CH2 光波导的几何光学分析方法--精选文档

1、第二章 光波导的几何光学分析方法在本章中我们将从路径方程出发，分析光线在各类光波导中的传播特性。首先，我们将从最简单的均匀介质薄膜波导开始，然后讨论光纤中光线的传播问题，最后讨论光源与光纤之间的耦合问题。2.1 均匀介质薄膜波导中光线的传播图2-1 介质薄膜波导的纵剖面图介质薄膜波导由三层介质构成。中间一层厚度为d (约为数微米)，折射率为n1，光线即在这一层介质中传播，称为芯层。下面一层折射率为n2，称为衬底。上面一层折射率为n3，称为敷层。其结构如图2-1所示。为了保证光线在芯层中传播，必须有nl大于n2和n3。在横方向上，薄膜波导在y方向尺寸比起x方向尺寸要大得多，为了分析简单起见，认为

2、在y方向上是无限延伸的，所以又可以将薄膜波导称为平面波导。一般薄膜波导的芯层是采用扩散工艺沉积在衬底上做成的。光纤通信系统中，不用薄膜光波导作为传输媒质。但是，对薄膜波导的分析具有重要的意义。首先，薄膜波导是最简单的光波导，可以很方便地得到结果，对薄膜波导的讨论可以为分析条形波导和光纤打下基础。另外，薄膜波导理论又是集成光学的基础，很多无源光器件，如光调制器、光耦合器等的工作原理都是建立在薄膜波导理论基础上的。所以在主要介绍光纤传输理论的同时，也对薄膜波导的传输理论作必要的介绍。 2.1.1 光线的传播路径及光线分类均匀薄膜波导的芯层折射率nl、衬底折射率n2、敷层折射率n3都是常数。因而光线

3、在芯层中沿直线传播，在芯层与衬底，芯层与敷层的界面上发生反射和折射，如图2-2所示。如果光线的入射角大于这两个界面上的全反射临界角，则光线在芯层形成内全反射，此时光线被约束在芯层内沿锯齿状路径传播。根据衬底和敷层中是否有折射光线存在，我们将波导内的光线分成两类，即束缚光线和折射光线。如果光线在两个界面上都满足全反射条件，光线完全被约束在芯层内，则称为束缚光线。如果光线在某一个界面上或同时在两个界面上不满足全反射条件，从而导致光线穿过界面进入衬底或敷层，就称为折射光线。显然只有束缚光线才能在波导中沿确定的方向传播。 图2-2 介质薄膜波导界面上光线的反射和折射令光线在芯层和衬底及芯层和敷层分界面

4、上的全反射临界角分别为c12和c13，则有 ，假设衬底折射率n2大于敷层折射率n3，则必有c12c13，这表明，在芯层中光线成为束缚光线的必要条件是光线在界面上的入射角lc12。为了以后讨论方便，我们用光线与波导轴也就是z轴之间的夹角z来表示射线的方向，它与入射角i互为余角，即z = 90-i。全反射临界角的余角用zc表示,则zc=90-c。引进z角之后，光线在界面上发生全反射的条件成为zc13，所以z12z13，于是得到薄膜波导两个界面上同时满足全反射条件，从而光线成为束缚光线的条件成为 0zzc13 （2.1-1）如果忽略介质本身的损耗，则满足条件(2.1-1)式的光线在波导芯层将沿z轴方

5、向以锯齿状的路径无衰减地传播。这种光线又可以称为导波光线，因为用波动理论来看，它就是导行波。如果(2.1-1)式的条件不满足，即光线的倾斜角zzc12，则光线在到达界面时将部分地折射出去，光的能量每经过一次折射都要损失一部分，因而沿z轴方向光线的能量迅速衰减。这种能量的损耗以辐射的形式向芯层外面弥散，所以又称这种部分向外折射的光线为辐射光线。这里又可出现两种情形，即当zc12zzc13 （2.1-2a）时仅出现衬底辐射，即在衬底中有折射光线存在，而在敷层中没有折射光线存在。而当zc13z (2.1-2b)时衬底和敷层中同时都有折射光线存在，或者说同时出现衬底辐射和敷层辐射。 (2.1-1)式和

