高等数学B第七章

1、讲授内容 §7.1空间直角坐标系§7.2向量代数教学目的与要求：1、 理解空间直角坐标系、向量、向量的模、方向角、方向余弦及向量的投影、数量积、向量积的概念。2、 掌握向量的线性运算及数量积、向量积的运算，掌握两向量平行、垂直的充要条件。3、 熟练掌握两点间的距离公式，及数量积、向量积的坐标表达式，会求向量的模、方向角、方向余弦。教学重难点：重点向量的线性运算，数量积、向量积的运算，向量的方向余弦。 难点向量在轴上的投影。教学方法：讲授法教学建议：向量的方向余弦在以后经常用到，应该让学生熟练掌握。配合图形讲解。 学时：4学时教学过程一、空间直角坐标系坐标轴:x轴(横轴),y

2、轴(纵轴), z轴(竖轴)以O为原点,两两垂直.三轴的单位向量依次为 i, j, k.构成空间直角坐标系Oxyz或O,i,j,k,正向符合右手规则.坐标面:任意两条坐标轴确定的平面.xOy平面; xOz平面; yOz平面.卦限:坐标平面将空间划分的每一个部分称为一个卦限.1 / 55 二、空间两点间的距离设M1（x1,y1,z1）、M2（x2,y2,z2）为空间两点，为了用两点的坐标来表达它们间的距离d，我们过M1，M2各作三个分别垂直于三条坐标轴的平面.这六个平面围成一个以M1，M2为对角线的长方体（图7-4）.根据勾股定理，有图7-4M1M22M1N2NM22M1P2M1Q2M1R2.由于

3、M1PP1P2x2x1,M1QQ1Q2y2y1,M1RR1R2z2z1,所以dM1M2，这就是两点间的距离公式.特别地，点M（x,y,z）与坐标原点O（0,0,0）的距离为dOM。三、向量概念向量:既有大小又有方向的量.向量在数学上的表示:有向线段AB表示以A为起点，B为终点的向量. 其中| AB| 表示向量的大小;有向线段的方向表示向量方向或者表示为:a、b、c 或者 、等.自由向量:与起点无关的向量.向量a=bÛ大小相等、方向相同.向量的模:向量的大小.单位向量:模等于1的向量.逆向量： 与向量a模相等而方向相反的向量称为a的逆向量，记为-a零向量:模等于0的向量,记作0,或者,

4、起点与终点重合,方向任意.向量ab: 两个非零向量的方向相同或相反.零向量与任意向量平行.两向量共线: 两向量平行时,当将起点放在一起时,终点在同一直线上;k个向量共面: k个向量起点放在同一点时,起点和终点在同一平面上.四、向量的线性运算1.向量的加法设有向量a与b,任取一点A,作AB=a,再以B为终点,作BC=b,连接AC,则AC=c,称为a与b的和,记作c=a+b.三角形法则平行四边形法则加法的运算规律i. 交换律a+b=b+aii. 结合律(a+b)+c= a+(b+c)(结合律示意图)(s=a1+a2+a3+a4+a5示意图)2.向量的减法a的负向量:与a的模相同,方向相反的向量.记

5、作 a .ab a+(- b)任给向量AB及点O,有:AB=AO+OB=OB-OA.三角形原理:| a+b | a |+| b |;| a b | a |+| b |;3.向量与数的乘法向量a与实数的乘积记作a,规定a是一个向量,其模为:|a|=|a|,其方向为:当>0时 与a相同,当<0时 与a相反.运算规律:a) 结合律:(a)=(a)=()a.b) 分配律:(+)a=a+a;(a+b)=a+b.向量的线性运算:向量相加及数乘向量4.两向量平行的充分必要条件定理:设向量a0,则向量ba Û$| ÎR: 使b=a.证明:充分性显然(必要性) 设ba.取|=|b

6、|/|a|,且规定:b与a同向时,>0;b与a反向时,<0.则有:b=a.唯一性 设b=a ,b=a ,则()a=0Þ|a|=0因|a|0,Þ=5.向量a的单位向量ea: ea=a/|a|.6.数轴Ox上的点P,向量OP与实数x的关系:数轴Ox: 原点O ,单位向量i.点P向量OP=xi实数x.点P的坐标为xÛOP =xi.例1. 在平行四边形ABCD中,设AB=a,AD=b.试用a和b表示向量MA, MB, MC, MD,这里M是平行四边形对角线的交点.解: MA=-(1/2)AC=-(a+b)/2;MC=-MA=(a+b)/2;MB=(1/2)DB

