郑雨婷一元二次与几何证明复习

1、文博教育学生个性化辅导教案教师: 陆松泼 学生: 郑雨婷 授课日期: 2013 年 4 月 5 日 时间段: 8-10 教学目标1、复习一元二次方程及其应用；2、几何证明的经典例题说明及思路的整理教学重、难点一元二次方程解应用题、初二几何证明常见题及解题思路教学内容一元二次方程应用题经典题型汇总一、增长率问题例1恒利商厦九月份的销售额为200万元，十月份的销售额下降了20%，商厦从十一月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额达到了193.6万元，求这两个月的平均增长率.解说明这是一道正增长率问题，对于正的增长率问题，在弄清楚增长的次数和问题中每一个数据的意义，即可利用公式m

2、(1+x)2n求解，其中mn.对于负的增长率问题，若经过两次相等下降后，则有公式m(1x)2n即可求解，其中mn.二、商品定价例2益群精品店以每件21元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价，若每件商品售价a元，则可卖出（35010a）件，但物价局限定每件商品的利润不得超过20%，商店计划要盈利400元，需要进货多少件？每件商品应定价多少？解说明商品的定价问题是商品交易中的重要问题，也是各种考试的热点.三、储蓄问题例3王红梅同学将1000元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入“少儿银行”，到期后将本金和利息取出，并将其中的500元捐给“希望工程”，剩余的又全部按一年定期存入，这时存款的年利率已下调到

3、第一次存款时年利率的90%，这样到期后，可得本金和利息共530元，求第一次存款时的年利率.（假设不计利息税）解说明这里是按教育储蓄求解的，应注意不计利息税.四、趣味问题例4一个醉汉拿着一根竹竿进城，横着怎么也拿不进去，量竹竿长比城门宽4米，旁边一个醉汉嘲笑他，你没看城门高吗，竖着拿就可以进去啦，结果竖着比城门高2米，二人没办法，只好请教聪明人，聪明人教他们二人沿着门的对角斜着拿，二人一试，不多不少刚好进城，你知道竹竿有多长吗？解设渠道的深度为xm，那么渠底宽为(x+0.1)m，上口宽为(x+0.1+1.4)m.则根据题意，得(x+0.1+x+1.4+0.1)·x1.8，整理，得x2+

4、0.8x1.80.解这个方程，得x11.8（舍去），x21.所以x+1.4+0.11+1.4+0.12.5.答渠道的上口宽2.5m，渠深1m.说明求解本题开始时好象无从下笔，但只要能仔细地阅读和口味，就能从中找到等量关系，列出方程求解.六、象棋比赛例6象棋比赛中，每个选手都与其他选手恰好比赛一局，每局赢者记2分，输者记0分.如果平局，两个选手各记1分，领司有四个同学统计了中全部选 手的得分总数，分别是1979，1980，1984，1985.经核实，有一位同学统计无误.试计算这次比赛共有多少个选手参加.解设共有n个选手参加比赛，每个选手都要与(n1)个选手比赛一局，共计n(n1)局，但两个选手的

5、对局从每个选手的角度各自统计了一次，因此实际比赛总局数应为n(n1)局.由于每局共计2分，所以全部选手得分总共为n(n1)分.显然(n1)与n为相邻的自然数，容易验证，相邻两自然数乘积的末位数字只能是0，2，6，故总分不可能是1979，1984，1985，因此总分只能是1980，于是由n(n1)1980，得n2n19800，解得n145，n244（舍去）.答参加比赛的选手共有45人.七、情景对话例7春秋旅行社为吸引市民组团去天水湾风景区旅游，推出了如图1对话中收费标准.某单位组织员工去天水湾风景区旅游，共支付给春秋旅行社旅游费用27000元.请问该单位这次共有多少员工去天水湾风景区旅游？解设该

