解析几何七种常规题型及方法

1、解析几何七种常规题型及方法常规题型及解题的技巧方法A:常规题型方面一、一般弦长计算问题：例1、已知椭圆，直线被椭圆C截得的弦长为，且，过椭圆C的右焦点且斜率为的直线被椭圆C截的弦长AB，求椭圆的方程；弦AB的长度.思路分析：把直线的方程代入椭圆方程，利用韦达定理和弦长公式求解.解析：由被椭圆C截得的弦长为，得， 又，即，所以. 联立得，所以所求的椭圆的方程为. 椭圆的右焦点，的方程为：， 代入椭圆C的方程，化简得，由韦达定理知，从而，由弦长公式，得，即弦AB的长度为点评：本题抓住的特点简便地得出方程，再根据得方程，从而求得待定系数，得出椭圆的方程，解决直线与圆锥曲线的弦长问题时，常用韦达定理与

2、弦长公式。2、 中点弦长问题：具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法（点差法）：设曲线上两点为，代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式，消去四个参数。 典型例题 给定双曲线。过A（2，1）的直线与双曲线交于两点 及，求线段的中点P的轨迹方程。 分析：设，代入方程得，。 两式相减得 。 又设中点P（x,y），将，代入，当时得 。 又， 代入得。当弦斜率不存在时，其中点P（2，0）的坐标也满足上述方程。因此所求轨迹方程是说明：本题要注意思维的严密性，必须单独考虑斜率不存在时的情况。例2、过点作抛物线的弦AB，恰被点P平分，求AB的所在直线方程及弦AB的长度。思路分析：因为所求弦通过定点P

3、，所以弦AB所在直线方程关键是求出斜率，有P是弦的中点，所以可用作差或韦达定理求得，然后套用弦长公式可求解弦长.解法1：设以P为中点的弦AB端点坐标为，则有，两式相减，得又则，所以所求直线AB的方程为，即.解法2：设AB所在的直线方程为 由，整理得. 设，由韦达定理得， 又P是AB的中点，所以所求直线AB的方程为.由 整理得，则有弦长公式得，.点评：解决弦的中点有两种常用方法，一是利用韦达定理及中点坐标公式来构造条件；二是利用端点在曲线上，坐标满足方程，作差构造中点坐标和斜率的关系求解，然后可套用弦长公式求解弦长.三、焦点弦长问题：例3、（同例1、）另解：椭圆的右焦点，的方程为： ， 代入椭圆

4、C的方程，化简得，由韦达定理知，由过右焦点，有焦半径公式的弦长为. 即弦AB的长度为点评：在解决直线与圆锥曲线的弦长问题时，通常应用韦达定理与弦长公式，若涉及到焦点弦长问题，则可利用焦半径公式求解，可大大简化运算过程.弦长问题在高考题及模拟题中经常出现，从理论上讲，利用弦长公式就能解决问题。但实际中，除个别简单题（本文从略）外，直接利用弦长公式会使问题变得非常繁琐。本文试图对此进行系统的总结，给出不同类型题目的解决策略。一、两线段相等类型I 有相同端点的不共线线段例1、（2204，北京西城区二模） 已知定点，过点A做倾斜角为的直线L，交抛物线于A、B两点，且成等比数列（1）求抛物线方程；（2）

5、问（1）中抛物线上是否存在D，使得成立？若存在，求出D的坐标。策略分析：由于D、B、C三点不共线，要使得成立，只需取BC中点P，满足。 由于这种类型题目的常见性与基础性，我们再举一个例子作为练习：例2、（2005，孝感二模） 已知（1）求点P(x,y)的轨迹方程C；（2）若直线L：（）与曲线C交与AB两点，D(0,1)，且有，试求b的取值范围。类型II 共线线段例3、直线L与x轴不垂直，与抛物线交于AB两点，与椭圆交于CD两点，与x轴交于点M，且，求的取值范围。策略分析：不妨设A在B下方，C在D下方，由于ABCD共线，要使,只需，即，结合韦达定理可得结果。二、三线段相等类型I 正三角形例 4、

