函数与方程思想总结(很好很全面)

1、函数与方程思想函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：一是借助有关初等函数的性质，解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题：二是在问题的研究中，通过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质，达到化难为易，化繁为简的目的。函数与方程的思想是中学数学的基本思想，也是历年高考的重点。1函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决。2方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质

2、去分析、转化问题，使问题获得解决。方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系；3函数方程思想的几种重要形式(1)函数和方程是密切相关的，对于函数yf(x)，当y0时，就转化为方程f(x)0，也可以把函数式yf(x)看做二元方程yf(x)0。(2)函数与不等式也可以相互转化，对于函数yf(x)，当y0时，就转化为不等式f(x)0，借助于函数图像与性质解决有关问题，而研究函数的性质，也离不开解不等式；(3)数列的通项或前n项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点处理数列问题十分重要；(4)函数f(x)(1+x)n (nN*)与二项式定理是密切相关的，利用这个函数用赋值法和比较系数法可以解决很多二项式

3、定理的问题；(5)解析几何中的许多问题，例如直线和二次曲线的位置关系问题，需要通过解二元方程组才能解决，涉及到二次方程与二次函数的有关理论；(6)立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用布列方程或建立函数表达式的方法加以解决。【例1】. 关于x的方程(x21)2|x21|k0，给出下列四个命题：存在实数k，使得方程恰有2个不同的实根；存在实数k，使得方程恰有4个不同的实根；存在实数k，使得方程恰有5个不同的实根；存在实数k，使得方程恰有8个不同的实根.其中真命题是_解答：根据题意可令x21t(t0)，则方程化为t2tk0，(*)作出函数tx21的图象，结合函数的图象可知当t0或t

4、1时，原方程有两上不等的根，当0t1时，原方程有4个根，当t1时，原方程有3个根.(1)当k2时，方程(*)有一个正根t2，相应的原方程的解有2个；(2)当k时，方程(*)有两个相等正根t，相应的原方程的解有4个；(3)当k0时，此时方程(*)有两个不等根t0或t1，故此时原方程有5个根；(4)当0k时，方程(*)有两个不等正根，且此时方程(*)有两正根且均小于1，故相应的满足方程|x21|t的解有8个答案：1234【例2】若不等式x2ax10对于一切x(，成立，则a的最小值为_解答：. 分离变量，有a(x)，x(，恒成立.右端的最大值为，a.2. 看成关于a的不等式，由f(0)0，且f()0

5、可求得a的范围.3. 设f(x)x2ax1，结合二次函数图象，分对称轴在区间的内外三种情况进行讨论.4. f(x)x21，g(x)ax，则结合图形(象)知原问题等价于f()g()，即a.【例3】 设f(x)，g(x)分别是定义在上的奇函数和偶函数，当x0时，f(x)g(x)f(x)g(x)，且g()，则不等式f(x)g(x)0的解集为_解析：以函数为中心，考查通性通法，设(x)f(x)g(x)，由f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，所以F(x)f(x)g(x)f(x)g(x)F(x)，即F(x)为奇函数.又当x0时，F(x)f(x)g(x)f(x)g(x)0，所以x0时，F(x

6、)为增函数.因为奇函数在对称区间上的单调性相同，所以x0时，F(x)也为增函数.因为F(3)f(3)g(3)0F(3).如上图，是一个符合题意的图象，观察知不等式F(x)0的解集是(，)(，) 【例4】已知实数分别满足，则=_解答：已知的等式都是三次方程,直接通过方程解出有一定的困难,但是,题设的两个等式的左边的结构相同,使我们想到用统一的式子来表示这两个等式,对题设的两个等式变形为,根据这两个等式的特征,构造函数.函数是一个奇函数,又是上的增函数,则有 于是, 因而得 【例5】 若圆上至少有三个不同的点到直线的距离为,则直线的倾斜角的取值范围是_解答： 圆整理为，圆心坐标为(2，2)，半径为

7、3，要求圆上至少有三个不同的点到直线的距离为，则圆心到直线的距离应小于等于， ， ， ， ，直线的倾斜角的取值范围是【例6】如果实数满足等式那么的最大值为_解答：根据已知等式,画出以为圆心,以为半径的圆,则的几何意义是圆上一点与原点所连直线的斜率.显然, 的最大值是过原点与圆相切的直线的斜率,由可得.于是,的最大值是【例7】设是方程的两个不等实根，那么过点和的直线与圆的位置关系是_解答：由题意，因此和都在直线上，原点到该直线的距离，过的直线与单位圆相切【例8】设定义域为R的函数，则关于的方程有7个不同实数解的充要条件是_ 解答：画出函数的图像,该图像关于对称,且,令,若有7个不同实数解,则方程

8、有2个不同实数解,且为一正根,一零根.因此, 充要条件是且【例9】. 设函数x21，对任意x，恒成立，则实数m的取值范围是_【答案】解析：(解法1)不等式化为f(x1)4f(m)f4m2f(x)0，即(x1)214m2414m2x24m20，整理得x22x30，因为x20，所以14m2，设g(x)，x.于是题目化为14m2g(x)，对任意x恒成立的问题为此需求g(x)，x的最大值设u，则0u.函数g(x)h(u)3u22u在区间上是增函数，因而在u处取得最大值h3，所以14m2g(x)max，整理得12m45m230，即(4m23)(3m21)0，所以4m230，解得m或m，因此实数m的取值范

