自然坐标、圆周运动、相对运动

1、（2 2）自然坐标、圆周运动、相对运动）自然坐标、圆周运动、相对运动一、曲线运动：自然坐标、切一、曲线运动：自然坐标、切向加速度和法向加速度向加速度和法向加速度二、圆周运动与角量系统二、圆周运动与角量系统三、相对运动三、相对运动AB n nuvvxy yuox60 oA BvxyorAB（2 2）自然坐标、圆周运动、相对运动）自然坐标、圆周运动、相对运动一、自然坐标、平面曲线运动一、自然坐标、平面曲线运动AB n n切向以质点前进方向为正，记做切向以质点前进方向为正，记做 或者或者 ，法向以曲线凹侧方向为正，法向以曲线凹侧方向为正，记做记做 或者或者 ntene1.1.质点的位置用轨道长度质点

2、的位置用轨道长度s s表示表示s = s (t)则则: : s = s ( t+ t) s ( t) 2. 速度和速率速度和速率vtrtrtsv ddd|d|dd自然坐标系自然坐标系 (natural coordinates)使用前提：使用前提：轨道已知轨道已知轨道上选择一点做轨道上选择一点做原点。原点。 osenet（2 2）自然坐标、圆周运动、相对运动）自然坐标、圆周运动、相对运动第第1 1项表示由于速度大小变化项表示由于速度大小变化所引起的加速度分量所引起的加速度分量, , 大小大小等于速率变化率等于速率变化率, , 方向沿轨方向沿轨道切向道切向, , 称称切向加速度切向加速度(tang

3、ential acceleration)tvaddt第第2项是由速度方向变化所引项是由速度方向变化所引起的加速度分量，为起的加速度分量，为法向加法向加速度速度(normal acceleration)nvntva2nddttddeetsvvteetddddttvvtaddvLBA (t) (t+ t) 当当 t0时时, 点点B 趋近于点趋近于点A,等腰等腰 O A B 顶角顶角 0。 推导nvntvtva2nddddtttttddlimlim00 极限方向必定垂直于极限方向必定垂直于 , 指向轨道凹侧指向轨道凹侧, 与法向单位矢量与法向单位矢量n一致，并且一致，并且 ( ) tO (t) (t

4、+ t) B A 若轨道在点若轨道在点A 的内切的内切圆的曲率半径为圆的曲率半径为 nvntvntva2ndddd（2 2）自然坐标、圆周运动、相对运动）自然坐标、圆周运动、相对运动反映速度方向反映速度方向变化的快慢程变化的快慢程度度反映速度大小变反映速度大小变化的快慢化的快慢2vadtdvan 22222 vdtdvaaaan naatg加速度总是指向曲线的凹侧加速度总是指向曲线的凹侧vv 切向加速度切向加速度法向加速度法向加速度naaaaann总结：总结：自然坐标自然坐标 anaadds其中其中 曲率半径曲率半径 . （2 2）自然坐标、圆周运动、相对运动）自然坐标、圆周运动、相对运动tt

5、td)(d)(2.角速度角速度1.角坐标角坐标)(t3.角加速度角加速度tdd又因为线速率又因为线速率ttrtst0lim0limvxyor)()(,ddtrttsvvAB二、圆周运动二、圆周运动轨迹为圆，曲率半径恒定为轨迹为圆，曲率半径恒定为r2vadtdvan又因为又因为rvaran2（2 2）自然坐标、圆周运动、相对运动）自然坐标、圆周运动、相对运动角加速度角加速度tdd)()(,ddtrttsvv线量与角量线量与角量s = s (t)=r (t)线量角量角坐标角坐标)(ttttd)(d)(角速度角速度切向加速度切向加速度（速度大小变速度大小变化引起化引起）法向加速度法向加速度（速度方向

6、变速度方向变化引起化引起）22ntaaarvaran2（2 2）自然坐标、圆周运动、相对运动）自然坐标、圆周运动、相对运动举例：举例： 匀速率圆周运动和匀变速率圆周运动匀速率圆周运动和匀变速率圆周运动 1 匀速率圆周运动：速率匀速率圆周运动：速率 和角速度和角速度 都为常量都为常量 .v2 匀变速率圆周运动匀变速率圆周运动t020021tt)(20202如如 时时,0t00,常量n2nnereaa0tat 0 tdtd00 tdt00 3 一般圆周运动一般圆周运动（2 2）自然坐标、圆周运动、相对运动）自然坐标、圆周运动、相对运动 作曲线运动的物体，以下几种说法中哪一作曲线运动的物体，以下几种