6、（2003，北京春招） 已知动圆过定点P(1,0)且与定直线L：x=1相切，点C在L上（1）求动圆圆心的轨迹M的方程；（2）设过点P且斜率为的直线与曲线M相交于AB两点问三角形ABC能否为正三角形？若能，求点C坐标；若不能，说明理由；问三角形ABC能否为钝角三角形？若能，求点C纵坐标的取值范围；若不能，说明理由。策略分析：对于本题涉及的正三角形问题，其突出特点是，落在直线上的两个顶点实际是已知的。所以，只需设C（1，y），根据和分别列方程求y值，判断两个y值是否相等。例5、（2005，学海大联考六） 如图，在直角坐标系中，点A(-1,0)、B(1,0)、P(x,y)，设，与x轴正方向的夹角分别

7、为，且(1)求点P的轨迹G的方程；(2)设过点C的直线L与轨迹G交于不同的两点MN，问在x轴上是否存在一点E使为正三角形？策略分析：设直线L：y=kx-1，由韦达定理求出MN中点F的坐标，再根据，求出；利用弦长公式求出MN，再根据解得。注意代入验证。类型II 共线线段例6、（2004，广东高考卷）设直线与椭圆相交于AB两点，又与双曲线相交于CD两点，CD三等分线段AB，求的方程。策略分析：实质是。当与x轴垂直时，方程为；当与x轴不垂直时，先由，利用例3的方法，求得或，然后分类讨论求出ABCD的横坐标，利用，得出和。三、线段成比例类型I 两个已知点一个未知点例7、（2005，黄冈调研） 已知椭圆

8、C的方程为，双曲线的两条渐近线为，过椭圆的右焦点F做直线L，使，又L与交于点P。设L与椭圆的两个交点由上到下依次为AB，（1）当夹角为，双曲线的焦距为4时，求椭圆C的方程；（2）当时，求的最大值。策略分析：F点和P点的坐标皆可求，根据定比分点公式，求出A点坐标，代入椭圆方程即可。类型II 一个已知点两个未知点例8、(2004，全国卷) 设双曲线C：（a>0）与直线L：相交于两个不同的点AB（1）求双曲线的离心率e的取值范围；（2）设直线L与y轴的交点为P，且，求a值。策略分析：设A、B、，由知，于是，前式平方除以后式消掉，结合韦达定理即可求出a。注：更一般的，若某直线与圆锥曲线交点AB，

9、且，其中，则，可以算出和，利用例8思想求解；或者，使用以下技巧，结合韦达定理。（2）焦点三角形问题椭圆或双曲线上一点P，与两个焦点、构成的三角形问题，常用正、余弦定理搭桥。 典型例题 设P(x,y)为椭圆上任一点，为焦点，。 （1）求证离心率； （2）求的最值。 分析：（1）设，由正弦定理得。 得 ， （2）。 当时，最小值是； 当时，最大值是。（3）直线与圆锥曲线位置关系问题 直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组，进而转化为一元二次方程后利用判别式，应特别注意数形结合的办法【高考会这样考】1考查圆锥曲线中的弦长问题、直线与圆锥曲线方程的联立、根与系数的关系、整体代入和设而不求的思想2

10、高考对圆锥曲线的综合考查主要是在解答题中进行，考查函数、方程、不等式、平面向量等在解决问题中的综合运用基础梳理1直线与圆锥曲线的位置关系判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程AxByC0(A、B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x，y)0，消去y(也可以消去x)得到一个关于变量x(或变量y)的一元方程即消去y后得ax2bxc0.(1)当a0时，设一元二次方程ax2bxc0的判别式为，则0直线与圆锥曲线C相交；0直线与圆锥曲线C相切；0直线与圆锥曲线C无公共点(2)当a0，b0时，即得到一个一次方程，则直线l与圆锥曲线C相交，且只有一个交点，此时，若C为双曲线，则直线l与双曲线

11、的渐近线的位置关系是平行；若C为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行2.直线与圆锥曲线的位置关系：.从几何角度看：（特别注意）要特别注意当直线与双曲线的渐进线平行时，直线与双曲线只有一个交点；当直线与抛物线的对称轴平行或重合时，直线与抛物线也只有一个交点。.从代数角度看：设直线L的方程与圆锥曲线的方程联立得到。. 若=0，当圆锥曲线是双曲线时，直线L与双曲线的渐进线平行或重合；当圆锥曲线是抛物线时，直线L与抛物线的对称轴平行或重合。.若，设。.时，直线和圆锥曲线相交于不同两点，相交。b.时，直线和圆锥曲线相切于一点，相切。c.时，直线和圆锥曲线没有公共点，相离。双基自测1(人教A版