9、围是m.(解法2)(前面同解法1)原题化为14m2g(x)，对任意x恒成立的问题为此需求g(x)，x的最大值设t2x3，则t6，)g(x)h(t).因为函数t在(3，)上是增函数，所以当t6时，t取得最小值6.从而h(t)有最大值.所以14m2gmax(x)，整理得12m45m230，即(4m23)(3m21)0，所以4m230，解得m或m，因此实数m的取值范围是m.(解法3)不等式化为f(x1)4f(m)f4m2f(x)0，即(x1)214m2414m2x24m20，整理得x22x30，令F(x)x22x3.由于F(0)30，则其判别式0，因此F(x)的最小值不可能在函数图象的顶点得到，所以

10、为使F(x)0对任意x恒成立，必须使F为最小值，即实数m应满足解得m2，因此实数m的取值范围是m.【例10】某工厂2005年生产利润逐月增加，且每月增加的利润相同，但由于厂方正在改造建设，一月份投入的建设资金恰与一月份的利润相等，随着投入资金的逐月增加，且每月增加投入的百分率相同，到十二月份投入的建设资金又恰与十二月份生产利润相同，问全年总利润W与全年总投入资金N的大小关系是_解答：设第一个月的投入资金与一月份的利润均为a，每月的增加投入百分率为r则每月的利润组成数列，每月投入资金组成数列，如图，由两函数图象特点可知，有，可见，故WN1. (2011北京)已知函数若关于x的方程有两个不同的实根

11、，则实数的取值范围是_2.(2011广东)等差数列an前9项的和等于前4项的和若a11，aka40，则k_. 3.(2009福建)若曲线f(x)ax3lnx存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是_4. (2010天津)设函数f(x)x，对任意x1，)，f(mx)mf(x)0(1) 若m1，求证：函数f(x)是增函数；(2) 如果函数f(x)的值域是0,2，试求m的取值范围；(3) 如果函数f(x)的值域是0，m2，试求实数的最小值解答：(1) 证明：当m0，所以f(x)是增函数，(2) 解：令g(x)x|x23|，x0，则g(x)当0x时，g(x)33x2，由g(x)0得x1，所以g(x)

12、在0,1上是增函数，在1，上是减函数当x时，g(x)3x230，所以g(x)在，)上是增函数，所以x0，时，g(x)maxg(1)2，g(x)ming(0)g()0，所以0m时，在x0，时，f(x)0,2，在x，m时，f(x)0，f(m)，这时f(x)的值域是0,2的充要条件是f(m)2，即m33m2，(m2)(m1)20，解得m2.综上，m的取值范围是1,2(3) 由(2)可知，0m2时，函数f(x)的最大值为f(m)m33m，由题意知m33mm2，即m，这是增函数， .综上，当m2时，实数取最小值为.变式训练已知函数g(x)xlnx，设0ab，求证：0g(a)g(b)2g(ba)ln2.点

13、拨：确定变量，构造函数证明不等式证明：g(x)xlnx，g(x)lnx1.构造函数F(x)g(a)g(x)2g，则F(x)g(x)2lnxln.当0xa时，F(x)0，在此F(x)在(0，a)内为减函数；当xa时，F(x)0，因此F(x)在(a，)上为增函数从而，当xa时，F(x)有极小值F(a)因为F(a)0，ba，所以F(b)0，即0g(a)g(b)2g.再构造函数G(x)F(x)(xa)ln2，则G(x)lnxlnln2lnxln(ax)当x0时，G(x)0.因此G(x)在(0，)上为减函数因为G(a)0，ba，所以G(b)0，即g(a)g(b)2g(ba)ln2.综上得0g(a)g(b

14、)2g(ba)ln2.【例2】已知二次函数yg(x)的导函数的图象与直线y2x平行，且yg(x)在x1处取得最小值m1(m0)设函数f(x).(1) 若曲线yf(x)上的点P到点Q(0,2)的距离的最小值为，求m的值(2) k(kR)如何取值时，函数yf(x)kx存在零点，并求出零点解：(1) 设g(x)ax2bxc，则g(x)2axb；又g(x)的图象与直线y2x平行， 2a2，a1.(1分)又g(x)在x1取极小值，1，b2， g(1)abc12cm1，cm；(2分)f(x)x2，设P(x0，y0)，则|PQ|2x(y02)2x22x2m22m，(4分)当且仅当2x02时，|PQ|2取最小

15、值，即|PQ|取最小值.当m0时，2m2m2， m1(6分)当m0，若m0，k1，函数yf(x)kx有两个零点x；(10分)若m0，kbc，且abc=0，抛物线被x轴截得的弦长为l，求证：证明：，且从而故抛物线与x轴有两个不同的交点，即方程必有两个不相等的实数根，由韦达定理得可见，是的二次函数由及，得，解得在上是减函数，即题型三函数与方程思想在三角函数中的应用【例5】已知函数f(x)=x2(m1)xm(mR)(1)若tanA，tanB是方程f(x)4=0的两个实根，A、B是锐角三角形ABC的两个内角.求证：m5；(2)对任意实数，恒有f(2cos)0，证明m3;(3)在(2)的条件下，若函数f

16、(sin)的最大值是8，求m（1）证明：f(x)4=0即x2(m1)xm4=0依题意：又A、B锐角为三角形内两内角，ABtan(AB)0，即m5(2)证明：f(x)=(x1)(xm)，又1cos1，12cos3，恒有f(2cos)0即1x3时，恒有f(x)0即(x1)(xm)0，mx但xmax=3，mxmax=3(3)解：f(sin)=sin2(m1)sinm=，且2，当sin=1时，f(sin)有最大值8即1(m1)m=8，m=3题型四函数与方程思想在解析几何中的应用【例6】直线和双曲线的左支交于A、B两点，直线l过点P(2，0)和线段AB的中点M，求l在y轴上的截距b的取值范围解：由消去y，得