6、单位这次共有x名员工去天水湾风景区旅游.因为1000×252500027000，所以员工人数一定超过25人.则根据题意，得100020(x25)x27000.整理，得x275x+13500，解这个方程，得x145，x230.当x45时，100020(x25)600700，故舍去x1；当x230时，100020(x25)900700，符合题意.答：该单位这次共有30名员工去天水湾风景区旅游.图1如果人数超过25人，每增加1人，人均旅游费用降低20元，但人均旅游费用不得低于700元.如果人数不超过25人，人均旅游费用为1000元.八、等积变形例8将一块长18米，宽15米的矩形荒地修建成一

7、个花园（阴影部分）所占的面积为原来荒地面积的三分之二.（精确到0.1m）（1）设计方案1（如图2）花园中修两条互相垂直且宽度相等的小路.（2）设计方案2（如图3）花园中每个角的扇形都相同.以上两种方案是否都能符合条件?若能，请计算出图2中的小路的宽和图3中扇形的半径；若不能符合条件，请说明理由.解都能.（1）设小路宽为x，则18x+16xx2×18×15，即x234x+1800，解这个方程，得x，即x6.6.图2图4图3（2）设扇形半径为r，则3.14r2×18×15，即r257.32，所以r7.6.九、动态几何问题例9如图4所示，在ABC中，C90&#

8、176;，AC6cm，BC8cm，点P从点A出发沿边AC向点C以1cm/s的速度移动，点Q从C点出发沿CB边向点B以2cm/s的速度移动.（1）如果P、Q同时出发，几秒钟后，可使PCQ的面积为8平方厘米？（2）点P、Q在移动过程中，是否存在某一时刻，使得PCQ的面积等于ABC的面积的一半.若存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由.解因为C90°，所以AB10（cm）.（1）设xs后，可使PCQ的面积为8cm2，所以 APxcm，PC(6x)cm，CQ2xcm.则根据题意，得·(6x)·2x8.整理，得x26x+80，解这个方程，得x12，x24.所以P、Q同时出

9、发，2s或4s后可使PCQ的面积为8cm2.（2）设点P出发x秒后，PCQ的面积等于ABC面积的一半.则根据题意，得(6x)·2x××6×8.整理，得x26x+120.由于此方程没有实数根，所以不存在使PCQ的面积等于ABC面积一半的时刻.十、梯子问题例10一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的底端距墙角6m.（1）若梯子的顶端下滑1m，求梯子的底端水平滑动多少米？（2）若梯子的底端水平向外滑动1m，梯子的顶端滑动多少米？（3）如果梯子顶端向下滑动的距离等于底端向外滑动的距离，那么滑动的距离是多少米？解依题意，梯子的顶端距墙角8（m）.（1）若梯子顶端下

10、滑1m，则顶端距地面7m.设梯子底端滑动xm.则根据勾股定理，列方程72+(6+x)2102，整理，得x2+12x150，解这个方程，得x11.14，x213.14（舍去），所以梯子顶端下滑1m，底端水平滑动约1.14m.（2）当梯子底端水平向外滑动1m时，设梯子顶端向下滑动xm.则根据勾股定理，列方程(8x)2+(6+1)2100.整理，得x216x+130.解这个方程，得x10.86，x215.14（舍去）.所以若梯子底端水平向外滑动1m，则顶端下滑约0.86m.（3）设梯子顶端向下滑动xm时，底端向外也滑动xm.则根据勾股定理，列方程 (8x)2+(6+x)2102，整理，得2x24x0

11、，解这个方程，得x10（舍去），x22.所以梯子顶端向下滑动2m时，底端向外也滑动2m.十一、航海问题图5例11如图5所示，我海军基地位于A处，在其正南方向200海里处有一重要目标B，在B的正东方向200海里处有一重要目标C，小岛D恰好位于AC的中点，岛上有一补给码头；小岛F位于BC上且恰好处于小岛D的正南方向，一艘军舰从A出发，经B到C匀速巡航一艘补给船同时从D出发，沿南偏西方向匀速直线航行，欲将一批物品送往军舰.（1）小岛D和小岛F相距多少海里？（2）已知军舰的速度是补给船的2倍，军舰在由B到C的途中与补给船相遇于E处，那么相遇时补给船航行了多少海里？（精确到0.1海里）如何做几何证明题【

