考研高数复习纲要

1、一 函数、极限与连续（一） 本章的重点内容与常见的典型题型本章的重点内容是极限，既要准确理解极限的概念和极限存在的充要条件，又要能正确求出各种极限。求极限的方法很多，在考试中常用的主要方法有：（1） 利用极限的四则运算法则及函数的连续性；（2） 利用两个重要极限，两个重要极限即（3） 利用洛必达法则及泰勒公式求未定式的极限；（4） 利用等价无穷小代替（常会使运算简化）；（5） 利用夹逼定理；（6） 先证明数列极限的存在（通常会用到“单调有界数列必有极限”的准则），再利用关系式求出极限；（7） 利用定积分求某些和式的极限；（8） 利用导数的定义；（9） 利用级数的收敛性证明数列的极限为零。这里需

2、要指出的是：题型与方法并不具有确定的关系，一种题型可以有几种计算法，一种方法也可能用于几种题型，有时在一个题目中要用到几种方法，所以还要具体问题具体分析，方法要灵活运用。由于函数的连续性是通过极限定义的，所以判断函数是否连续、判断函数的间断点类型等问题本质上仍是求极限、因此这部分也是重点。在函数这一部分内，重点是复合函数和分段函数以及函数记号的运算。通过历年试题归类分析，本章的常见题型有：直接计算函数的极限值或给定函数极限值求函数表示式中的常数；讨论函数的连续性、判断间断点的类型；无穷小的比较；讨论连续函数在给定区间的零点，或方程在给定区间有无实根；求分段函数的复合函数。（二） 知识网络图唯一

3、性有界性数列整体有界函数局部有界极限概念“”定义 “”定义极限性质保号性极限存在准则两个重要的极限函数的连续性用导数的定义洛必达法则等价无穷小替换泰勒公式用函数极限求数列极限求极限的主要方法“”定义夹逼定理单调有界数列有极限转换无穷小量无穷小量与无穷大量的定义、关系无穷小量的运算性质无穷小量与极限的关系无穷小量的阶、等价无穷小量初等函数的连续性分段函数连续性判定闭区间上连续函数的性质第一类左右极限都存在第二类左右极限中至少有一个不存在连续的概念间断点的分类可去跳跃最值定理介值定理极限连续性（三）典型题型分析及解题方法与技巧题型一 求复合函数例1.1设题型二 利用函数概念求函数的表达式例1.2已

4、知并写出它的定义域题型三 判断函数的性质例1.3设（A） 偶函数 （B）无界函数 （C） 周期函数 （D）单调函数.题型四 求极限的方法例1.4填空题 .例1.5求下列极限例1.6 求下列极限例1.7 选择题 当时，函数的极限是（ ）.（A）2; （B）0；（C）； （D）不存在但不为. 例1.8 设 问a 为何值时存在.例1.9求例1.10 选择题设函数，则当时，是的（ ）（A） 低阶无穷小 （B） 高阶无穷小（C） 等价无穷小 （D） 同阶但不等价的无穷小例1.11求.例1.12确定a，b，c值，使.例1.13填空题设.例1.14 选择题时，是比高阶无穷小，则（ ）（A） （B）（C） （

5、D）例1.15设时，与是等价无穷小，求常数之值.例1.16填空题设在连续，则.例1.17当时，下列无穷小：中，（ ）是的低阶无穷小；（ ）是的一阶无穷小；（）是的二阶无穷小；（）是的高阶无穷小例1.18选择题当的无穷小量排列起来，使排在后面的是前面一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是（）（）（）（）（）例1.19求例1.20求.例1.21设>0,数列满足.例1.22填空题例1.23设,则.例1.24设是区间上单调减少且非负的连续函数, ,（1,2,）,证明数列的极限存在.题型五 讨论函数的连续性与间断点的关系例1.25设讨论的连续性，若有间断点并指出类型例1.26选择题设其中是有界函数，

6、则在处（ ）.（A）极限不存在； （B）极限存在，但不连续；（C）连续，但不可导； （D）可导.例1.27选择题设则在处（ ）.（A）极限不存在； （B）极限存在，但不连续；（C）连续，但不可导； （D）可导.例1.28选择题设则在处（ ）（A）不连续； （B）连续，但不可导；（C）可导但在处不连续； （D）可导且在处连续.例1.29求函数在区间内的间断点，并判断其类型.例1.30设在内有定义，且，则（）（A）必是的第一类间断点；（B）必是的第二类间断点；（C）必是的连续点；（D）在点处的连续性与的取值有关。例1.31设在连续，求证：（1）（2）.例1.32设在上连续，证明：至少存在，使.例1