6、(2.1-2)式的条件可以归纳为 束缚光线： 0zcos-1 (2.1-3) 只存在衬底辐射： cos-1zcos-1 (2.1-4a)同时存在衬底辐射和敷层辐射： cos-1z (2.1-4b)由折射定律可知，光线在传播过程中必有是个常数，脚标i=l，2，3。可以将称为光线不变量，它实际上是光波在z轴方向传播的归一化相位常数，即 =用光线不变量表示，则薄膜波导中存在束缚光线的条件是n2n1 (2.1-5)仅出现衬底辐射的条件是 n3n2 (2.1-6a)同时出现衬底辐射和敷层辐射的条件是 0n3 (2.1-6b)2.1.2 传播时延及时延差光线在芯层中的传播速度v = cn1，c是自由空间的

7、光速度，n1是芯层折射率。由于光线在芯层内沿锯齿状路径传播，如图2-3所示，光线沿z轴方向传播距离z时，走过的实际路径长度为L = zcosz图2-3 薄膜波导中束缚光线的传播路径传播这段距离所需要的时间为t = L / v = n1 z / c cosz定义沿z轴方向传播单位距离的时间为光线的传播时延，用表示，则= t / z = n1 / c cosz (2.1-7)如果在芯层中有两条束缚光线，它们与z轴之间的夹角分别为和，则在z轴方向传播单位距离时，它们走过的路径不一样，因而传播时延也不一样，两条路径传播时延差用表示，则有= (2.1-8)在所有可以存在的束缚光线中，路径最短的一条光线是

8、沿z轴方向直线传播的光线其z0，而路径最长的一条光线则是靠近全反射临界角入射的光线，其倾斜角zcos-1(n2/n1) 。这两条光线传播时延差最大，称为最大时延差，记为max，显然max （2.1-9）由上式可以看到max与芯层折射率和衬底折射率之差n1-n2成正比。而较大的时延差将会导致严重的多径色散，引起光脉冲在传播过程中展宽，所以实际的光波导n1-n2不宜过大。一般的光波导衬底和芯层往往用同一种材料，只是掺有不同浓度的杂质做成，其折射率差很小。定义相对折射率差为1 (2.1-10)引进参量以后，最大时延差即可表示为 max= (2.1-11)(2.1-11)式是一个极为重要的结果。用它可

9、以估算光波导中由于多径传输所导致的光脉冲展宽的大小。(2.1-11)式未考虑其它的色散因素，例如材料色散等。对这种均匀薄膜波导，多径色散是主要的，因而用(2.1-11)式所得到的结果误差不会很大。2.2 芯层折射率渐变的介质薄膜波导中光线的传播均匀介质薄膜波导结构简单，容易分析，其缺点是 图2-4 对称薄膜波导的折射率分布多径色散效应严重。改进的办法是将芯层折射率做成渐变的，波导芯层的中心折射率最大，并单调下降至衬底折射率的值。这种情形下对光线的传播特性的分析将比均匀结构复杂。2.2.1 传播路径及光线分类实际使用的光波导其芯层折射率仅是x的函数，从中心线向两边递减。为简单起见，假设芯层两侧折

10、射率相等，边界面上折射率连续，即折射率分布可以表示为 （2.2-1）我们将这种折射率呈对称分布的结构称为对称薄膜波导，其折射率分布如图2-4所示。在芯层中，光线传播的路径方程可以具体化为 （2.2-2）我们限定光线在芯层沿z轴传播，因而光线的路径是xyz平面内的曲线，曲线上任意一点的矢径及其路程的导数分别为将（2.2-2）式写成分量形式，可以得到 （2.2-3a） （2.2-3b）在xoz平面内ds = dx2 + dz2 1/2，或者dz = d cosz(x)，这里z(x)是传播路径上某点的切线与z轴之间的夹角。由于传播路径一般为曲线，所以z(x)是位置的函数。dx，dz，ds，z(x)之