7、=(a-b)/2;MD=-MB=(b-a)/2向量的坐标分解式:给定向量r,对应点M,使OM=r.则r=OM=OP+PN+NM=OP+OQ+OR设OP=xi; OQ=yj;OR=zk.则r =OM=xi+yj+zk.称为r的坐标分解式.空间点M,向量r = OM与有序数组(x,y,z)的关系:M r =OM=xi+yj+zk (x,y,z)称(x,y,z)为点M的坐标.记为M(x,y,z).向经:向量OM称为点M关于原点O的向经.点与此点的向经有相同的坐标. (x,y,z)既表示点M,又表示向量OM.坐标轴及坐标面上的点的坐标特征:x轴:(x,0,0); y轴:(0,y,0); z轴:(0,0

8、,z).xoy面:(x,y,0);yoz面:(0,y,z);xoz面:(x,0,z).原点:(0,0,0).五、利用坐标作向量的运算设a =(ax,ay,az),b=(bx,by,bz)Þa =axi+ayj+azk , b = bxi+byj+bzk,则a+b =( ax+ bx )i+(ay+by)j+(az+bz)ka-b =( ax-bx )i+(ay-by)j+(az-bz)ka =(ax)i+(ay)j+(az)k向量平行充分必要条件:设:a=(ax,ay,az)0, b=(bx,by,bz)ba Û b=a Û (bx,by,bz)= (ax,ay,

9、az)Û 例2. 已知点A(x1,y1,z1)、点B(x2,y2,z2)和实数-1,在直线AB上求点M,使AM=MB. 解:AM=OM-OA ,MB=OB-OM,OM-OA=(OB-OM)ÞOM=(OA+OB)=(x1,y1,z1)+(x2,y2,z2)Þ OM=(,)Þ 此为点M的坐标.此为定比分点公式.当=1时,为中点公式.六、 向量的模、方向角、投影1.向量的模设向量r=(x,y,z),作OM=r,则r=OM=OP+OQ+OR| r |=|OM|=OP=xi, OQ=yj,OR=zk|OP|=|x|, |OQ|=|y|,|OR|=|z| | r |

10、= 例3. 求证:以M1(4,3,1)、M2(7,1,2)、M3(5,2,3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形.解:|M1M2|2=(7-4)2+(1-3)2+(2-1)2=14;|M1M3|2=(5-7)2+(2-1)2+(3-2)2=6;|M2M3|2=(4-5)2+(3-2)2+(1-3)2=6例4. 在z轴上求与两点A(-4,1,7)、B(3,5,-2)等距离的点.解:设所求点的坐标为(0,0,z),则有:|MA|2=|MB|2Þ(0+4)2+(0-1)2+(z-7)2=(3-0)2+(5-0)2+(-2-z)2,Þz=19=4/9所求点为:(0,0,14/9)例

11、5. 求点A(a,b,c)关于(1)各坐标轴;(2)各坐标面;(3)坐标原点的对称点的坐标.解:(1)关于x轴:(a,-b,-c); 关于y轴:(-a,b,-c); 关于z轴:(-a,-b,c);(2) 关于xoy面:(a,b,-c); 关于xoz面:(a,-b,c); 关于yoz面:(-a,b,c);(3)关于坐标原点:(-a,-b,-c)例6. 已知两点A(4,0,5)和点B(7,1,3),求与AB方向相同的单位向量.解:AB=OB-OA=(7,1,3)-(4,0,5)= (3,1,-2)Þ |AB|=Þ eAB=(3,1,-2)2.方向角与方向余弦两向量的夹角:设有非

12、零向量a,b,任取一点O,作OA=a,OB=b,称不超过的角=AOB为向量a,b的夹角.记为(ab)或(ba).向量的方向角:非零向量r=OM与三条坐标轴的夹角, , (0,)称为向量r的方向角.向量的方向余弦设r =(x,y, z)由图可知,OP=xi,Þcos=;同理:cos=; cos=Þ(cos,cos,cos)=( ,)=( x,y, z)=er.cos,cos,cos叫做r的方向余弦.|r|=Þcos=;cos=;cos=性质:cos2+cos2+cos2=1 例7. 已知两点M1(2,2,)和M2(1,3,0),求向量M1M2的模、方向余弦和方向角.

