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1、毕业设计（论文）外文翻译毕业设计（论文）题目：无穷级数若干的求和方法 外文翻译（一）题目：Fourier series 傅里叶级数 外文翻译（二）题目：Taylor series 泰勒级数学院名称：理学院专业：信息与计算科学 班级： 信科08-1姓名： 陈笛英学号 08480010105 指导教师： 毕道旺2011年 11 月 18日外文翻译（一）傅里叶级数摘自维基百科，自由的百科全书在数学中，傅里叶级数分解了任何一个周期函数或者是对一系列简单振荡函数求和的周期符号，即正弦和余弦（或复指数）。傅里叶级数的研究只是傅里叶分析的一个分支，傅里叶级数由约瑟·傅里叶（1768-1830）在研

2、究解决金属板热方程问题时提出。热方程是一个偏微方程，傅里叶先前的研究的一般情况下热方程没有解被大家所认知，然而后来人们又认识到如果该热方程以一种简单的方式表现出来，尤其是正弦或余弦时的一种特殊的解。这些简单的解有时称为特征函数。傅里叶的思路是模拟一个简单正弦或余弦波的叠加作为复杂的热来源，然后解答出这些叠加后的相应的特征方程。这些叠加和线性组合称为傅里叶级数。虽然最初的目的是为了解决热方程，但后来就广泛应用于解决一些数学或自然科学的问题，尤其是解决一些涉及含有常系数的线性微分方程,且这些特征函数是正弦曲线。傅里叶级数在电机工程、振动分析、声学、光学、信号处理、图像处理、量子力学、经济学、薄壁壳

3、体等上就有很多诸如此类的应用。傅里叶级数的命名是为了纪念约瑟·傅里叶（1768-1830），因为在莱昂哈德欧拉，让·勒等达朗贝尔和丹尼尔伯努利做了初步研究以后，他在三角级数的研究上做出了重要的贡献。他将该方法应用于解决热方程的解，在1807年将这初步解发表在Mémoire sur la propagation de la chaleur dans les corps solides（论在固体上的热传播），还在1822年发表了Théorie analytique de la chaleur。从现在的观点来看，从某种意义上看傅里叶所得出的结果是非正式的，因为

4、在早期的19世纪中缺少对函数和积分精确的概念。后来，狄利克雷和黎曼更精确和正式的描述了傅里叶的结果。定义在这部分，f(x)是关于变量的一个函数。该函数通常是以2周期的，即f(x+2)=f(x)，对任何都成立。我们试着写一个函数作为无穷数之和或者一个以2为周期的简单级数函数。首先如傅里叶所做的（见上面的引文），以研究在区间-正弦和余弦函数的和开始，然后再讨论不同的一些概念。傅里叶对以2为周期函数的公式中使用正弦和余弦对在-上可积的周期函数，=，和=，称为f(x)的傅里叶系数。有一种对傅里叶级数部分和的表述常写成=，部分和称为的三角多项式。有人预测函数近似于函数,该值近似于N而趋向无穷大，因此无穷

5、和称为函数的傅里叶级数。利用多角公式，这些三角函数本身就能扩充。傅里叶级数往往不会收敛于一点，甚至当一个特殊的对不收敛，那么级数在点的值就会不等于的函数值。在调和分析中，讨论傅里叶级数在何时收敛和何时该和等于原函数，是最主要的问题之一。若一个函数在区间-上是平方可积的，那么傅里叶级数几乎在函数上任何一点都收敛。在工程应用中，傅里叶级数普遍被假设在任何一点都收敛除了在间断点上，因为对于这个推测，这些在工程学上应用的函数比数学家所提供的能更好的当作反面例子。特别地，傅里叶级数显然收敛于无论的派生函数是否是平方可积的（见傅里叶级数的收敛）。对于一般的函数，可以定义出傅里叶系数，在这种情况下，依范数收