11、间的关系如图2-5所示。积分式（2.2-2b）可得 （2.2-4） 由此可见，折射率渐变波导中，如果折射率仅是x的函数，则仍然可以引进归一化的z方向相位常数这个光线不变量。也就是说光线传播的z方向归一化相位常数在传播过程中始终保持不变，其值仅由光线的初始状态决定。从（2.2-3）式可以看到，如果光波导的芯层折射率由x = 0处向两边单调下降，则光线与z轴间的夹角会随的增加而减小，也就是说在非均匀介质中，光线 图 2-5 传播路径上的几何关系总是弯向折射率大的一侧。如果芯层中某点满足=0，则此点以外的区域光线不能传播，光线将从此点弯回中心轴一侧，我们称这个点为光线的折返点，其坐标用表示。显然折返

12、点坐标xtp是下面方程的解 (2.2-5)式中 n1 ( 0 )是波导中心轴上( x = 0 )的折射率，z(0) 则是中心轴上光线与z轴间的夹角。若方程（2.2-5）在|x|a范围内有解，则得到束缚光线。若方程（2.2-5）式在 在|x|0区域光线的路径在折射率对称分布，即n ( x ) = n (- x ) 的波导中，束缚光线沿类似于正弦曲线的路径传播，如图2-7所示。路径的准确形状则应从方程（2.2-3a）式解得。 图2-7 束缚光线的传播路径由上面的讨论可知，束缚光线和折射光线的分界线是刚好达到芯层与敷层的分界面的路径，即= a的路径。由（2.2-5）式可以得到这条路径的其起始倾斜角为

13、 （2.2-6）式中n2 = n1( x = a )是衬底及敷层折射率，n1是芯层中心轴上的折射率，即n1 = n1(0)。于是我们可以将束缚光线和折射光线的条件归纳为束缚光线： 0z（0）cos-1 （2.2-7a）折射光线： cos-1z（0） （2.2-7b）如果用光线不变量= n(x)cosz(x)来表示，则为束缚光线： n2n1 （2.2-8a）折射光线： 0n2 （2.2-8b）现在假设光线不变量满足条件n2 n2。纤芯折射率可以是均匀的，也可以是渐变的。纤芯折射率均匀，也就是n1是常数，则在纤芯与包层的分界面上折射率发生突变，包层折射率n2总是常数，这种光纤称为阶跃光纤，或者SI

14、（Step Index）光纤。如果光纤的折射率是渐变的，一般是由中心轴上的最大值n1按某种函数规律下降到包层折射率n2，这种光纤称为梯度光纤，或者 图2-12 阶跃光纤的横截面结构 GI（Graded Index）光纤。本节将分析光线在阶跃光纤中 及折射率分布的传播特点。 为了分析的方便，在以后的讨论中略去光纤的护套层，认为光纤的包层延伸到无限远处。这种假设对光的传播特性没有什么影响，这是因为护套的作用仅仅是保护光纤，使之不易受到机械损伤，几乎与光的传播特性无关。阶跃光纤的横截面结构和折射率分布如图2-12所示。2.3.1传播路径及光线分类图2-13 子午光线的传播路径及其在横截面内的投影由于

15、阶跃光纤纤芯折射率是均匀的，所以光线在纤芯内沿直线传播。当光线到达纤芯与包层界面时，按斯涅尔定律发生反射和折射。在一定的条件下，光线在界面上发生全反射，则在纤芯内形成沿折线路径传播的束缚光线。与前一节所讨论的薄膜波导不同，光纤中的光线由于入射方向的差异，必须区分两种情形。一种是传播路径与光纤轴线相交的光线，称为子午光线。子午光线的路径是平面折线，在光纤横截面内的投影是长度为2a的线段，也就是光纤纤芯的某一条直径。子午光线的路径及在横截面内的投影如图2-13所示。另一类光线其传播路径不与光纤轴相交，称为偏斜光线。偏斜光线的路径是空间折线，在光纤横截面内的投影是内切于一个圆的多边形(可以是不封闭的

16、)。偏斜光线的传播路径及其在横截面内的投影如图2-14所示。偏斜光线在传播过程中总与一个圆柱面相切，这个圆柱面称为偏斜光线的内焦散面(Inner Caustic)。内焦散面的半径如果用表示，则有0a，而子午光线就是内焦散面半径趋于零的特例。 图2-14 偏斜光线的传播路径及其在横截面内的投影 为了准确描述光纤内光线的方向，我们引进图2-15所示的坐标系。图中P点为光线在纤芯与包层界面上的入射点，PN为该点法线，也就是过P点的圆柱面的一条半径，PQ是圆柱面的一条母线，它与光纤轴线平行，TP是过P点的光纤纤芯横截面外圆的切线。人射光线与PN间的夹角即为光线在P点的入射角，反射光线与PN间的夹角显然