13、解: M1M2=(1-2,3-2,0-)=(-1,1,-).|M1M2|=2cos=-1/2,cos=1/2,cos=-/2=2/3,=/3,=3/4例8. 设点A位于第卦限,向经OA与x轴,y轴的夹角依次为/3和/4,且|OA|=6,求点A的坐标.解:=/3; =/4由cos2+cos2+cos2=1Þcos2=1/4又点A在第卦限,Þcos=1/2.OA=|OA|eOA=6 (,)=(3,3,3)此为点A的坐标.3.向量在轴上的投影设点O及单位向量e确定轴u(相当于坐标轴).给定向量r,作r=OM,过点M作与轴u垂直的平面交轴u于点M,(点M称为点M在轴u上的投影)向量

14、OM称为向量r在轴u上的投影,记为prjur(或(r)u.由此向量a在坐标系Oxyz中的坐标ax,ay,az为a在三条坐标轴上的投影.即有:Þax=Prjxa,ay= Prjya,az= Prjza,或ax=(a)x,ay=(a)y,az=(a)z向量投影的性质:向量的投影具有于向量坐标相同的性质:性质1：(a)u=|a|cos 或 Prjua=|a|cos 其中为a与轴u的夹角.性质2:(a+b)u=(a)u+(b)u 或 Prju(a+b)=Prjua+Prjub Prju(a1+a2+an)=Prjua1+Prjua2+ Prjuan.性质3:(a)u=(a)u或 Prju(a

15、)=Prjua例9. 设向量a=(4,3,2),又轴u的正向与三条坐标轴的正向构成相等锐角,试求(1)向量a在u轴上的投影;(2)向量a与u轴的夹角.解:设eu的方向余弦为cos,cos,cos.则由题义有:0<=</2.由cos2+cos2+cos2=1,得: cos=cos=cos=/3.eu=/3i+/3j+/3k. a=4i-3j+2k.Prjua= Prju(4i)+ Prju(-3j)+ Prju(2k)=4Prjui-3Prjuj+ 2Prjuk=4/3-3/3+2/3=. 由于Prjua=|a|cos=cos=,Þ =arccos/.例10. 设立方体的一

16、条对角线为OM,一条棱为OA,且|OA|=a,求OA在OM上的投影PrjOMOA.解:设=MOA,则=Þ PrjOMOA=|OA|cos=七、两向量的数量积1. 向量a,b的数量积:ab |a|b|cos. =(ab)当a0时,|b|cos=|b|cos(ab)= |b|Prjab Þab=|a|Prj ab (a0),同理ab=|b|Prj ba(b0)性质:(1) aa=|a|2(2) ab=0Ûab 2. 运算规律(1) 交换律:ab = ba(2) 分配律:(a+b)c = ac+bc(3) 结合律:(a)b=(ab)=a(b)(a)(b)=a(b)= (

17、ab)= (ab)证明:(1) ab = |a|b|cos; ba = |a|b|cos;Þ ab = ba(2)当c=0时,显然成立.当c0时,(a+b)c=|c|Prjc(a+b)=|c|(Prjca+Prjcb)=|c|Prjca+|c|Prjcb= ac+bc(3)当b=0时,结论成立.当b0时,(a)b=|b|Prjb(a)= |b|Prjba =|b|Prjba=(ab)=a(b).(a)(b)=a(b)= (ab)= (ab)例11. 试用向量证明三角形的余弦定理.证明:设在ABC中,B C A=,|BC|=a,|CA|=b,|AB|=c记CB=a, CA=b, AB=

18、c. Þ c=a-bÞ c2=|c|2=cc=(a-b)(a-b)=aa+bb-2abÞ c2=|a|2+|b|2-2|a|b|cos=a2+b2-2abcos3. 数量积的坐标表达式设a=axi+ayj+azk , b= bxi+byj+bzk则ab =(axi+ayj+azk)( bxi+byj+bzk)= ax bx+ ayby+az bz从而cos=例12. 已知三点M(1,1,1)、A(2,2,1)和B(2,1,2),求AMB.解:作MA,MB, AMB为MA与MB的夹角ÞMA=(2,2,1)-(1,1,1)=(1,1,0);MB=(2,1,2

19、)-(1,1,1)=(1,0,1)MAMB=1´1+1´0+0´1=1;|MA|=;|MB|=cosAMB=ÞAMB=/3.例13. 已知a,b,c,两两垂直,且|a|=1,|b|=2,|c|=3,求s=a+b+c的长度与它和a,b,c的夹角.解:|s|2 =s s=(a+b+c)(a+b+c)=aa+bb+cc+2ab+2bc+2ac由于:aa=|a|2=1,bb=|b|2=4,cc=|c|2=9; ab=bc=ac=0Þ|s|2=14,Þ|s|=cos(sa)= =1/.Þ (sa)=arcos(1/);同理:(sb)=