7、说法中哪一种是正确的：种是正确的： （A）切向加速度必不为零；）切向加速度必不为零； （B）法向加速度必不为零（拐点处除外）；）法向加速度必不为零（拐点处除外）； （C）由于速度沿切线方向，法向分速度必为零，）由于速度沿切线方向，法向分速度必为零，因此法向加速度必为零；因此法向加速度必为零； （D）若物体作匀速率运动，其总加速度必为零）若物体作匀速率运动，其总加速度必为零 （E）若物体的加速度）若物体的加速度 为恒矢量，它一定作为恒矢量，它一定作匀变速率运动匀变速率运动 .a讨讨 论论（2 2）自然坐标、圆周运动、相对运动）自然坐标、圆周运动、相对运动 一飞轮半径为一飞轮半径为2m,其角量运动

8、方程其角量运动方程 =2+3t-4t3(SI),求距轴心求距轴心1m处的点在处的点在2s末的速率和切向加速度末的速率和切向加速度解解:因为因为2d312dtt 则则:d24dtt 45rad/ s 248rad/s 在距轴心在距轴心1m处的速率为处的速率为45/vRm s 切向加速度为切向加速度为:48/aRm s 将将t=2代入代入,得得（2 2）自然坐标、圆周运动、相对运动）自然坐标、圆周运动、相对运动三、相对运动三、相对运动 在两个相对作直线运动的参考系中，在两个相对作直线运动的参考系中， 时间的测量是时间的测量是绝对的，空间的测量也是绝对的，绝对的，空间的测量也是绝对的， 与参考系无关

9、，与参考系无关， 时间和长度的绝对性是经典力学或牛顿力学的基础时间和长度的绝对性是经典力学或牛顿力学的基础.ABv 小车以小车以较低的速度较低的速度 沿水平轨道先后通过点沿水平轨道先后通过点 A 和点和点 B . 地面上人测得车通过地面上人测得车通过 A、B 两点间的距两点间的距离和时间与车上的人测量结果相同离和时间与车上的人测量结果相同 .v1、时间与空间时间与空间（2 2）自然坐标、圆周运动、相对运动）自然坐标、圆周运动、相对运动物体运动的轨迹依赖于观察者所处的参考系物体运动的轨迹依赖于观察者所处的参考系2、相对运动相对运动（2 2）自然坐标、圆周运动、相对运动）自然坐标、圆周运动、相对运

10、动 ruxxy yz zo orS 系系 系系 ) (zyxO)(OxyzSoorP*3 3、绝对运动、牵连运动、相对运动绝对运动、牵连运动、相对运动（1）位矢的关系）位矢的关系质点质点P在相对作匀速直线运动在相对作匀速直线运动的两个坐标系中的移动的两个坐标系中的移动绝对位矢绝对位矢相对位矢相对位矢牵连位矢牵连位矢0rrr绝对量绝对量=相对量相对量+牵连量牵连量r roor（2 2）自然坐标、圆周运动、相对运动）自然坐标、圆周运动、相对运动zz*yyxxuoo0tp pu vv（3）速度关系）速度关系utrtrDrr（2）位移关系）位移关系 rPtuuxxy yz ztto orQQD p简单

11、起见，设简单起见，设开始时，开始时，两坐标系是重合的。两坐标系是重合的。经经过过t时间，时间，质点从质点从P移动移动到到Q，而而S系相对系相对S系移系移动到如图位置，则：动到如图位置，则：绝对量绝对量=相对量相对量+牵连量牵连量（2 2）自然坐标、圆周运动、相对运动）自然坐标、圆周运动、相对运动 伽利略速度变换伽利略速度变换 注意注意当当 接近光速时，伽利略速度变换不成立！接近光速时，伽利略速度变换不成立！u绝对速度绝对速度trddv相对速度相对速度trddv牵连速度牵连速度uuvvuvv rtuuxxy yz ztt o orQQD p【相对论【相对论洛伦兹变换洛伦兹变换】（2 2）自然坐标

12、、圆周运动、相对运动）自然坐标、圆周运动、相对运动绝对绝对加速度加速度相对相对加速度加速度牵连牵连加速度加速度0aaa 绝对量绝对量= =相对量相对量+ +牵连量牵连量0ddaatu若若则则（4）加速度关系）加速度关系tuttddddddvv推导：推导：（2 2）自然坐标、圆周运动、相对运动）自然坐标、圆周运动、相对运动例题例题. .河水自西向东流动，速度为河水自西向东流动，速度为10 km/h,10 km/h,一轮船在一轮船在水中航行，船相对于河水的航向为北偏西水中航行，船相对于河水的航向为北偏西3030o o, ,航速为航速为20km/h20km/h。此时风向为正西，风速为。此时风向为正西

13、，风速为10km/h10km/h。试求在船。试求在船上观察到的烟囱冒出的烟缕的飘向。（设烟离开烟囱上观察到的烟囱冒出的烟缕的飘向。（设烟离开烟囱后即获得与风相同的速度）后即获得与风相同的速度）解：解：设水用设水用S S；风用；风用F F；船用；船用C C；岸用；岸用D D已知：已知：201010 csfdsdvvv正东正东正西正西北偏西北偏西3030o ovcsvfdvsd 风向（风向（wind directionwind direction） 气象上把风吹来的方向确定为风的方向。因此，气象上把风吹来的方向确定为风的方向。因此，风来自北方叫做北风，风来自南方叫做南风。气象风来自北方叫做北风，风