17、也为，一般说来入射光线、反射光线与PN不共面。反射光线与PQ间的夹角用z表示，反射光线在横截面内 图2-15 考虑光纤中光线传播的坐标的投影PR与切线TP的夹角记为。由图中的几何关系，易于得到 （2.3-1）光线的内焦散面半径则为 = （2.3-2）由上式可以看到，由光线的偏斜角完全确定。当=时，=0，这就是子午光线了。按光 线偏斜角的值则有子午光线： 偏斜光线：0 （2.3-3）光线在界面上发生全反射的临界入射角记为，则有 如果入射角c时应区分子午光线和偏斜光线两种情形。对子午光线，当c 时将发生全反射，形成束缚光线。对偏斜光线，从光线的路径方程可以得到，仅当 时光线才成为束缚光线。当 ，时

18、，光线是介于束缚光线和折射光线之间的第三类光线，称为漏泄光线。显然，子午光线不会成为漏泄光线，薄膜波导中也没有这种光线。为了进一步描述上述三类光线的形成条件，我们考查图2-16。在入射点P，作过P点的圆柱面的法线PN ，并以PN为轴，作以P为顶点，c为半锥角的圆锥，则在此锥范围以内入射的光线，其入射角c，是折射光线。再作以P为顶点，以过 P点的圆柱母线为轴，为半锥角的半圆锥，显然，从此锥以内入射的光线必然满足，从而成为束缚光线，从这两个 图2-16 三类光线的形成条件锥体之外的区域入射的光线则形成漏泄光线。 归纳起来，阶跃光线中的三类光线的入射方向应满足束缚光线： （2.3-4a） 折射光线：

19、 （2.3-4b）漏泄光线： ， （2.3-4c） 与薄膜波导类似，由于光线在传播过程中其方位角与保持不变，因而可以引进光线的两个不变量和L，其定义为： （2.3-5a） (2.3-5b)而且和l间满足关系 （2.3-5c） 如果l = 0,即为子午光线。引进不变量和l以后，易于证明（2.3-4）式可以等价为： 束缚光线：n2 （2.3-6a） 折射光线：02 L2 (2.3-6b)漏泄光线：n222+ L22和02 n2 (2.3-6c) 2.3.2 数值孔径、传播时延与时延差如前所述，无论是子午光线，还是偏斜光线，仅当时，光线才能成为束缚光线并沿光纤轴方向无衰减传播，而光线的起始倾斜角则由

20、光纤端面上光线的入射方向决定。我们以子午光线为例来看看从端面入射的光线被光纤捕获并成为束缚光线的入射条件。假设光线从空气中以入射角投射到光纤端面上，如图2-17所示。光线进入光纤以后，其传 图2-17 光纤端面上光线的入射与折射播路径与z轴之间的夹角为，根据斯涅尔定律应有 n1是纤芯折射率，n0是光纤端面外介质的折射率，如果端面之外是空气，则n0=1。入射光线成为束缚光线的条件是也就是 于是得到 对于空气， 。从上式可以得到一个重要结果，即从空气中入射到光纤纤芯端面上的光线被光纤捕获并成为束缚光线的最大入射角，必须满足条件sin （2.3-7a）式中是光纤纤芯和包层之间的相对折射率差。定义上述

21、光线成为束缚光线的最大入射角的正弦即为光纤的数值孔径（Numberical Aperture），记为NA，即NA （2.3-7b）数值孔径NA是光纤的一个极为重要的参数，它反映光纤捕捉光线能力的大小。NA越大，光纤捕捉光线的能力就越强，光纤与光源之间的耦合效率就越高。从这个意义上讲，光纤的相对折射率差应取得大一些，但过大会使光纤的多径色散严重。实际的光纤总有，多模光纤的数值孔径一般在0.2左右，单模光纤的数值孔径更小，在0.1左右。2.3.3 传播时延和时延差图2-13中光线的传播路径与包层和纤芯界面的两个相邻交点P、Q间的距离设为Lp，由几何关系可得 设其光程为L0，则有 （2.3-8）P、