12、分类解析】1、证明线段相等或角相等 两条线段或两个角相等是平面几何证明中最基本也是最重要的一种相等关系。很多其它问题最后都可化归为此类问题来证。证明两条线段或两角相等最常用的方法是利用全等三角形的性质，其它如线段中垂线的性质、角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质等也经常用到。 例1. 已知：如图1所示，中，。 求证：DEDF 分析：由是等腰直角三角形可知，由D是AB中点，可考虑连结CD，易得，。从而不难发现 证明： 说明：在直角三角形中，作斜边上的中线是常用的辅助线；在等腰三角形中，作顶角的平分线或底边上的中线或高是常用的辅助线。显然，在等腰直角三角形中，更应该连结CD，因为CD既是斜边上的

13、中线，又是底边上的中线。本题亦可延长ED到G，使DGDE，连结BG，证是等腰直角三角形。 例2. 已知：如图2所示，ABCD，ADBC，AECF。 求证：EF 证明： 说明：利用三角形全等证明线段求角相等。常须添辅助线，制造全等三角形，这时应注意： （1）制造的全等三角形应分别包括求证中一量； （2）添辅助线能够直接得到的两个全等三角形。2、证明直线平行或垂直 在两条直线的位置关系中，平行与垂直是两种特殊的位置。证两直线平行，可用同位角、内错角或同旁内角的关系来证，也可通过边对应成比例、三角形中位线定理证明。证两条直线垂直，可转化为证一个角等于90°，或利用两个锐角互余，或等腰三角形

14、“三线合一”来证。 例3. 如图3所示，设BP、CQ是的内角平分线，AH、AK分别为A到BP、CQ的垂线。 求证：KHBC 分析：由已知，BH平分ABC，又BHAH，延长AH交BC于N，则BABN，AHHN。同理，延长AK交BC于M，则CACM，AKKM。从而由三角形的中位线定理，知KHBC。 证明：延长AH交BC于N，延长AK交BC于M BH平分ABC 又BHAH BHBH 同理，CACM，AKKM 是的中位线 即KH/BC 说明：当一个三角形中出现角平分线、中线或高线重合时，则此三角形必为等腰三角形。我们也可以理解成把一个直角三角形沿一条直角边翻折（轴对称）而成一个等腰三角形。 例4. 已

15、知：如图4所示，ABAC，。 求证：FDED证明一： 说明：有等腰三角形条件时，作底边上的高，或作底边上中线，或作顶角平分线是常用辅助线。 证明二：如图5所示，延长ED到M，使DMED，连结FE，FM，BM 说明：证明两直线垂直的方法如下： （1）首先分析条件，观察能否用提供垂直的定理得到，包括添常用辅助线，见本题证二。 （2）找到待证三直线所组成的三角形，证明其中两个锐角互余。 （3）证明二直线的夹角等于90°。3、证明一线段和的问题 （一）在较长线段上截取一线段等一较短线段，证明其余部分等于另一较短线段。（截长法） 例5. 已知：如图6所示在中，BAC、BCA的角平分线AD、CE

16、相交于O。 求证：ACAECD 分析：在AC上截取AFAE。易知，。由，知。，得： 证明： （二）延长一较短线段，使延长部分等于另一较短线段，则两较短线段成为一条线段，证明该线段等于较长线段。（补短法） 例6. 已知：如图7所示，正方形ABCD中，F在DC上，E在BC上，。 求证：EFBEDF 分析：此题若仿照例1，将会遇到困难，不易利用正方形这一条件。不妨延长CB至G，使BGDF。 证明：延长CB至G，使BGDF 4、中考题： 如图8所示，已知为等边三角形，延长BC到D，延长BA到E，并且使AEBD，连结CE、DE。 求证：ECED 证明：作DF/AC交BE于F 是正三角形 是正三角形 又A