20、 (sc) =accos(1/)例14. 设a,b,c为单位向量,且满足a+b+c=0,求ab+bc+ca.解: (a+b+c) a=a2+ba+ca=1+ab+ca;(a+b+c) b=ab+b2+cb=1+ab+bc;(a+b+c) c=ac+bc+c2=1+ca+bc;三式相加:Þ 3+2ab+bc+ca= (a+b+c) (a+b+c)=0Þ ab+bc+ca=-3/2.例15. 利用向量证明不等式:|a1b1+ a2b2+ a3b3|其中a1,a2,a3,b1,b2,b3为任意常数,并指出等号成立的条件.证明:设a=( a1,a2,a3),b=( b1,b2,b3

21、)cos(a b)= =Þ|a1b1+ a2b2+ a3b3|等号“=”成立Ûa /b例16. 有一个ABC和一个圆,三角形边长BC=a,CA=b,AB=c,圆的中心为A,半径为r.引圆的直径PQ,试求当BPCQ取得最大、最小时PQ的方向,并用a,b,c,r表示BPCQ的最大值、最小值. 解:AQ=-AP,|AP|=|AQ|=r,ABAC=|AB|AC|cosA=bc(b2+c2-a2)/2bc=( b2+c2-a2)/2ÞBPCQ=(APAB)(AQAC) =(APAB)(APAC)=|AP|2+(ABAC)AP+ABAC=( b2+c2-a2)/2r2+CBA

22、P=( b2+c2-a2)/2r2+BCPAÞ当BCPA最大(小)时,BPCQ最大(小).Þ 当BCPA同向即PQ与BC同向时,BCPA最大,其最大值是ar.Þ当BCPA反向即PQ与BC反向时,BCPA最小,其最小值是-ar.ÞPQ与BC同向时,max BPCQ=( b2+c2-a2)/2-r2+ar;PQ与BC反向时,min BPCQ=( b2+c2-a2)/2-r2-ar八、两向量的向量积1. 定义:a×b = c, c称为a与b的向量积.其中,iii. |c|=|a|b|sin,=(ab) iv. c的方向垂直于a,b所决定的平面,其指向

23、按右手从a转向b确定.性质:由定义可得:(1) a×a=0(2) ab Û a×b=0 几何意义: | a×b |为以a,b为边的平行四边形的面积.2.运算律:v. a×b= - b×avi. 分配律:(ab)×c=a×c+b×cc×(ab)=c×a+c×bvii. 结合律: (a)×b=a×(b)=(a×b)3.向量积的坐标表达式设a = axi+ayj+azk , b = bxi+byj+bzk则a×b =(axi+ayj+azk)

24、×( bxi+byj+bzk)=(aybz- azby)i+(az bx-ax bz)j+ (axby-aybx)ka×b=i-j+k =例17. 设a=(2,1,-1),b=(1,-1,2),计算 a×b.解: a×b=i-j+k=i-5j-3k.例18. 已知ABC的顶点分别是A(1,2,3)、B(3,4,5)和C(2,4,7),求ABC的面积.解:SABC=|AB|AC|sinA=|AB´AC|AB=(3,4,5)-(1,2,3)=(2,2,2,),AC=(2,4,7)-(1,2,3)=(1,2,4).SABC=|AB´AC|=

25、i-j+k=4i-6j+2k.例19. 利用向量积证明三角形的正弦定理.证明：如图Sabc=1/2|a×b|=1/2|b×c|=1/2|c×a| Þ |a|b|sinC=|b|c|sinA=|c|a|sinB例20. 已知M1(1,-1,2), M2(3,3,1), M3(3,1,3),求与M1M2,M2M3同时垂直的单位向量.解: M1M2=(3,3,1)-(1,-1,2)=(2,4,-1),M2M3=(3,1,3)-(3,3,1)=(0,-2,2);与M1M2,M2M3同时垂直的一个向量为:a=M1M2´M2M3=i-j+k =6i-4j-

26、4k.|a|=2Þa =±(3i-2j-2k)作业： P42 7，9，13（1）（3），P43 28，31教学后记：复习思考题：向量的数量积和向量积在运算及运算规律方面的区别讲授内容 §7.3 平面与直线教学目的与要求：1、掌握平面的点法式、一般式、截距式方程,会根据相应条件求平面的方程。2、掌握两平面夹角的概念与求法，掌握两平面平行、垂直的充分必要条件。3、掌握点到平面的距离公式，会求点到平面的距离。4、掌握空间直线的一般方程、对称式方程和参数方程5、理解两直线夹角的概念，会求两直线的夹角。6、掌握两直线平行垂直的充分必要条件。7、理解直线与平面夹角的概念，掌握