7、.33填空题.例1.34填空题在区间上函数的最大值记为.则.例1.35填空题设在处可导，则常数a,b,c分别等于例1.36以表示不超过x的最大整数，试确定常数a的值，使存在，并求出此极限.例1.37选择题设常数.则方程0 （ ）.（A）没有根；（B）正好有一个根；（C）正好有两个根；（D）正好有三个根.二、一元函数微分学（一）本章的重点内容与常见的典型题型一元函数微分学在微积分中占有极重要的位置，内容多，影响深远，在后面绝大多数章节都要涉及到它.本章内容归纳起来，有四大部分.1. 概念部分：导数和微分的定义，特别要会利用导数定义讨论分段函数在分界点的可导性，高阶导数，可导与连续的关系；2. 运

8、算部分：基本初等函数的倒数、微分公式、导数的四则运算、反函数、复合函数、隐函数和由参数方程确定的函数的求导公式；3. 理论部分：罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理；4. 应用部分：利用导数研究函数的性态（包括函数的单调性与极值，函数图形的凹凸性与拐点，渐近线），最值应用题，利用洛必达法则求极限，以及导数在几何、物理等方面的应用.常见题型有：1. 求给定函数的导数或微分（包括高阶导数），隐函数和由参数方程确定的函数求导.2. 利用罗尔中值定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理证明有关命题和不等式.如“证明在开区间至少存在一点满足”，或讨论方程在给定区间内的根的个数等3. 利用洛必达法则求

9、七种未定型的极限.4. 几何、物理、经济等方面的最大值、最小值应用题。解这类问题，主要是确定目标函数和约束条件，判定所讨论区间。5. 利用导数研究函数性态和描绘函数图像，等等。（二）知识网络图边际、弹性经济中的最大值和最小值应用导数的定义导数的几何意义切线方程的求法基本初等函数的导数导数的四则运算反函数的导数隐函数的导数复合函数的导数高阶导数罗尔定理拉格朗日中值定理柯西中值定理洛必达法则求极限研究函数性质及几何应用经济应用函数的单调区间函数的极值、最值曲线的凹凸性及拐点渐近线、函数作图微分概念微分的计算一阶微分形式不变性微分导数导数的概念导数的计算中值定理应用（三）典型题型分析及解题方法与技巧

10、题型一 有关一元函数的导数与微分概念的命题例2.1选择题设连续，则在可导是在可导的（ ）条件.（A）充分非必要； （B）充要；（C）必要非充分； （D）非充分非必要.例2.填空题设在处可导，则（1）（2）（4）（5）（6）当时，为等价无穷小，则例2.3选择题设在处的某个定义域内有定义，则在处可导的一个充分条件是（ ）.（A）存在；（B）存在；（C）存在；（D）存在.例2.4已知是周期为5的连续函数，它在的某个邻域内满足关系式：，其中是当时比高阶的无穷小，且在处可导，求曲线在处的切线方程。例2.5求下列函数在指定点处的导数（1），求；（2）设，其中在处可导，求；（3）设函数在处可导，且，又对任意

11、的，有，求.题型二 利用导数定义函数方程例2.6设在上定义，且，又有，求.类似题：设在上有定义，且，又对，有，求.题型三 可导函数与不可导函数乘积的可导性的讨论例2.7设，在处连续，但又不可导，又存在，则是在处可导的（ ）条件.（A）充要； （B）充分非必要；（C）必要非充分； （D）非充分非必要例2.8函数有（ ）个不可导点.（A）3； （B）2； （C）1； （D）0.题型四 求函数导数与微分例2.9求下列函数的导数与微分（1）设，；（2）设求，在的值；（3）设；（4）设，求；（5）已知，则（6）由方程组确定与的函数，求.例2.10求例2.11设其中具有二阶导数，且.（1）确定的值，使在处

12、连续；（2）求；（3）讨论在处的连续性.类似题：设连续且，求并讨论的连续性.题型五 利用导数研究函数变化的命题例2.12选择题若，在内，则在内（ ）.（A）； （B）； （C）； （D）.例2.13设函数，是大于零的可导函数，且，则当时，有（ ）.（A）； （B）； （C）； （D）.例2.14选择题已知函数在的某个邻域内连续，且，则在点处（ ）.（A）不可导； （B）可导，且；（C）取得极大值； （D）取得极小值.例2.15选择题若，则为（ ）.（A）0； （B）6； （C）36； （D）.例2.16选择题设在二阶连续导数且，则（ ）成立.（A）不是的极值，也不是曲线的拐点；（B）是的极小值