22、Q两点之间的路径在光纤轴上的投影的长度为zP，则 （2.3-9）光线沿z轴方向传播单位距离的传播时延则为 （2.3-10） 由（2.3-10）可以得到一个重要结论，阶跃光纤中光线的传播时延仅与光线与z轴间的夹角有关，而与偏斜角无关。在相同的条件下，从始端同时出发的子午光线与偏斜光线同时到达终端。因而在讨论阶跃光纤中的多径色散时仅需讨论子午光线。光纤中的子午光线与薄膜波导中的光线其传播特性是相同的。在z轴方向传播单位距离，具有不同倾斜角的束缚光线的最大时延差为 （2.3-11）3.4 梯度光纤中光线的传播阶跃光纤结构简单，容易分析，其缺点是存在严重的多径色散效应。为了减小多径色散，可以将光纤纤芯

23、折射率做成渐变的。一般是让纤芯折射率从中心轴到与包层的分界面单调下降，而且折射率是呈轴对称分布的。这样的光纤就称为梯度光纤(GI光纤)。梯度光纤的折射率分布可以写成 （2.4-1）（3.4-1）式所描述的折射率分布如图2-18所示。本节将详细讨论梯度光纤中光线的传播问题。3.4.1 路径方程和光线不变量在以光纤轴为z轴的圆柱坐标系中，光线的路径方程（2.4-9）式可以写成三个标量方程： （2.4-2a） （2.4-2b） （2.4-2c） 图2-18 梯度光纤的折射率分布 在梯度光纤中，光线在纤芯中传播的路径一般是曲线，由图2-15所定义的入射角、以及、都是r的函数。这些角度之间的光系以及它们

24、与坐标变量r，z对路径s的导数之间的关系分别为 （2.4-3a） （2.4-3b） （2.4-3c） （2.4-3d）积分(2.4-1c)式，得到光线传播过程中的一个不变量 （2.4-4）这个不变量实际上是光纤沿z轴方向几何结构及折射率分布的不变性的反映。将(2.4-2b)式两边同乘以r2，得到上式等价于积分上式可以得到光线在传播过程中的第二个不变量l，即 （2.4-5）这个不变量实际上是光纤几何结构及折射率分布的轴对称性的反映。上一节引入的阶跃光纤中光线传播的两个不变量，仅是（2.4-4）式和（2.4-5）式中引进的的不变量、为常数以及n (r) = n1，r = a时的特例。从（2.4-4

25、）式和（2.4-5）中消去，可以得到偏斜角与折射率分布的关系 （2.4-6）当l = 0，光线与z轴相交，则成为子午光线。如果，l0,则光线成为偏斜光线。2.4.2光线路径及光线分类由于纤芯折射率从中心轴到与包层的分界面呈轴对称的单调下降分布，所以子午光线和偏斜光线的路径都是周期性的曲线。如果光线的传播路径限制于纤芯内，则其路径的形状如图2-19所示。子午光线是光纤纤芯纵剖面内的平面曲线，它在横截面内的投影是长度为2的线段，是光线外焦散面的半径。偏斜光线的路径是螺旋状的空间曲线，它交替地与和的圆柱面相切。为折返点焦散面(或外焦散面)半径，为内焦散面半径。此空间曲线在横截面内的投影是一个类似于椭

26、圆(也可能不封闭)的曲线。由于折射率渐变，光线路径还未到达分界面时就会折返，因而折返点到中心轴的距离，也就是外焦散面半径。由于光线路径与内、外焦散面相切，在切点上必有偏斜角，由此可以从（2.4-6）式得到内、外角散面的半径ric、rtp必是方程 （2.4-7）的解。ric、rtp在光纤的折射率分布n2 (r)确定以后，由光线的初始条件和l2决定。如果l = 0，则（2.4-7）式只有一个有意义的解，而ric = 0，这就是子午光线。当l0时，（2.4-7）有两个正实数解，大的一个就是rtp，小的一个就是ric。在路径方程（2.4-2 a）式中以dz代替ds，即，并将（2.4-3d）式中的关系代