27、直线与平面垂直平行的充分必要条件教学重难点： 1、根据条件求平面的方程。2、会根据两平面平行，垂直的充分必要条件判断平面的平行、垂直。3、两直线平行与垂直的充要条件，直线与平面平行与垂直的充分必要条件。教学方法：讲授法教学建议：平面束方程的解题方法，在求平面、直线方程中有时很有意义，可多举例说明。学时：2学时教学过程一、平面的点法式方程1. 法线向量:与平面垂直的非零向量.2. 平面的点法式方程设M0(x0,y0,z0)是平面上的已知点,n=(A,B,C)是平面的法线向量,M(x,y,z)是平面上的任一点.则有nM0 M=0.由于n=(A,B,C) ;M0M=( xx0,yy0,zz0)即有A

28、(xx0)+B(yy0)+C(zz0)=0此为平面的点法式方程.例1. 求过点(2,-3,0)且以n=(1,-2,3)为法线向量的平面方程.解:代入方程得:(x-2)-2(y+3)+3(z-0)=0Þx-2y+3z-8=0例2. 求过三点M1(2,-1,4)、M2(-1,3,-2)、M3(0,2,3)的平面方程.解:由于nM1M2×M1M3=14i+9j-k则所求平面方程为Þ14(x-2)+9(y+1)-(z-4)=0Þ14x+9y-z-15=0二、平面的一般方程3. 平面的一般方程为 Ax+By+Cz+D=0 其中n=(A,B,C)为法向量4. 各种特

29、殊情形a) D=0,平面Ax+By+Cz=0经过原点;b) A=0,平面By+Cz+D=0平行于x轴;c) B=0,平面Ax+Cz+D=0平行于y轴;d) C=0,平面Ax+By+D=0平行于z轴;e) A=B=0,平面Cz+D=0平行于xoy平面;f) A=C=0,平面By+D=0平行于 xoz平面;g) B=C=0,平面Ax+D=0平行于yoz平面.例3. 求通过x轴和点(4,-3,-1)的平面方程.解:平面经过x轴,则法向量在x轴上的投影为0,ÞA=0;平面经过x轴,则平面经过原点,ÞD=0;故可设平面方程为:By+Cz=0,又平面经过点(4,-3,-1),Þ

30、;-3B-C=0,或C=-3B.代入有y-3z=0.例4. 设一平面与x,y,z轴的交点依次为P(a,0,0)、Q(0,b,0)和R(0,0,c)三点,求此平面的方程.(其中a0,b0,c0)解:设平面方程为Ax+By+Cz+D=0代入P(a,0,0)、Q(0,b,0)和R(0,0,c)得A=-D/a,B=-D/b,C=-D/c,代入方程并消去D得平面方程:此方程称为平面的截距式方程,a,b,c依次称为平面在x,y,z轴上的截距.三、两平面的夹角5. 两平面的夹角:两平面的法线向量的夹角(通常指锐角).设平面1和2的法线向量依次为:n1=(A1,B1,C1) n2=(A2,B2,C2)则平面1

31、和2的夹角为(n1n2)和-(n1n2)中的锐角,Þcos=|cos(n1n2)|,即有: 平面1和2垂直Û A1A2+B1B2+C1C1=0平面1和2平行Û A1/A2=B1/B2=C1/C16. 两平面垂直、平行的充分必要条件例5. 求两平面x-y+2z-6=0和2x+y+z-5=0的夹角.解: n1=(1,-1,2) n2=(2,1,1)Þ cos=Þ =/3例6. 一平面通过两点M1(1,1,1)和M2(0,1,-1)且垂直于平面x+y+z=0,求它的方程.解:设所求平面的一个法向量为n=A,B,C.由nM1M2=(-1,0,-2)&#

32、222;-A-2C=0由n(1,1,1)ÞA+B+C=0ÞA=-2C,B=C,代入点法式方程:A(x-1)+B(y-1)+C(z-1)=0消去C得所求方程为:2x-y-z=07. 点到平面的距离例7. 设P0(x0,y0,z0)是平面Ax+By+Cz+D=0外一点,求P0到这平面的距离.解:在平面上任取一点P1(x1,y1,z1),并作一法向量n=A,B,C.则所求距离:d=PrjnP1P0.又设en为与n方向一致的单位向量,则有:PrjnP1P0= P1P0en而en=(,)P1P0=(x0x1,y0y1,z0z1)由于:Ax1+By1+Cz1+D=0,所以:PrjnP1

33、P0=即:例8. 求点(2,1,1)到平面x+yz+1=0的距离解:d=四、空间直线的方程1、空间直线的一般方程定义:方程组叫做空间直线的一般方程或面交式方程.2、空间直线的对称式方程1）方向向量:与已知直线平行的非零向量.2）直线的对称式方程或点向式方程:设M0(x0,y0,z0)为直线L上的已知点, M(x,y,z)为直线L上的任一点.s=(m,n,p)为L的方向向量.由于M0Ms,即有: 此方程称为直线的对称式方程或点向式方程直线L的任一方向向量s的坐标m,n,p称为这直线的一组方向数,而向量s的方向余弦叫做该直线的方向余弦.注:当m,n,p中有一个为零时,如m=0,而n,p0时,则方程