6、敛还是弱收敛，常常就变成一个令人感兴趣的问题了。例1：一个简单的傅里叶级用上面的公式可以对一个非常简单的函数给出一个傅里叶级数的扩展。考虑一个锯齿波，=，此时的傅里叶系数给定为，=-， 能够证明傅里叶对于可微函数在任何一点都收敛到，因此：，。 (公式1)当，傅里叶常数收敛于0，即为时的左右极限的半和，这是狄利克雷对傅里叶级数的一个特例。例2：人们主要到在例1中的函数的傅里叶级数展开式看起来比式子=简单多了，因此它并不能直接告诉我们为什么需要这个傅里叶级数。然而，有许多应用，都引用了傅里叶运动来解决热方程。举个例子，考虑一个边长为的方形金属板，在坐标上，假设没有热来源，四条边中的三条边温度为0摄

7、氏度，而第四条边维持在温度为上，其中斜率为摄氏度，那么固定温度分布(长时间后的热分布)就可以由以下式子表达这里，是一个双曲正弦函数.这个热方程的解决方法是由上述公式1的每一项乘以而得到的。然而例举的函数似乎没必要用到复杂的傅里叶级数，热分布是一个非平凡解，函数也不能写成解析解。这个解决热问题的方法最好又傅里叶完成。其他应用另外的一个傅里叶级数的应用是利用怕赛瓦定理解决巴塞尔问题，这个例子比较有概括性，而且可以用任意正整数来计算。指数型傅里叶级数利用欧拉公式（在这里是虚数单位），给出一个更简单的公式，因此傅里叶系数为。傅里叶系数可由下面式子得出,并不够充分，对于讨论几个不同函数的傅里叶系数，因此

8、通常用改进后的，例如或者，而且函数符号通常代替下标，即：在工程学上，尤其当变量表示时间，系数序列就称作频域。常用方括号着重表示该函数域是一个频率分析的离散集合。傅立叶级数在区间上下面含有适当的复系数的公式，是一个在实数集上以T为周期的周期函数。如果某个函数在区间上平方可积，那也就意味着在那个区间上，利用上面的公式，当系数从如下函数中派生出来时：那么在区间上，当是以T为周期的函数时，满足和处处相等，除了在不连续点上；是一个任意数，两个特殊值为=0和=。另一个经常使用的域表示用傅里叶级数的系数来调整狄拉克梳状函数：在这里，变量表示一个连续频域，当变量的单位为秒的时候，的单位就为赫兹。梳子的“牙齿”

9、以倍（即数律分析）隔开，被称为基频。可以根据下面的逆傅立叶变换而得到：， =， =。因此普遍成函数为傅立叶变换，虽然在谐波频率上，周期函数的傅立叶积分并不收敛。在一区域上的傅立叶级数可以定义傅立叶级数为函数含两个变量在区间上：，除了在解决偏微方程，如热方程上有用，另一个傅立叶级数在平方上的显著的应用是图像压缩。尤其，静态影像压缩标准用到了二维离散余弦变换，一个用到余弦基函数的傅立叶变换。希尔伯特空间解释主要词条：希尔伯特空间在希尔伯特空间语言里，函数集是空间的标准正交基，这个空间实际上是希尔伯特空间由和点积得到：。而基础傅里叶级数结果又可将希尔伯特空间记为：它较精确地解释了上面那个复杂的指数公

10、式，这些正弦型和余弦型的公式也恰好由希尔伯特空间证明了。真正地，这些正弦型和余弦型构成一个正交集：，(在这里是克罗内克符号)；此外，正弦余弦函数对是正交的对于常数函数1，一组根据组成的实函数的正交基就是由函数1，形成的，它们跨越的密度是维尔斯查司定理的一个推论。性质如果是在上以为周期且次可微的周期函数，那么就属于，它的阶导数也连续。若是以为周期的奇函数，则对于任意的都有。若是以为周期的偶函数，则对于任意的都有。若是可积的，那么，这就是被人们所知的黎曼勒贝格引理。在上的双重无穷序列是某个在上的函数傅里叶系数序列当且仅当它是两个序列在上的卷积。若，那么根据公式，导数的傅里叶系数就可以表述为函数的傅

11、里叶系数。若，则。特别地，因为趋于0，所以也趋向于0，也就意味着傅里叶系数比n的次幂更快地趋向于0。帕斯瓦尔定理：若，则。Plancherel定理：若是系数且，则存在唯一函数使对于任意都有。第一卷积定理：如果和都上，那么，在这里，表示以为周期函数的卷积。第二卷积定理：。泊松总和公式：函数的周期总和可以用傅里叶级数表述当它的系数与的连续型傅里叶变换成比例：类似地，的周期总和也可以用傅里叶级数表述当它的系数与样本，一个形象能懂的混淆现象和著名的抽样定理成比例。全文见傅里叶变换和傅里叶级数的关系。紧群主要词条：紧群，李氏群和彼得·威尔定理其中一个有趣的傅里叶变换的性质就是它能传递逐点相乘的