12、教材习题改编)直线ykxk1与椭圆1的位置关系为()A相交 B相切C相离 D不确定解析直线ykxk1k(x1)1恒过定点(1,1)，而点(1,1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交答案A2(2012·泉州质检)“直线与双曲线相切”是“直线与双曲线只有一个公共点”的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析与渐近线平行的直线也与双曲线有一个公共点答案A3已知以F1(2,0)，F2(2,0)为焦点的椭圆与直线xy40有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为()A3 B2 C2 D4解析根据题意设椭圆方程为1(b0)，则将xy4代入椭圆方程，得4(b21)y28b2y

13、b412b20，椭圆与直线xy40有且仅有一个交点，(8b2)24×4(b21)·(b412b2)0，即(b24)(b23)0，b23，长轴长为22.答案C4(2012·成都月考)已知双曲线E的中心为原点，F(3,0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N(12，15)，则E的方程为()A.1 B.1 C.1 D.1解析设双曲线的标准方程为1(a0，b0)，由题意知c3，a2b29，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有：两式作差得：，又AB的斜率是1，所以将4b25a2代入a2b29得a24，b25，所以双曲线的标准方程是1.答案B5

14、(2011·泉州模拟)ykx2与y28x有且仅有一个公共点，则k的取值为_解析由得ky28y160，若k0，则y2；若k0，则0，即6464k0，解得k1.故k0或k1.答案0或1考向一直线与圆锥曲线的位置关系【例1】(2011·合肥模拟)设抛物线y28x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是()A. B2,2C1,1 D4,4审题视点 设直线l的方程，将其与抛物线方程联立，利用0解得解析由题意得Q(2,0)设l的方程为yk(x2)，代入y28x得k2x24(k22)x4k20，当k0时，直线l与抛物线恒有一个交点；当k0时，16

15、(k22)216k40，即k21，1k1，且k0，综上1k1.答案C 研究直线和圆锥曲线的位置关系，一般转化为研究其直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组解的个数，但对于选择题、填空题，常充分利用几何条件，利用数形结合的方法求解【训练1】 若直线mxny4与O：x2y24没有交点，则过点P(m，n)的直线与椭圆1的交点个数是()A至多为1 B2 C1 D0解析由题意知：2，即2，点P(m，n)在椭圆1的内部，故所求交点个数是2个答案B典型例题 （1）求证：直线与抛物线总有两个不同交点 （2）设直线与抛物线的交点为A、B，且OAOB，求p关于t的函数f(t)的表达式。（1）证明：抛物线的准线为 由直

16、线x+y=t与x轴的交点（t，0）在准线右边，得 故直线与抛物线总有两个交点。 （2）解：设点A(x1，y1)，点B(x2，y2)（4）圆锥曲线的有关最值（范围）问题圆锥曲线中的有关最值（范围）问题，常用代数法和几何法解决。 <1>若命题的条件和结论具有明显的几何意义，一般可用图形性质来解决。<2>若命题的条件和结论体现明确的函数关系式，则可建立目标函数（通常利用二次函数，三角函数，均值不等式）求最值。解决最值的方法：一是代数法，建立目标函数，转化为函数的最值问题，注意到自变量的范围；二是几何法，考虑某些量的几何特征及意义，利用图形性质求解。例3 求椭圆上的点P到直线L

17、：x2y12=0的最大距离和最小距离。方法1：（求切点）设与L平行的直线与椭圆相切于点P(x，y)，由椭圆方程得此切线方程，即（1），又（2），解(1)(2)得切点的坐标为P（2，3）P（2，3）。设点P到直线L的距离为d，由点到直线的距离公式，得，。方法2：（判别式法）设与L平行的椭圆的切线方程为x2y+m=0，代入椭圆方程，消去x得，由=得，。当m=8时，切线方程x2y+8=0，此时，切点为P（2，3）；当m=8时，切线方程x2y8=0，此时，切点为P（2，3）设点P到直线L的距离为d，由点到直线的距离公式，得，。方法3：（参数法）设椭圆上任意一点P(4cos，sin)，它到直线L的距离为

18、，当时，；当时，。点评：方法1、方法2可以求出椭圆上的最远点和最近点的坐标，方法3利用椭圆的参数方程，建立目标函数，简洁明了，但求切点的坐标较复杂。BxyACO图1·例4 已知定点A(0，3)点B、C分别在椭圆的准线上运动，当BAC=90°时，求ABC面积的最大值。解：椭圆的两条准线方程分别为：y=1或y=1。点B在直线y=1上且设B（a，1），点C在直线y=1上且设C（b，1），由于BAC=90°，A(0，3)，所以，·=，ab=8。=，当且仅当，即，时ABC面积的值最大为8。【例3】(2011·湘潭模拟)已知椭圆y21的左焦点为F，O为坐标