34、组为当m,n,p中有两个为零时,如m=n=0,而p0时,则方程组为3、直线的参数方程由得: 称此方程组为直线的参数方程.例9对称式方程及参数方程表示直线解:两平面的法向量分别为n1=1,1,1和n2=2,1,-3,则s= n1×n2=令x=1,代入方程,求得直线上得一点:(1,0,-2)对称式方程为:参数式方程为:五、两直线的夹角1、线的夹角:两直线方向向量的夹角.(通常为锐角)2、设直线L1和L2的方向向量分别为s1=(m1,n1,p1),s2=(m2,n2,p2),则其夹角为=(s1s2)中的锐角.且有 cos= 4、 两直线相互垂直和平行的充分必要条件两直线L1L2 :

35、9;m1m2+n1n2+p1p2=0两直线L1L2:Ûm1/m2=n1/n2=p1/p2例10. 求直线L1: 和L2: 的夹角.解: s1=(1,-4,1),s2=(2,-2,-1)Þ cos=Þ =/4.六、直线与平面的夹角1.线与平面的夹角当直线与平面不垂直时,直线与平面的夹角是指直线和它在平面上的投影直线的夹角 .(0/2）当直线与平面垂直时,规定直线与平面的夹角为/2.设直线L的方向向量为s=(m,n,p),平面的法向量n=(A,B,C),其夹角为，则=|/2-(sn)|因此,sin=|cos(sn)| 且有sin=直线L与平面相互垂直ÛA/m

36、=B/n=C/p直线L与平面相互平行或直线在平面上ÛAm+Bn+Cp=02.直线与平面相互垂直和平行的充分必要条件例11. 求过点(1,-2,4)且与平面2x-3y+z-4=0垂直的直线的方程.解:所求直线的方向向量为:s=(2,-3,1)直线过点(1,-2,4)直线方程为:=七、 平面束解题方法（补充内容，选讲）平面束:通过定直线的所有平面.设直线L为其中系数A1,B1,C1和A2,B2,C2不成比例,则过L的平面束方程为(A1x+B1y+C1z+D1)+(A2x+B2y+C2z+D2)=0例12. 求直线在平面x+y+z=0上的投影直线方程.解:设经过直线L:的平面束方程为(x+

37、y-z-1)+(x-y+z+1)=0, 即:(1+)x+(1-)y+(-1+)z+(-1+)=0由于此平面与已知平面垂直,所以:(1+)+(1-)+(-1+)=0即有=-1代入平面束方程得投影平面的方程为y-z-1=0从而得投影直线l的方程:八、 杂例例13. 求与平面x-4z=3和2x-y-5z=1的交线平行且过点(-3,2,5)的直线方程.解:s=n1×n2=-(4i+3j+k)则所求直线方程为:例14. 求直线与平面2x+y+z-6=0的交点.解:直线的参数方程为:x=2+t, y=3+t, z=4+2t,将其代入平面方程:Þt=-1.将其代入直线方程得:交点坐标为:

38、(1,2,2).例15. 求过点(2,1,3)且与直线垂直相交的直线方程.解:(法一)过点(2,1,3)作平面垂直于已知直线,则此平面的方程为3(x-2)+2(y-1)-(z-3)=0求已知直线与该平面的交点,将直线的参数方程x=-1+3t,y=1+2t,z=-t代入平面方程得t=3/7从而得交点(2/7,13/7,-3/7)于是所求直线的方向向量为s=(2/7-2,13/7-1,-3/7-3)=6/7(2,-1,4)故所求直线的方程为:(法二)设所求直线的参数方程为x=mt+2,y=nt+1,z=pt+3,由于所求直线与已知直线垂直,从而有:(m,n,p)(3,2,-1),Þ3m+

39、2n-p=0又由于所求直线与已知直线相交,故由两直线的参数方程有x=3t-1=mt+2,y=2t+1=nt+1,z=-t=pt+3Þ(m-3)t=-3,(n-2)t=0,(p+1)=-3显然t0,从而解得:m=-4,n=2,p=-8,t=3/7故有所求直线的参数方程为:x=-4t+2,y=2t+1,z=-8t+3或者所求直线的方程为:.例16. 求与已知直线L1: 及L2: 相交且和直线L3:平行的直线L.解(法一):将L1与L2都化为参数方程:L1:;L2: 由于L与L1和L2都相交且与L3平行,则两交点对应坐标的差应与L3的方向数成比例,即有:Þ 解得t1=25/2,由