12、卷积。如果那就是需要追寻的性质，则在紧群里可以点乘傅里叶级数。典型群就是一个属于紧群的典型的列子，这概括了全部形如空间的傅里叶变换，在这里是一个紧群，这样，傅里叶变换进行逐点卷积，傅里叶级数以相同的方式存在且收敛于。彼得威尔定理是一个交变延伸对紧群，它证明了紧群的表述类似于那些关于有限群的。黎曼流形主要词条：拉普拉斯算子、黎曼流形如果值域不是一个群，那么从本质上讲没有明显的卷积。然后，如果是一个简洁的黎曼流形，则它有一个拉普拉斯贝尔特拉米算子，拉普拉斯贝尔特拉米算子是相应于拉普拉斯算子对流形的微分算子。然后，通过类比，可以对考虑热方程。因为傅立叶由一开始尝试解决热方程为基础而达到最后的结果，自

13、然泛化是使用本征解拉普拉斯-贝尔特拉米算子为基础，这概括了傅立叶级数在形如空间里，在这里，是一个黎曼流形。傅立叶级数收敛与相似的情形，一个典型的列子就是在一个一般尺寸的球体上，这中情形下，傅立叶级数由球面谐波组成。局部紧交换群主要词条：庞特里亚金对偶性上面关于紧群的概念不能推广到非紧群，非交换群。但是，可以简单的推广到局部紧交换群。生成到的傅里叶变换，其中是一个局部紧交换群。如果是紧的，我们还可以获得一个傅里叶级数，它的收敛情况类似于的情况，但如果不是紧的，我们只能得到傅里叶积分。当局部紧交换群是是属于R时，这类推广得到了通常的傅里叶变换。傅里叶级数的近似值与收敛一个与傅里叶级数一样重要的应用

14、是收敛。特别地，它常常代替用有限级数代替无穷级数：这叫做部分和，我们将研究，在什么情况下收敛于当趋向无穷时。最小二乘当满足下面的形式时，就说它是n次三角多项式：是一个次的三角函数，帕舍伐尔定理也指明了这一定理。该三角多项式是唯一且最好的逼近的三角多项式，就意义而言，对任何次的三角多项式，都有。这里，希尔伯特空间为：。收敛主要词条：傅立叶级数收敛根据最小二乘法的性质和傅立叶级数的完整性，我们能得出一个基础的收敛结论。定理：如果属于，那么傅里叶级数收敛于在上，也就是说当趋向于的时候，趋向于。之前提及的，如果是连续可微的，那么就是导数的阶傅里叶系数。这从本质上遵循着柯西施瓦尔兹不等式，即的傅里叶级数

15、是完全可求和的，改级数的和是一个连续函数，等于，因此傅里叶级数平均收敛于。定理：如果，那么傅里叶级数一致收敛于（逐点收敛）。这个结论轻易地就能被证明当进一步假设为，因为时趋向于。再一般地，傅里叶级数是完全可求和的，因此当满足赫尔德条件时，它一致收敛于。在完全求和的情况下，不等式证明了一致收敛性。人们知道许多关于傅里叶级数的结论，从相对简单的如级数收敛于点当在点可微到里纳特-卡尔松的比较复杂的关于函数的傅里叶级数完全收敛于几乎任意一点。这些定理，和围绕它们变更的（理论）并没指明收敛条件，就普遍地被称为“傅里叶定理”。由于傅里叶级数有这么多好的收敛性质，很多人就对一些反面结果感兴趣。比如，以为周期

16、函数的傅里叶级数不必逐点收敛，一致有界原理对此做出一个简单的非构造证明。1922年，安德雷·克尔莫哥洛夫发表一篇名为Une série de Fourier-Lebesgue divergente presque partout的文章，里面给出一个勒贝格可积函数的傅里叶级数几乎在任意一点都偏离的例子，后来他又提出一个可积函数的傅里叶级数几乎在任意一点都偏离的例子（卡此纳尔逊 1976）。参考文献1 纳洛夫·马克.格雷特·大卫M.卡瓦略·约瑟L(1995).经济时间序列分析.经济理论，计量经济学和数理经济学.国际标准图书编号：0125157517

