B两点,且线段AB的中点在直线上.()求此椭圆的离心率;(2 )若椭圆的右焦点关于直线的对称点的在圆上,求此椭圆的方程.讲解:(1)设A、B两点的坐标分别为 得, 根据韦达定理,得

20、 线段AB的中点坐标为(). 由已知得,故椭圆的离心率为 . (2)由(1)知从而椭圆的右焦点坐标为 设关于直线的对称点为解得 由已知得 ,故所求的椭圆方程为 .例6 已知M:轴上的动点,QA,QB分别切M于A,B两点,(1)如果,求直线MQ的方程;(2)求动弦AB的中点P的轨迹方程.讲解:(1)由,可得由射影定理,得 在RtMOQ中, ,故,所以直线AB方程是(2)连接MB,MQ,设由点M,P,Q在一直线上,得由射影定理得即 把(*)及(*)消去a,并注意到,可得适时应用平面几何知识,这是快速解答本题的要害所在,还请读者反思其中的奥妙. 例7 如图,在RtABC中,CBA=90°,AB=2,AC=。DOAB于O点,OA=OB,DO=2,曲线E过C点,动点P在E上运动,且保持| PA |+| PB |的值不变.(1)建立适当的坐标系,求曲线E的方程;A O B C(2)过D点的直线L与曲线E相交于不同的两点M、N且M在D、N之间,设,试确定实数的取值范围讲解: (1)建立平面直角坐标系, 如图所示| PA |+| PB |=| CA |+| CB | y=动点P的轨迹是椭圆

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