自考高等数学(一)精讲第六章

1、第六章多元函数微积分6.1空间解析几何基础知识一、空间直角坐标系三个坐标轴的正方向符合右手系。即以右手握住z轴，当右手的四个手指从正向x轴以角度转向正向y轴时，大拇指的指向就是z轴的正向。空间直角坐标系共有八个卦限 空间的点 有序数组（x,y,z）特殊点的表示：坐标轴上的点P,Q,R；坐标面上的点A，B，C；0（0，0，0） 空间两点间距离公式：特殊地：若两点分别为M（x,y,z），0（0，0，0）。二、空间中常见图形的方程1、球面已知球心M0（x0,y0,z0），半径为R，则对于球面上任意点M（x，y，z），有，称为球面方程。特别地，以原点为球心，半径为R的球面方程是。2、平面到两点等距离的

2、点的轨迹就是这两点组成线段的垂直平分面。例1、已知A（1，2，3），B（2，-1，4），求线段AB的垂直平分面的方程。【答疑编号11060101】解：设M（x,y,z）是所求平面上任一点，根据题意有|MA|=|MB|，化简得所求方程2x-6y+2z-7=0。 x，y，z的一次方程表示的图形是一个平面。3、柱面定义平行于定直线并沿定曲线C移动的直线L所形成的曲面称为柱面。这条定曲线C叫柱面的准线，动直线L叫柱面的母线。 柱面举例4、二次曲面三元二次方程所表示的曲面称之为二次曲面。（1）椭球面椭球面与三个坐标面的交线：（2）x2+y2=2pz的图形是一个旋转抛物面。 6.2多元函数的基本概念一、准

3、备知识1、邻域设P0（x0,y0）是xoy平面上的一个点，是某一正数，与点P0（x0,y0）距离小于的点P（x,y）的全体，称为点p0的邻域，记为U（P0, ）,。 2、区域平面上的点集称为开集，如果对任意一点，都有的一个邻域。 设D是开集。如果对于D内任何两点，都可用折线连结起来且该折线上的点都属于D，则称开集D是连通的。 连通的开集称为区域或开区域。开区域连同它的边界一起称为闭区域。3、n维空间设n为取定的一个自然数，我们称n元数组的全体为n维空间，而每个n元数组称为n维空间中的一个点，数xi称为该点的第i个坐标说明：n维空间的记号为Rn；n维空间中两点间距离公式：设两点为特殊地当n=1，

4、2，3时，便为数轴、平面、空间两点间的距离。二、多元函数的概念1、多元函数的定义设D是平面上的一个点集，如果对于每个点P（x,y）D，变量z按照一定的法则总有确定的值和它对应，则称z是变量x,y的二元函数，记为z=f（x,y）（或记为z=f（P）.类似地可定义三元及三元以上函数。当n2时，n元函数统称为多元函数。多元函数中同样有定义域、值域、自变量、因变量等概念。 例1、求的定义域。【答疑编号11060102】 解：所求定义域为.2、二元函数z=f（x,y）的图形设函数z=f（x,y）的定义域为D，对于任意取定的P（x,y）D，对应的函数值为z=f（x,y），这样，以x为横坐标、y为纵坐标、z

5、为竖坐标在空间就确定一点M（x,y,z），当x取遍D上一切点时，得一个空间点集，这个点集称为二元函数的图形。二元函数的图形通常是一张曲面。 三、多元函数的极限 例2、求。【答疑编号11060103】解：原式。 例3（教材332页习题6.2，2题（1）题）、求。【答疑编号11060104】 例4（教材332页习题6.2，2题（2）题）、求 。【答疑编号11060105】 四、多元函数的连续性1、定义设二元函数f（P）的定义域为点集D，p0且p0D，如果 则称二元函数f（P）在点P0处连续。一切多元初等函数在其定义区域内是连续的。一般地，求时，如果f（P）是初等函数，且P0是f（P）的定义域内的点

6、，则f（P）在点P0处连续，于是。例5（教材332页习题6.2，3题（1）题）、判断 在原点是否连续？【答疑编号11060106】 6.3偏导数 一、偏导数的定义及其计算法定义设函数z=f（x,y）在点（x0,y0）的某一邻域内有定义，当y固定在y0而x在x0处有增量x时，相应地函数有增量。如果存在，则称此极限为函数z=f（x,y）在点（x0,y0）处对x的偏导数，记为。同理可定义函数z=f（x,y）在点（x0,y0）处对y的偏导数，为，记为。如果函数z=f（x,y）在区域D内任一点（x,y）处对x的偏导数都存在，那么这个偏导数就是x、y的函数，它就称为函数z=f（x,y）对自变量x的偏导数，