19、原点(1)求过点O、F，并且与直线l：x2相切的圆的方程；(2)设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点G，求点G横坐标的取值范围审题视点 (1)求出圆心和半径，得出圆的标准方程；(2)设直线AB的点斜式方程，由已知得出线段AB的垂直平分线方程，利用求值域的方法求解解(1)a22，b21，c1，F(1,0)，圆过点O，F，圆心M在直线x上设M，则圆半径r，由|OM|r，得 ，解得t±，所求圆的方程为2(y±)2.(2)设直线AB的方程为yk(x1)(k0)，代入y21，整理得(12k2)x24k2x2k220.直线AB过椭圆的左焦点

20、F且不垂直于x轴，方程有两个不等实根如图，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB中点N(x0，y0)，则x1x2，x0(x1x2)，y0k(x01)，AB的垂直平分线NG的方程为yy0(xx0)令y0，得xGx0ky0，k0，xG0，点G横坐标的取值范围为. 直线与圆锥曲线位置关系的判断、有关圆锥曲线弦的问题等能很好地渗透对函数方程思想和数形结合思想的考查，一直是高考考查的重点，特别是焦点弦和中点弦等问题，涉及中点公式、根与系数的关系以及设而不求、整体代入的技巧和方法，也是考查数学思想方法的热点题型【训练3】 (2012·金华模拟)已知过点A(4,0)的动直线l与抛物线G：x22

21、py(p0)相交于B、C两点当直线l的斜率是时，4.(1)求抛物线G的方程；(2)设线段BC的中垂线在y轴上的截距为b，求b的取值范围解(1)设B(x1，y1)，C(x2，y2)，当直线l的斜率是时，l的方程为y(x4)，即x2y4.由得2y2(8p)y80，又4，y24y1，由及p0得：y11，y24，p2，得抛物线G的方程为x24y.(2)设l：yk(x4)，BC的中点坐标为(x0，y0)，由得x24kx16k0，x02k，y0k(x04)2k24k.线段BC的中垂线方程为y2k24k(x2k)，线段BC的中垂线在y轴上的截距为：b2k24k22(k1)2，对于方程，由16k264k0得k

22、0或k4.b(2，)二、定值问题解决定值问题的方法：将问题涉及的几何式转化为代数式或三角式，证明该式的值与参数无关。例1 A、B是抛物线（p0）上的两点，且OAOB，求证：（1）A、B两点的横坐标之积，纵坐标之积分别都是定值；（2）直线AB经过一个定点。证明：（1）设A（）、B（），则，。=，为定值，也为定值。（2），直线AB的方程为：，直线AB过定点（2p，0）。例2 已知抛物线方程为，点A、B及点P(2，4)都在抛物线上，直线PA与PB的倾斜角互补。（1）试证明直线AB的斜率为定值；（2）当直线AB的纵截距为m（m0）时，求PAB的面积的最大值。分析：这类问题一般运算量大，要注意函数与方程

23、、数形结合、分类讨论等思想方法的灵活运用。解析：（1）证明：把P(2，4)代入，得h=6。所以抛物线方程为：y4=k(x2)，由，消去y，得。所以，因为PA和PB的倾角互补，所以，用k代k，得，所以=。（2）设AB的方程为y=2x+m(m0)，由，消去y得：，令=164(2m12) 0，解得0m8，点P到AB的距离d=，所以，=，所以，当且仅当，即时，等号成立，故PAB面积最大值为。【例4】(2011·四川)椭圆有两顶点A(1,0)、B(1,0)，过其焦点F(0,1)的直线l与椭圆交于C、D两点，并与x轴交于点P.直线AC与直线BD交于点Q.(1)当|CD|时，求直线l的方程(2)当