13、；（C）是曲线的拐点；（D）是的极大值.例2.17选择题设函数是微分方程的一个解且，则在点处（ ）.（A）有极大值； （B）有极小值；（C）在某邻域内单调增加； （D）在某邻域内单调减少.例2.18设，证明：.例2.19证明：当时，.例2.20设，求渐近线.例2.21求证：方程在内只有两个不同的实根.题型六 杂例与中值定理证明题例2.22设在上连续，且.试证明：在内至少存在两个不同的点.例2.23设在上连续，在内可导，且满足：，证明：至少存在一点，使得.例2.24设在区间上具有二阶连续导数，（1）写出的带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式;（2）证明在上至少存在一点，使：例2.25设函数和在上存在

14、二阶导数，并且，试证：（1）在开区间内；（2）在开区间内至少存在一点，使.例2.26设在区间上连续，试证明存在，使；若又设且单调减少，则这种是唯一的.例2.27设函数在区间上连续，在内可导，且.试证：（1）存在，使；（2）对任意实数，必存在，使得.三、一元函数积分学（一）本章的重点内容与常见的典型题型本章和一元函数微分学一样，重点内容可分为概念部分、运算部分、理论证明部分以及应用部分.1. 概念部分：原函数的概念，定积分、不定积分的概念，以及反常积分的概念.考试的重点偏重对定积分概念的理解上.2. 运算部分：变上限积分及其导数；定积分和不定积分的换元法和分部积分法.3. 理论部分：变上限定积分

15、及其求导定理，牛顿莱布尼茨公式，积分中值定理. 应用部分：利用定积分求面积、旋转体体积及引力、功等物理量；5. 综合性试题.（二）知识网络图原函数，不定积分基本积分表积分法换元积分法分部积分法第一换元法（凑微分法）第二换元法二次根式用三角函数换元最简根式几类函数的积分定积分的概念有理函数的积分部分分式法简单三角函数有理式的积分定义分割，近似代替，求和，取极限几何意义平面图形面积的代数和定积分的性质、估值定理、积分中值定理微积分基本定理原函数存在定理变限积分求导牛顿布莱尼兹公式定积分的应用经济应用平面图形应用旋转体的体积广义积分无穷限积分瑕积分不定积分定积分（三）典型题型分析及解题方法与技巧题型

16、一 有关原函数与定积分概念，性质的命题例3.1填空题（1）设，则（2）例3.2设为连续函数，且，求.例3.3判断下列结果是否正确.（1）；（2）；（3）；（4）若，则.例3.4函数（ ）.（A）为正数； （B）为负数； （C）恒为零； （D）不是常数.例3.5选择题，则（ ）.（A）； （B）； （C）； （D）.例3.6选择题设为连续函数，是的原函数，则（ ）.（A）当是奇函数时，必为偶函数； （B）当是偶函数时，必为奇函数； （C）当是周期函数时，必为周期函数；（D）当是单调增函数时，必为单调增函数.例3.7设在上连续，证明：.题型二 求分段函数的原函数与定积分例3.8设求的原函数.例3.

17、9计算.例3.10设在内满足，且，计算.题型三 不定积分与定积分的计算例3.11求.例3.12求.例3.13设，计算.例3.14填空题.例3.15设函数，（1）当为正整数，且时，证明：；（2）求.例3.16设在上有定义，对于任意的，恒有：，求.例3.17求.例3.18设，求.（类似）设，求.例3.19设且，求.例3.20求.题型四 证明积分等式与不等式例3.21设，在区间上连续，为偶函数，且满足条件（为常数）.（1）证明：；（2）能利用（1）的结论计算.例3.22对于，证明（为自然数）的最大值不超过.例3.23设在有二阶连续导数，.证明：.例3.24设在可导，.试证：.题型五 综合题例3.25设在上可导，且其反函数为.若，求.例3.26设在上连续，以为周期.令求证：（1）一定能表示成，其中为某常数，是以为周期的周期函数；（2）；（3）若又有，为自然数，则时，有.题型六 定积分的几何应用例3.27（1）由曲线与两直线及围成平面图形的面积；（2）下列可表示双纽线围成平面区域的面积是（ ）;（A）； （B）； （C）；（D）.（3）由曲线与轴围成平面图形的面积（ ）；（A）； （B）； （C）；（D）.（4）由参数方程（摆线）及轴围成平面图形的面积.例3.28设曲线，轴和轴所围成的区域D被曲线分成面积相等的两部分，其中是常数.试确定的值.例3.29已知抛物线（其中）在第一