7、记作。同理可以定义函数z=f（x,y）对自变量y的偏导数，记作。偏导数的概念可以推广到二元以上函数如u=f（x,y,z）在（x,y,z）处例1.求z=x2+3xy+y2在点（1,2）处的偏导数。【答疑编号11060201】解：例2.求z=xy（x0，x1）的一阶偏导数【答疑编号11060202】有关偏导数说明：偏导数是一个整体记号，不能拆分；例3.（336例3）求下列函数对x和y的偏导数。（1）z=（1+3y）4x。【答疑编号11060203】（2）z=（lny）xy。【答疑编号11060204】例4.（340页2（2）求u=（1+xy）z，在点（1，2，3）的一阶偏导数。【答疑编号11060

8、205】二、高阶偏导数函数z=f（x,y）的二阶偏导数为纯偏导混合偏导定义：二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数。例5.设，求。【答疑编号11060206】解：例6.（338页例6）设z=x2yey，求【答疑编号11060207】6.4全微分 一、全微分的定义由一元函数微分学中增量与微分的关系得二元函数对x和对y的偏增量1.全增量的概念如果函数z=f（x,y）在点（x,y）的某邻域内有定义，并设为这邻域内的任意一点，则称这两点的函数值之差为函数在点P对应于自变量x，y的全增量，记为z，即2.全微分的定义如果函数z=f（x,y）在点（x,y）的全增量可以表示为，其中A，B不依赖于x，y而仅与x

9、,y有关，则称函数z=f（x,y）在点（x,y）可微分，Ax+By称为函数z=f（x,y）在点（x,y）的全微分，记为dz，即 dz=Ax+By.函数若在某区域D内各点处处可微分，则称这函数在D内可微分。二、多元函数连续、可导、可微的关系如果函数z=f（x,y）在点（x,y）可微分，则函数在该点连续。事上故函数z=f（x,y）在点（x,y）处连续。定理1如果函数z=f（x,y）在点（x,y）可微分，则该函数在点（x,y）连续，函数在点（x,y）的偏导数必存在，且函数z=f（x,y）在点（x,y）的全微分为。说明：多元函数的各偏导数存在并不能保证全微分存在，定理2如果函数z=f（x,y）的偏导数

10、存在，且在点（x,y）连续，则该函数在点（x,y）可微分。记全微分为全微分的定义可以推广到三元及三元以上函数。三、例题分析例1.（教材344页例2（3）、求全微分z=x2y+exsiny。【答疑编号11060301】例2.（教材344页例2（2）、求全微分。【答疑编号11060302】例3.（教材344页习题6.4，1题（2）题）、求全微分。【答疑编号11060303】6.5多元复合函数求导法则 一、链式法则定理如果函数都在点t可导，函数z=f（u,v）在对应点（u,v）具有连续偏导数，则复合函数在对应点t可导，则：定理假设函数z=f（u,v）可微，函数u=u（x,y）和v=f（x,y）有偏导

11、灵敏，则它们的复合函数z=f（u（x,y）,v（x,y）作为x,y的函数有偏导数，且，。例1.设，而u=xy,v=x+y,求。【答疑编号11060304】解：。例2.（教材348页例2（1）、求导数【答疑编号11060305】例3.（教材348页例2（2）、求导数【答疑编号11060306】例4.求导数z=f（xy,x+y）【答疑编号11060307】例5.（教材349页例5）、设z=F（x+y,x2-y2）。求。【答疑编号11060308】例6.（教材353页习题6.5，4题）、设【答疑编号11060309】例7.（教材350页例6）、设f（xy,x-y）=x2+y2。求。【答疑编号1106