14、来自南方叫做南风。气象台站预报风时，当风向在某个方位左右摆动不能肯台站预报风时，当风向在某个方位左右摆动不能肯定时，则加以定时，则加以“偏偏”字，如偏北风。当风力很小时，字，如偏北风。当风力很小时，则采用则采用“风向不定风向不定”来说明。来说明。（2 2）自然坐标、圆周运动、相对运动）自然坐标、圆周运动、相对运动sdcscdvvv cdfcfdvvv cdfdfcvvv hkmvvvvcsfcsdfd/20 方向为南偏西方向为南偏西3030o ofcvvcsvfdvsdvcd030vfcvfdvsdvcd 030方向正北hkmvcd/310 （2 2）自然坐标、圆周运动、相对运动）自然坐标、圆

15、周运动、相对运动例题、例题、一男孩乘坐一铁路平板车，在平直铁路上匀加速一男孩乘坐一铁路平板车，在平直铁路上匀加速行驶，其加速度为行驶，其加速度为a，他沿车前进的斜上方抛出一球，他沿车前进的斜上方抛出一球，设抛球时对车的加速度的影响可以忽略，如果使他不必设抛球时对车的加速度的影响可以忽略，如果使他不必移动他在车中的位置就能接住球，则抛出的方向与竖直移动他在车中的位置就能接住球，则抛出的方向与竖直方向的夹角应为多大？方向的夹角应为多大？aV0车对地车对地 解：解：抛出后车的位移：抛出后车的位移：20121attvx 球的位移：球的位移：20221)cos( gttvy )sin(002tvvx 球

16、对车0v（2 2）自然坐标、圆周运动、相对运动）自然坐标、圆周运动、相对运动小孩接住球的条件为：小孩接住球的条件为： x1= x2; y=0 )(sin2102tvat 两式相比得：两式相比得： tgga tvgt)(cos21 02 gatg1 （2 2）自然坐标、圆周运动、相对运动）自然坐标、圆周运动、相对运动例例、由楼窗口以水平初速度由楼窗口以水平初速度v0射出一发子弹，取枪口射出一发子弹，取枪口为原点，沿为原点，沿v0为为x轴，竖直向下为轴，竖直向下为y轴轴，并取发射时并取发射时t=0.试求试求：(1)子弹在任一时刻子弹在任一时刻t的位置坐标及轨道方程的位置坐标及轨道方程；(2)子弹在

17、子弹在t t时刻的速度，切向加速度和法向加速度时刻的速度，切向加速度和法向加速度。aagyxov0 n 2021gtytvx 解解：(1)20221vgxy 习习 题题 训训 练练（2 2）自然坐标、圆周运动、相对运动）自然坐标、圆周运动、相对运动(2)gtvvvyx ,0与切向加速度垂直与切向加速度垂直 01222022tan vgttgvvvvyx与速度同向与速度同向22202tgvtgdtdva 2220022tgvgvagan aagyxov0 n （2 2）自然坐标、圆周运动、相对运动）自然坐标、圆周运动、相对运动oABAvBvr 例例 如图一超音速歼击机在高空如图一超音速歼击机在高

18、空 A 时的水平速率为时的水平速率为 1940 km/h , 沿近似于圆弧的曲线俯冲到点沿近似于圆弧的曲线俯冲到点 B ,其速率为其速率为 2192 km/h , 所经历的时间为所经历的时间为 3s , 设圆弧设圆弧 的半径约为的半径约为 3.5km , 且飞机从且飞机从A 到到B 的俯冲过程可视为匀变速率圆的俯冲过程可视为匀变速率圆周运动周运动 , 若不计重力加速度的影响若不计重力加速度的影响, 求求: (1) 飞机在点飞机在点B 的加速度的加速度; (2)飞机由点飞机由点A 到点到点B 所经历的路程所经历的路程 .ABatana 解解（1）因飞机作匀变速率）因飞机作匀变速率运动所以运动所以 和和 为常量为常量 .tataddtv分离变量有分离变量有 t0ta ddtBAvvv（2 2）自然坐标、圆周运动、相对运动）自然坐标、圆周运动、相对运动oABAvBvratana2tsm3 .23taABvv1hkm1940Av1hkm2192Bvs3tkm5 . 3AB已知：已知：在点在点 B 的法向加速度的法向加速度22nsm106raBv在点在点 B 的加速度的加速度22n2tsm109aaa4 .12arctanntaa 与法向之间夹角与法向之间夹角 为为atta0tddBAvvvv（2 2）自然坐标、圆周运动、相对运动）