函数最值求法

1、函数最值求法1.判别式法 若函数可化成一个系数含有的关于的二次方程: 。在时,由于为实数,则有,由此可以求出所在的范围,确定函数的最值。例1.1 已知,其中是实数,则的最大值为_。 解:设,由得, 是方程的两个实根.整理化简, 得,故. 即的最大值为2例1.2 实数满足,设,则的值为_。 解:由题意知, ,故又 是方程的两个实根.解得，即2.函数的单调性法 当自变量的取值范围为一区间时，常用单调性法来求函数的最值。若函数在整个区间上是单调的,则该函数在区间端点上取到最大值或最小值。若函数在整个区间上不是单调的 ，则把该区间分成各个小区间，使得函数在每一个区间上是单调的，再求出各个小区间上的最值

2、，从而可以得到整个区间上的最值。例2.1 求函数的最小值和最大值。解：先求定义域，由 得 又 ，故当，且增加时，增大，而减小.于是是随着的增大而减小，即在区间上是减函数，所以 , 例2.2 求函数，的最大值和最小值。解： ， 令，.当时，有 在上是减函数，因此 ， ， 3.均值不等式法 均值不等式:设是个正数,则有,其中等号成立的条件是。运用均值不等式求最值,必须具备三个必要条件,即一正二定三等,缺一不可。“正”是指各项均为正数,这是前提条件；“定”是指各项的和或积为定值；“等”是等号成立的条件。 例3.1 设为自然数, 为实数,且满足,则的最小值是_。解:>.由均值不等式得, 故 当且

3、仅当时,上式取等号.故的最小值是例 3.2 设，,记中最大数为M,则M的最小值为_。解: 由已知条件得 设中的最小数为,则M= 由已知条件知, ,于是 所以, ,且当时, ,故的最小值为,从而M的最小值为注:在用均值不等式求函数的最值时,往往需要配合一定的变形技巧,才可以把问题转化成求不等式的问题。例3.3 设,则的最大值是_。解: 由,有又其中当时,上式等号成立,即时成立,故的最大值为4.换元法用换元法求函数最值,就是根据函数表达式的特点,把某一部分看作一个整体或用一个新变元来代替,达到化繁难为简易,化陌生为熟悉,从而使原问题得解。换元法通常有三角代换和代数代换两种。例4.1 正数满足，其中

4、为不相等的正常数，求的最小值。解：令则 当且仅当，即时上式取等号.故例4.2实数适合条件，则函数的值域是_。解：由已知可设，其中，则 当，即时，；当，即时，.故的值域是5.几何法 某些二元函数最值问题具有图形背景,这时我们可以将所给函数表达式化为具有一定几何意义的代数表达式,再利用几何图形,对函数最值作出直观的说明和解释。根据函数所表示的几何意义,我们可以将函数分为以下几种:5.1可视为直线斜率的函数的最值例5.1.1 求函数的最小值。解:令,则且，于是问题转化为:当点在上半个单位圆上运动时,求与的连线的斜率的最值(如图).显然,当点与点重合时,直线的斜率最小,此时.当直线与上半个单位圆相切时

5、,直线的斜率最大. 设,则直线的方程为直线与上半个单位圆相切 解得 (舍去)或综上可得,直线的斜率的最值为: ， ， 5.2可视为距离的函数的最值例5.2.1 函数的最大值是_。解：将函数式变形,得 可知函数的几何意义是：在抛物线上的点分别到点和点的距离之差,现求其最大值.由知，当在的延长线上处时，取得最大值5.3可视为曲线截距的函数的最值例5.3.1 求函数的最大值。解: 令,则,且.则问题转化为:当点在单位圆上运动时,求双曲线族 (视为常数)在轴上的截距的最大值.当时,由方程得 , 由此可知:当时, ;当时, 此双曲线族有公共的渐进线和,有公共的中心由此不难得出,当双曲线族与单位圆切于点

6、时,纵截距取得极大值 ，而,故所求纵截距的极大值就是最大值.因此,所求函数的最大值为6.构造方差法设个数据的平均数为,则其方差为 显然（当且仅当时取等号）。应用这一公式，可简捷、巧妙地解决一些试题的最值问题。这种方法适用的范围很广，可以用来求函数的最值，也可以用来求某一字母的最值以及求某一代数式的最值。例6.1求函数的最大值。解：的方差是解得.故例6.2确定最大的实数，使得实数满足： , 解：由已知得 , , 的方差 解得 .故的最大值为 注：对于例1，我们也可以用构造方差法来求解，解题过程如下：解法2：不妨设，则由已知,即 得 又的方差是即,由此判定,解得,即,亦即.故的最大值为7.导数法

7、设函数在上连续，在上可导，则在上的最大值和最小值为在内的各极值与，中的最大值与最小值。要求三次及三次以上的函数的最值,以及利用其他方法很难求的函数似的最值,通常都用该方法。导数法往往就是最简便的方法,应该引起足够重视。例7.1 求函数,的最大值和最小值。解: ,令,方程无解. 函数在上是增函数.故当时, ，当时, 例7.2 求数列的最大项。解: 设,则令,则得又 , 将,及加以比较,得的最大值为 数列的最大项为第项,这一项的值为例7.3 已知的导函数，试探究的极点和最点.解析：.有3个相异的根：它们都是的极点.易知原函数 （R）易知为的减区间，为的增区间，为的减区间，为的增区间.的4个单调区间

8、依次成“减增减增”的顺序，使得首、尾两个区间的单调性相异，从而使得在“两次探底”中得到最（小）点.比较三个极值的大小：得的最小值为，对应两个最小点和1.【说明】 定义在一个开区间上的可导函数如果有n个极点：x1<x2<<xn.当n为奇数时，有最点存在.最点在依次为奇数的极点中产生，通过奇数位上的极值比大小可得.当n为偶数时，函数无最点.例7.4 求函数的最值.解析: 函数是定义在一个开区间上的可导函数,令得的唯一驻点即为最点.时，函数递增,时，函数递减,故有最大值.【说明】 本函数是二次函数的复合函数，用配方法求最值也很简便.,等号成立条件是.注：最值寻根的导数判定若定义在一个开区间上的函数有导函数存在，那么是否有最值的问题可转化为的导函数是否有最根的问题来研究：（1）若导函数无根，即，则无最值；（2）若导函数有唯一的根，即，则有最值.此时，导函数的根即是函数最根.（3）若导函数有多个的根，则应从多个驻点中依次判定极点、最点的存在性.8、配方法例8.1 已知a>0，探索二次函数y = ax2+bx+c的单调区间.并指出函数的最值点.解析：任取 x1<x2，x1，x2R.则有 y1 y2 = f (x1) f (x2) = ()（1）当x1，x2-时，