17、EBD 即EFAC 题型展示： 证明几何不等式： 例题：已知：如图9所示，。 求证： 证明一：延长AC到E，使AEAB，连结DE 在和中， 证明二：如图10所示，在AB上截取AFAC，连结DF 则易证 说明：在有角平分线条件时，常以角平分线为轴翻折构造全等三角形，这是常用辅助线。【实战模拟】 1. 已知：如图11所示，中，D是AB上一点，DECD于D，交BC于E，且有。求证： 2. 已知：如图12所示，在中，CD是C的平分线。 求证：BCACAD 3. 已知：如图13所示，过的顶点A，在A内任引一射线，过B、C作此射线的垂线BP和CQ。设M为BC的中点。 求证：MPMQ 4. 中，于D，求证：

18、【试题答案】 1. 证明：取CD的中点F，连结AF 2. 分析：本题从已知和图形上看好象比较简单，但一时又不知如何下手，那么在证明一条线段等于两条线段之和时，我们经常采用“截长补短”的手法。“截长”即将长的线段截成两部分，证明这两部分分别和两条短线段相等；“补短”即将一条短线段延长出另一条短线段之长，证明其和等于长的线段。 证明：延长CA至E，使CECB，连结ED 3. 证明：延长PM交CQ于R 4. 取BC中点E，连结AE 本次课后作业一、选择题1、（2011甘肃兰州）下列方程中是关于x的一元二次方程的是（ ）AB CD2、（2011山东济宁）已知关于x的方程x 2bxa0有一个根是a(a0

19、)，则ab的值为（ ） A B0 C1 D23、（2011山东潍坊）关于x的方程的根的情况描述正确的是（ ）A . k 为任何实数，方程都没有实数根 B . k 为任何实数，方程都有两个不相等的实数根 C . k 为任何实数，方程都有两个相等的实数根 D. 根据 k 的取值不同，方程根的情况分为没有实数根、有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根三种4、（2011山东威海）关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值是（ ）ABCD或5、（2011湖北荆州）关于的方程有两个不相等的实根、，且有，则的值是A1B1C1或1D26、（2011福建福州）一元二次方程根的情况是（ ）A.有两个不相等

20、的实数根 B.有两个相等的实数根 C.只有一个实数根 D.没有实数根7、（2011山东滨州）某商品原售价289元,经过连续两次降价后售价为256元,设平均每次降价的百分率为x,则下面所列方程中正确的是( )A. B. C. 289(1-2x)=256 D.256(1-2x)=2898、（2011四川南充市） 方程(x+1)(x2)=x+1的解是（ ）（A）2 （B）3 （C）1，2 （D）1，39、（2011江西）已知x=1是方程x2+bx-2=0的一个根，则方程的另一个根是（ ）A.1 B.2 C.-2 D.-110、（2011四川绵阳）若x1,x2(x1 x2)是方程(x -a)(x-b)

21、 = 1(a < b)的两个根，则实数x1,x2,a,b的大小关系为Ax1x2ab Bx1ax2b Cx1abx2 Dax1bx2二、填空题1、（2011山东滨州）若x=2是关于x的方程的一个根，则a 的值为_.2、（2011山东德州）若，是方程的两个根，则=_3、（2011甘肃兰州）关于x的方程的解是x1=2，x2=1（a，m，b均为常数，a0），则方程的解是 。4、（2011江苏苏州）已知a、b是一元二次方程x22x1=0的两个实数根，则代数式（ab）（ab2）ab的值等于_.三、简答题1. （2011四川南充市）关于的一元二次方程x2+2x+k+1=0的实数解是x1和x2。（1）求

22、k的取值范围；（2）如果x1+x2x1x21且k为整数，求k的值。2. （2011山东日照）为落实国务院房地产调控政策，使“居者有其屋”，某市加快了廉租房的建设力度2011年市政府共投资2亿元人民币建设了廉租房8万平方米，预计到2012年底三年共累计投资9.5亿元人民币建设廉租房，若在这两年内每年投资的增长率相同(1)求每年市政府投资的增长率；(2)若这两年内的建设成本不变，求到2012年底共建设了多少万平方米廉租房3. （2011浙江衢州）某花圃用花盆培育某种花苗，经过实验发现每盆的盈利于每盆的株数构成一定的关系.每盆植入3株时，平均单株盈利3圆；以同样的栽培条件，若每盆没增加1株，平均单株盈利就减少0.5元.