17、.2 弗里盖·威廉.(1957).静力学和动力学.柏林：科学出版社.3 高卢·傅里叶.珍·斯特·约瑟夫(1768-1830).傅里叶毕生作品：218-219.4 乔治·托尔斯泰(1976).傅里叶级数.国际标准图书编号：0486633179.5 由于积分定义周期函数的傅里叶变换不收敛，所以有必要观察这个周期函数和它的转换作为区分，在这个情况下是一个狄拉克函数，极分布的一个举例。6 威廉 McC 伯特(1985).电路信号和系统.麻省理工学院出版社：14.国际标准图书编号：9783540639138.7 L.马顿和克莱尔马顿(1990).电子学和

18、电子物理学的提出：369.国际标准图书编号：9780120146505.8 汉斯(1998).固态电子光谱学：14.国际标准图书编号：9783540639138.9 卡尔 H.普利布兰.马利·吉布等.大脑和知觉.劳伦斯埃尔伯协会：26.国际标准图书编号：9780898599954.外文翻译（二）泰勒级数出自维基百科，自由的百科全书定义：泰勒级数的实（虚）函数在实（虚）数的领域上是无限可微的幂级数：这也可以写成更简洁的形式：其中表示的阶乘，表示在点的阶导数。的零阶导数是它本身，和的值都为1，在的情况下，改级数也称为麦克劳林级数。例子对于任何多项式的麦克劳林级数都是该多项式本身。，的麦克

19、劳林级数就是如下的集合级数：因此在上的泰勒级数为：对上面的麦克劳林级数积分，得到（为自然对数的符号）的麦克劳林级数为：而在上对应的泰勒级数就为：指数函数在处的泰勒级数为：上面的展开式成立因为的导数关于仍为而且，这使得项在分子和项 在分母对每个式子在无穷和中都成立。历史希腊哲学家齐诺在考虑了利用无穷级数求和来得到有限结果的问题，得出不可能的结论芝诺悖论。后来，亚里士多德提出了一个比较哲学化的记过对于那个悖论，但以当时的数学知识显然还不能够解答直到德谟克利特和阿基米德着手研究这个问题。根据阿基米德的穷尽法，才使得一个无穷级数被逐步的细分，实现了有限的结果。进入14世纪，Mdhava of Sa&#

20、241;gamgrama 最早使用了泰勒级数以及相关的方法。虽然没有保留他的工作记录，但后来印度数学家的著作表明他发现了一些特殊的泰勒级数，这些级数包括正弦，余弦，正切，和反正切三角函数等等。之后，喀拉拉邦的天文与数学学校在他的基础上进行了一系列的延伸与合理逼近，一直持续到16世纪。到了17世纪，詹姆斯格雷戈 （James Gregory）同样继续着这方面的研究并且发表了若干麦克劳林级数。没到1715年，布鲁克泰勒 （Brook Taylor）4 提出了一个常用的方法来构建这一系列级数并适用于所有函数。这就是后来被人们所熟知的泰勒级数。 麦克劳林级数是以爱丁堡大学教授麦克劳林级数来命名的。他在

21、18世纪发表了泰勒级数的特例。解析函数如果是一个在以b为中心的开区间上的收敛的幂级数，就称它是解析的在该区间上。因此对这个区间里的，为如下的幂级数：对上面的公式微分的此，然后令：该幂级数展开与泰勒级数一致，所以一个函数是解析的早以b为中心的开区间上当且仅当它的泰勒级数收敛于该函数在区间上的任何一点的值。如果在任意一处都等于她的泰勒级数值，那么久称它为完全的。多项式、指数函数、正弦余弦三角函数、就是整函数的一些例子；而对数函数、正切函数和反正切函数则是不完全函数的特例。对于不完全函数，泰勒级数是不收敛的在远离处。如果函数值和它的全部的导数在某一点上的值知道了，泰勒级数就可以用来估测整函数在任何一