40、此得L和L1的交点为:x1=-28,y1=-65/2,z1=-25/2故所求直线的方程为:解(法二)设直线经过点(a,b,c),下面求点(a,b,c)由所求直线与L3平行有:x=8t+a,y=7t+b,z=t+c;由所求直线与L1相交,即有t1,满足8t1+a=2t1-3,7t1+b=3t1+5,t1+c=t1,Þ6t1=-3-a,4t1=5-b,c=0.Þ2a-3b=-21,c=0(1)又由所求直线与L2相交,即有t2,满足:8t1+a=5t2+10,7t2+b=4t2-7,t2+c=t2,Þ3t2=10-a,3t2= -7-b,c=0.Þa-b=17

41、,c=0(2)由(1),(2)Þa=72,b=55,c=0故所求直线的方程为:x=8t+72,y=7t+55,z=t.例17. 求过直线且与点(1,2,1)的距离为1 的平面方程.解:设过此直线的平面束方程为:(3x-2y+2)+(x-2y-z+6)=0Þ(3+)x-(2+2)y-z+(2+6)=0,由点到平面的距离公式d= =1Þ =2,或=3,故所求平面的方程为x+2y+2z-10=0,或4y+3z-16=0.例18.求两直线L1:和L2:的公垂线L的方程.解:公垂线的方向向量:s=s1×s2=(0,1,1)×(2,-1,0)=(1,2,-

42、2)过L与L1的平面法向量为:n1= s×s1=(1,2,-2)×(0,1,1)=(4,-1,1)在直线L1上取点(1,0,0),则过L与L1的平面方程为:4x-y+z-4=0过L与L2的平面法向量为:n2= s×s2=(1,2,-2)×(2,-1,0)=(2,4,5)在直线L2上取点(0,0,-2)则过L与L2的平面方程为:2x+4y+5z+10=0于是公垂线的方程为: 作业： P44 36，39（1）（3）（5），46，49，50教学后记：复习思考题：平面及直线方程的各种表达式之间的互化。讲授内容 §7.4 曲面与空间曲线教学目的与要求：1

43、、理解曲面与曲面方程间的关系，会用轨迹法求曲面的方程。2、掌握由平面曲线绕坐标轴旋转形成旋转曲面的方程的方法。3、理解柱面的概念，并会求柱面的方程。4、理解用截痕法，伸缩变形法讨论曲面形状的方法。5、掌握九种二次曲面的方程和大致形状。6、掌握空间曲线的一般形式，参数方程形式。7、会根据一般方程、讨论其所表示的曲线。8、理解空间曲线在坐标面上的投影的概念。9、会求特殊空间曲线在坐标面上的投影的形状和方程。教学重难点： 重点旋转曲面、柱面方程的求法。根据方程讨论曲线的形状。 难点二次曲面的方程和大致形状。求空间曲线在坐标面上的投影。教学方法：讲授法教学建议：为使学生掌握二次曲面的方程和形状，讲清由

44、平面曲线先经过旋转再伸缩变形的基本思想学时：2学时教学过程一、曲面方程的概念1. 曲面方程的定义:如果曲面S与三元方程F(x,y,z)=0(1)满足（1）曲面S上任一点的坐标都满足方程(1);（2）不在曲面S上的点的坐标都不满足方程(1),那么,方程(1)叫做曲面S的方程;而曲面S叫做方程(1)的图形. a) 建立球心在点M0(x0,y0,z0)、半径为R的球面方程.解:设点M(x,y,z)是球面上的任意一点,则|M0M|=R,Þ(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=R2b) 设有点A(1,2,3)和B(2,1,4),求线段AB的垂直平分面的方程.解:设点M(x,y,z)在

45、平分面上,则|AM|=|BM|,Þ (x-1)2+(y-2)2+(z-3)2=(x-2)2+(y+1)2+(z-4)2.Þ 2x-6y+2z-7=0.c) 方程x2+y2+z22x+4y=0表示怎样的曲面.解:将方程配方:Þ(x-1)2+(y+2)2+z2=5.表示球心在(1,-2,0),半径为的球.由此空间解析几何中关于曲面的讨论,有下列两个基本问题例4 已知一曲面作为点的几何轨迹时,建立这曲面的方程;例5 已知坐标x,y,和z间的一个方程时,研究这方程所表示的曲面的形状.例1、例2为问题(1),例3为问题(2).二、旋转曲面2. 旋转曲面：一条平面曲线绕其平面