12、0310】解：u=xy,v=x-y,则x2+y2=（x-y）2+2xy=v2+2u故f（u,v）=2u+v2，或f（x,y）=2x+y2（这不是变量代换，而是自变量改变文字）。所以。二、全微分形式不变性设函数z=f（u,v）具有连续偏导数，则有全微分、。全微分形式不变性的实质：无论z是自变量u、v的函数或中间变量u、v的函数，它的全微分形式是一样的。例8.（教材351页例7（3）、求全微分z=（x+y）exy【答疑编号11060311】例9.（教材351页例7（3）、求全微分z=f（2x+3y,exy）【答疑编号11060312】6.6隐函数及其求导法则例1、siny+ex-xy2=0,求y对

13、x的导数。【答疑编号11060401】例2、xy+lny-lnx=0，求dy。【答疑编号11060402】例3、x2+y2-1=0，求y对x的导数。【答疑编号11060403】例4、（357页例3（1）z3-3xyz-a3=0，求偏导及dz。【答疑编号11060404】例5、（357页例3（4）求偏导及dz。【答疑编号11060405】6.7二元函数的极值1.二元函数极值的定义设函数z=f（x,y）在点（x0,y0）的某邻域内有定义，对于该邻域内异于（x0,y0）的点（x,y）：若满足不等式f（x,y）f（x0,y0），则称函数在（x0,y0）有极大值；若满足不等式f（x,y）f（x0,y0）

14、，则称函数在（x0,y0）有极小值；极大值、极小值统称为极值。使函数取得极值的点称为极值点。2.多元函数取得极值的条件定理1（必要条件）设函数z=f（x,y）在点（x0,y0）有偏导数，且在点（x0,y0）处有极值，则它在该点的偏导数必然为零：fx（x0,y0）=0，fy（x0,y0）=0。仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，均称为函数的驻点。定理2（充分条件）设函数z=f（x,y）在点（x0,y0）的某邻域内连续，有一阶及二阶连续偏导数，又fx（x0,y0）=0, fy（x0,y0）=0,令fxx（x0,y0）=A，fxy（x0,y0）=B,fyy（x0,y0）=C,。则f（x,y）

15、在点（x0,y0）处是否取得极值的条件如下：（1）B2-AC0时具有极值，当A0时有极大值，当A0时有极小值；（2）B2-AC0,则不是极值点；（3）B2-AC =0时可能有极值，也可能没有极值，还需另作讨论。例6、（363例1）求f（x，y）=x2-2xy2+2xy+y3极值。【答疑编号11060406】3.多元函数的最值与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值来求函数的最大值和最小值。求最值的一般方法：将函数在D内的所有驻点及不可导点处的函数值及在D的边界上的最大值和最小值相互比较，其中最大者即为最大值，最小者即为最小值。例7、（365例3）做一个容积为32米 3的长方体无盖水箱，问它的长

16、、宽、高各取何值时用料最省？【答疑编号11060407】解：6.8二重积分 一、问题的提出1、曲顶柱体的体积柱体体积=底面积×高特点：平顶柱体体积=？特点：曲顶曲顶柱体求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、取极限”的方法.步骤如下：先分割曲顶柱体的底，并取典型小区域，用若干个小平顶柱体体积之和近似表示曲顶柱体的体积，曲顶柱体的体积二、二重积分的概念定义 设f（x，y）是有界闭区域 D上的有界函数，将闭区域D任意分成n个小闭区域，其中表示第i个小闭区域，也表示它的面积，在每个上任取一点作乘积，（i=1，2，n），并求和，如果当各小闭区域的直径中的最大值趋近于零时，这和式的极限存在，则称函

17、数f（x，y）在闭区域D上可积，此极限为函数f（x，y）在闭区域D上的二重积分，记为，即.在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划分区域D，则面积元素为d=dxdy， 故二重积分可写为三、二重积分的性质（二重积分与定积分有类似的性质）性质1：若为D的面积，性质2：线性性质性质3：对区域具有可加性性质4：正性：如果f（x，y）0（），则0。单调性：若在D上，f（x，y）g（x，y）， 则有特别设M、m分别是f（x，y）在闭区域D上的最大值和最小值，为D的面积，则（二重积分估值不等式）性质5：性质6：设函数f（x，y）在闭区域D上连续，为D的面积，则在D上至少存在一点使得（二重积分中值定理）四、二重积分的计算计算二重积分如果积分区域为：axb，X型其中函数在区间a，b上连续.的值等于D为底，以曲面z=f（x，y）为曲顶柱体的体积。应用计算“平行截面面积为已知的立体求体积”的方法，得如果积分区域为