27、入，可以推得令，则，代入上式，得到积分上式，并注意到r = rtp时，于是得到 图2-19 梯度光纤中光线的路径即在横截面内的投影 (2.4-8)引进函数: (2.4-9)则从上两式可以看出，仅当函数为非负值时光线的路径方能存在，这是一个判定光线类型的判据。将不同的值时的函数画出曲线得到如图2-20所示的四种情形。除了l = 0，即子午线以外，由于（2.4-9）式右边的第三项与1 / r2成比例，所以r0时总有g( r ) 0因而对l0，即偏斜光线，在r0时，光线路径不可能存在，即它不能与光纤轴相交。对l = 0的情形，在r = 0时而且函数在光线轴上取最大值，因而路径总与 图2-20 梯度光

28、纤中的四种情形光纤轴相交。下面对图2-20中的情况分别予以讨论。 1. 如果在ra时总有，这就是偏斜束缚光线。这里面又有两种情形，对于图2-20（a）中所示的情形仅在0 ric rtp r a范围内的值为正，其余范围都有g( r ) a 时g ( r )单调下降，当r = rp时g( r ) =0，r rp时g ( r ) 0这就是子午束缚光线。无论是子午光线，还是偏斜光线，在r a时 g ( r ) 0，这说明包层中存在光线路径，即光线可以从纤芯和包层的界面上折射进入包层，这就是折射光线。对于l0的情形，由于方程（2.4-7）式只有一个根，即ric a区域，也就是包层中还有一个根，记为r=r

29、rad ，当rrrad 时，也有g(r) 0。这说明在包层中，当rrrad 时也有光线路径存在，我们称这种光线为泄漏光线。而r=rrad的圆柱面则称为辐射焦散面。从2.4-7）式可以解得 (2.4-13)(2.4-12)式保证了rrada，rtprrrad时， g(r) 0，此范围中不存在光线的路径，也就是说在这个区域中，光线不能传播。这种现象可以解释为，在纤芯中传播的光线有少量能量通过所谓“隧道”机理漏泄到包层中，然后在 rrrad区域形成辐射损耗。束缚光线和折射光线则可以分别看成是rrad和rrad=a时漏泄光线的特例。这种现象与量子力学中的隧道效应类似，所以又称这种光线为隧道光线。2.4

30、.3 本地数值孔径与阶跃光纤类似，仍然以子午光线来定义梯度光纤的数值孔径。即仍将从端面入射进入纤芯并成为束缚光线的最大入射角的正弦定义为数值孔径NA，即与阶跃光纤不同的是，梯度光纤纤芯折射率是渐变的，因而从端面上不同位置入射的光线其是不一样的，因而有必要定义本地数值孔径。 光线如果以入射到端面，则在纤芯内形成的光线的折反点焦散面为纤芯与包层的分界面，即rtp = a。如果入射角，则光线将进入包层成为折射光线。在传播过程中是个常数，在折返点上，以角入射的光线，在折返点上必有。因而从处入射的光线能成为束缚光线的最大入射角影满足式中是光线从端面上处以角入射时，光线在纤芯内的折射角。由斯涅尔定律可得如

31、果光纤端面外为空气，即，则光纤处的数值孔径为去掉脚标，则一般表示式为 （2.4-14） 这个表达式在形式上与阶跃光纤的数值孔径（2.3-7）相同，但由于梯度光纤纤芯内折射率是函数，所以数值孔径也是的函数。由(2.3-14)式定义的数值孔径称为本地数值孔径。本地数值孔径的值从光纤轴上的最大值单调减小到纤芯与包层的界面上的零。由于光纤本地数值孔径随变化，从光源入射来的光线在端面上不同入射点上纤芯的捕捉能力不同，因而光纤横截面内功率分布是不均匀的。假设从光源发出的光在不同方向上的光线携带相同的功率(点光源发出的光即具有这种特性)，在这种情形下，光纤端面所能收集到的光功率与与它的数值孔径的平方成正比。设纤芯轴线处单位面积上通过的光功率为P(0