46、上的一条直线旋转一周所成的曲面.这条定直线叫做旋转曲面的轴. 设在yoz面上有一已知曲线C,它的方程为f(y,z)=0,将其绕z轴旋转一周,得到一曲面,其方程求法如下: 设M1(0,y1,z1)为曲线C上的任一点,则有f(y1,z1)=0 (2)当曲线C绕z轴旋转时,点M1也绕z轴旋转到另一点M(x,y,z),此时z=z1保持不变,且点M到旋转轴的距离d=|y1|将z=z1,y1=±代入(2)中,Þf(±,z)=0这就是所求曲面的方程.同理,曲线C绕y轴旋转的旋转曲面方程为:f(y,±)=0类似地有:曲线C:f(x,y)=0绕x轴旋转的旋转曲面方程为:f

47、(x, ±)=0绕y轴旋转的旋转曲面方程为:f(±, y)=0曲线C:f(x,z)=0绕x轴旋转的旋转曲面方程为:f(x, ±)=0绕z轴旋转的旋转曲面方程为:f(±,z)=0例6. 直线L绕另一条与L相交的直线旋转一周,所得旋转曲面叫做圆锥面.两直线的交点叫做圆锥面的顶点,两直线的夹角(0<</2)叫做圆锥面的半顶角.试建立顶点在坐标原点O,旋转轴为z轴,半顶角为的圆锥面的方程.解:在yoz平面上,直线L的方程为:z=ycot,Þ 旋转曲面的方程为:z=±cot 或者z2=a2(x2+y2), 其中,a=cot例8将xo

48、z坐标面上的双曲线=1分别绕x轴和z轴旋转一周,求所生成的旋转曲面的方程.解:绕x轴旋转生成的旋转双叶双曲面: =1 绕z轴旋转生成旋转单叶双曲面: =1三、柱面3. 柱面:平行于定直线并沿定曲线C移动的直线L形成的轨迹.定曲线C叫做柱面的准线,动直线L叫做柱面的母线.a) 方程x2+y2=R2表示的曲面叫做圆柱面解:准线是xoy平面上的圆x2+y2=R2,母线是平行于z轴的直线. b) 方程y2=2x表示的曲面叫做抛物柱面解:准线是xoy平面上的抛物线y2=2x,母线是平行于z轴的直线. 一般地,在空间直角坐标系下,F(x,y)=0:母线平行于z轴的柱面,其准线是xoy面上的曲线 C: F(

49、x,y)=0.F(x,z)=0:母线平行于y轴的柱面,其准线是xoz面上的曲线 C: F(x,z)=0.F(y,z)=0:母线平行于x轴的柱面, 其准线是yoz面上的曲线 C: F(y,z)=0.平面为柱面.例如:平面x-z=0表示:母线平行于y轴,准线为xoz平面上的直线:x-z=0.四、二次曲面二次曲面:三元二次方程F(x,y,z)=0所表示的曲面.平面叫做一次曲面二次曲面共九种.利用截痕法可以了解二次曲面的形状.1. 椭球锥面: 以平面z=t截曲面:当t=0时,得一点(0,0,0).当t0时,得平面z=t上得椭圆: =1;当|t|从大到小变为0时,椭圆从大到小收宿为一点,其图形为:平面z

50、=t于曲面F(x,y,z)=0的交线称为截痕.通过截痕的变化了解曲面形状的方法称为截痕法.下面用伸缩变形法讨论曲面的形状平面xoy上的图形的伸缩变形:将平面上的点M(x,y)变为点M(x,y),此时点M(x,y)的轨迹C变为点M(x,y)的轨迹C,称将图形C沿y轴方向伸缩倍变成图形C.下面讨论C于C的方程关系:设C的方程为F(x,y)=0,点M(x1,y1)ÎC,将M(x,y)变为M(x2,y2),此时x2=x1,y2=y1Þx1=x2,y1=y2由 M(x1,y1)ÎCÞF(x1,y1)=0ÞF(x2,y2)=0因此M(x2,y2)的轨迹C的方程为:F(x,y)=0.例如将圆x2+y2=1沿y轴方向伸缩倍,则圆的方程变为:=1, 即图形由圆变为椭圆.将圆锥面=z2沿y轴方向伸缩倍,则圆锥面变为椭圆锥面: 2. 椭球面:=1将xoz平面上的椭圆=1绕z轴旋转得旋转椭球面: +=1,再将旋转椭球面沿y轴方向伸缩倍,得椭球面:=1当a=b=c时,椭球面为球面:x2+y2+z2=a2.3. 单叶双曲面: =1将xoz平面上的双曲线=1绕z轴旋转得旋转单叶双曲面: -=1再将旋转单叶双曲面沿y轴方向