22、点的值。解析函数的泰勒级数应用有：1、 级数的部分和（泰勒多项式）可以当作整函数的近似值，如果有足够多的项被包括了，那么这个近似值就可取了；2、 级数的积分与微分可以逐项进行，因此比较简单；3、 解析函数延伸到正则函数是唯一的在复平面的开区间上，这也使得机械的复变函数论可行4、 级数可以用来计算函数值，用数字表示（常将多项式写成切比雪夫形式然后用Clenshaw算法估算）5、 幂级数可以容易的做代数运算，例如，欧拉公式就是由泰勒级数展开式和指数函数所推断出的，这个结果是谐波分析领域中非常重要的。近似和收敛下图是精确的正弦函数围绕零点的图形，粉红色曲线表示级数为7的多项式在这个近似中的错误在于没

23、有多于的项，尤其是当时，误差小于0.000003。与此相反，下图是自然对数和一些它在0点周围的泰勒级数。这些近似收敛只在函数图象区域上，而出了这个区域的更高级泰勒级数更糟糕，这类似于龙格现象。由于函数的逼近在它的次泰勒级数上长生的错误叫做余数，记作函数，泰勒定理会被受限制在这个余数，Taylor定理可以获得一个余项有界项一般地，泰勒级数不需要完全收敛，实际上，函数的泰勒级数收敛集称作贫集在费雷歇空间的光滑函数中。甚至如果函数的泰勒级数的确收敛，它的极限不一定等于函数值，例如函数就是无穷可微的在处，而且在处都可导，因此，的泰勒级数在处久等于。但是，不是零函数，所以它不等于泰勒级数在零点。在实分析

24、中，这个函数表明了存在无穷可微函数的泰勒级数不等于函数的值即使它们收敛。相比之下，在复分析中不存在全纯函数的泰勒级数收敛于不同于的值的一点。在虚轴上，复函数不近似于当近似于的时候因此，它的泰勒级数也没有定义在点。更一般地，在实轴上，任何实数或虚数序列在无穷可微函数的泰勒级数中都能当作系数，这也是波雷尔引理的一个结论，因此，泰勒级数的收敛半径就能等于。甚至存在定义在实轴上的无穷可微函数的泰勒级数收敛半径。一些函数不能写成泰勒级数因为它们存在寄点，这这种情况下，还是可以得到级数展开如果允许变量有负次幂，见劳伦级数。例如：就能写成劳伦级数。概括有一种概括对泰勒级数收敛于函数本身对于任何有界连续函数在

25、上，使用有限差分的积分学，特别地，根据艾纳·希尔有以下定理：对于任意，有，这里是次有限差分因子，步长为。级数是精确的泰勒级数，除了均差代替微分：级数在形式上类似于牛顿级数。当函数在点解析，级数中的项收敛到泰勒级数中的项，在这种意义下生成的泰勒级数通常，对无穷序列，相应的幂级数具有唯一性，下面的公式定义了这个幂级数：所以在特殊情况下：级数右边的是的期待值，这里是泊松分布随机变量，取的概率为，因此有如下式子：大数定律阐释了这个式子的正确性。几个重要的麦克劳林级数如下，所有的展开式的都是有效参数。指数函数：对于任意都满足；对数函数：，有穷几何级数：，无穷几何级数：，无穷集合级数的几种变形：

26、，和，平方根：，二项级数（包括时的平方根和时的无穷级数）：对任意的和虚数成立，它的广义二项式系数为：三角函数：对任意成立对任意成立，这里为伯努利系数；，双曲函数：，对任意成立，对任意成立，兰伯特W函数：，在和展开式和中的称为伯努利系数，在展开式中的称为欧拉系数。泰勒级数的计算存在多种计算很多函数泰勒级数的方法，可以使用泰勒级数推广到系数的形式，或者用置换、乘法除法的方法处理例1：计算函数的七阶麦克劳林多项式，首先将函数写成因此有如下自然对数（用大写的O注释）和余弦函数后面的级数展开项中有0常数项，使我们可以简单地将第二个级数替换到第一个中，还能省略高于七次的常数项，只需要用大写的O注释：由于余弦函数是偶函数，所以奇次项的系数都为。例2：假设我们希望函数的泰勒函数在零点为：又有如下展开式：假设幂级数为：然后乘以分母再用余弦置换得：合并同类项得：对照上面级数的系数，可得出假设的泰勒级数为：例3：在这里用到一个