24、点P异于A、B两点时，求证：O·O为定值审题视点 (1)设出直线方程与椭圆方程联立利用根与系数的关系和弦长公式可求出斜率从而求出直线方程；(2)关键是求出Q点坐标及其与P点坐标的关系，从而证得·为定值证明过程中要充分利用已知条件进行等价转化(1)解因椭圆焦点在y轴上，设椭圆的标准方程为1(ab0)，由已知得b1，c1，所以a，椭圆方程为x21.直线l垂直于x轴时与题意不符设直线l的方程为ykx1，将其代入椭圆方程化简得(k22)x22kx10. 设C(x1，y1)，D(x2，y2)，则x1x2，x1·x2，|CD|·.由已知得，解得k±.所以直

25、线l的方程为yx1或yx1.(2)证明直线l与x轴垂直时与题意不符设直线l的方程为ykx1(k0且k±1)，所以P点坐标为.设C(x1，y1)，D(x2，y2)，由(1)知x1x2，x1·x2，直线AC的方程为y(x1)，直线BD的方程为y(x1)，将两直线方程联立，消去y得.因为1x1，x21，所以与异号2·2.又y1y2k2x1x2k(x1x2)1·，与y1y2异号，与同号，解得xk.因此Q点坐标为(k，y0)O·O·1.故O·O为定值 解决圆锥曲线中的定值问题的基本思路很明确：即定值问题必然是在变化中所表现出来的不变的

26、量，那么就可以用变化的量表示问题中的直线方程、数量积等，其不受变化的量所影响的一个值即为定值，化解这类问题的关键是引进参数表示直线方程、数量积等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量，解题过程中要注意讨论直线斜率的存在情况，计算要准确【训练4】 (2011·山东)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：y21.如图所示，斜率为k(k0)且不过原点的直线l交椭圆C于A，B两点，线段AB的中点为E，射线OE交椭圆C于点G，交直线x3于点D(3，m)(1)求m2k2的最小值；(2)若|OG|2|OD|·|OE|，求证：直线l过定点(1)解设直线l的方程为ykxt(k0)

27、，由题意，t0.由方程组得(3k21)x26ktx3t230.由题意0，所以3k21t2.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系得x1x2，所以y1y2.由于E为线段AB的中点，因此xE，yE，此时kOE.所以OE所在直线方程为yx，又由题设知D(3，m)，令x3，得m，即mk1，所以m2k22mk2，当且仅当mk1时上式等号成立，此时由0得0t2，因此当mk1且0t2时，m2k2取最小值2.(2)证明由(1)知OD所在直线的方程为yx，将其代入椭圆C的方程，并由k0，解得G.又E，D，由距离公式及t0得|OG|222，|OD| ，|OE| ，由|OG|2|OD|·|

28、OE|得tk，因此直线l的方程为yk(x1)，所以直线l恒过定点(1,0)三、定点问题处理这类问题有两种方法：一是从特殊入手，求出定点，再证明这个点与变量无关；二是直接推理、计算，并在计算过程中消去变量，从而得到定点。CxyOFBA图2例5（2001年全国高考）设抛物线（p0）的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BCx轴，证明：直线AC经过原点。方法1：设直线方程为，A，B，C，又，即k也是直线OA的斜率，所以AC经过原点O。当k不存在时，ABx轴，同理可证。xyFBACDO图3NE方法2：如图2过A作ADl，D为垂足，则：ADEFBC连结AC与EF相交于点

29、N，则，由抛物线的定义知：|AF|=|AD|，|BF|=|BC|，.点评：该题的解答既可采用常规的坐标法，借助代数推理进行，又可采用圆锥曲线的几何性质，借助平面几何的方法进行推理。解题思路宽，而且几何方法较之解析法比较快捷便当，从审题与思维深度上看，几何法的采用，源于思维的深刻性。典型例题已知抛物线y2=2px(p>0)，过M（a,0）且斜率为1的直线L与抛物线交于不同的两点A、B，|AB|2p（1）求a的取值范围；（2）若线段AB的垂直平分线交x轴于点N，求NAB面积的最大值。分析：这是一道直线与圆锥曲线位置关系的问题，对于（1），可以设法得到关于a的不等式，通过解不等式求出a的范围，即：“求范围，找不等式”。或者将a表示为另一个变量的函数，利用求函数的值域求出a的范围；对于（2）首先要把NAB的面积表示为一个变量的函数，然后再求它的最大值,即：“最值问题，函数思想”。解：(1)直线L的方程为：y=x-a,将y=x-a 代入抛物线方程y2=2px,得：设直线L与抛物线两交点的坐标分别为A（x1,y1）,B(x2,y2)，则,又y1=x1-a,y2=x2-a, 解得:(2)设AB的垂直平分线交AB与点Q