研究性学习中间结论在解析几何中的应用

1、中间结论在圆锥曲线解题中的应用一抛物线1.抛物线y2=2px(p>0)的焦点弦（过焦点的弦）为AB，A（x1,y1）、B(x2,y2)，则有如下结论：（1）x1+x2+p； （2）y1y2=p2，x1x2=；（3）；（4）以AB为直径的圆与准线相切；（5）以AF（或BF）为直径的圆与轴相切；（6）若的倾斜角为，则；2.抛物线y2=2px(p>0)内接直角三角形OAB（OAOB）的性质：（1）； （2）恒过定点；3.抛物线的参数方程：，则（为参数）.1.【2012重庆理14】过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，若则= . 【答案】设AF=m,BF=n, 则有 解得或(舍)【解析】抛物

2、线的焦点坐标为，准线方程为，设A,B的坐标分别为的，则，设，则，所以有，解得或，所以.2.【2012安徽文14】过抛物线的焦点的直线交该抛物线于两点，若，则=_。【答案】【解析】设及；则点到准线的距离为，得： 又。方法一:在用统一的极坐标方程方法二：小题大做，求得A点坐标得直线AF的方程，从而求坐标而得之；方法三：用中间结论，其中m,n是焦点弦被焦点所分得的两线段长，p就是焦准距。3. (2014新课标II理).设F为抛物线C:的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A,B两点，O为坐标原点，则OAB的面积为（ ）A. B. C. D. 法二：利用【答案】 D4.(13课标二卷理11

3、) 设抛物线C：y2 =2px ( p> 0)的焦点为F，点M在C上，| MF |=5，若以MF为直径的圆过点(0, 2)，则C的方程为（A）y2 = 4x或y2 = 8x（B）y2 = 2x或y2 = 8x（C）y2 = 4x或y2 = 16x（D）y2 = 2x或y2 = 16x答案：C 【解】设M(x0, y0)，由| MF |=5 x0 + = 5 x0 = 5 - 圆心N(+ , )到y轴的距离| NK | = + = | MF |，则圆N与y轴相切，切点即为K(0, 2)，且NK与y轴垂直 y0 = 42p(5 - ) = 16 p = 2或8 .二、焦三角形面积公式椭圆 (

4、ab0)的左右焦点分别为F1，F 2，点P为椭圆上任意一点，则椭圆的焦点三角形的面积为(1) .设P点是双曲线（a0,b0）上异于实轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记，则.练习题：1.（2010全国卷1文数）（8）已知、为双曲线C:的左、右焦点，点P在C上，=，则 （ B ） (A)2 (B)4 (C) 6 (D) 8【解析2】由焦点三角形面积公式得：4【命题意图】本小题主要考查双曲线定义、几何性质、余弦定理，考查转化的数学思想，通过本题可以有效地考查考生的综合运用能力及运算能力.【解析1】.由余弦定理得cosP=4【解析2】由焦点三角形面积公式得：4法三：2.(2009年上海理9)已知、是

5、椭圆（0）的两个焦点，为椭圆上一点，且.若的面积为9，则=_. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 【答案】3【解析】依题意，有，可得4c2364a2，即a2c29，故有b3。方法二:利用中间结论口算.3、（09京文13）椭圆的焦点为，点P在椭圆上，若，则 ；的大小为 . 第二问：徐晨然的方法：用的中间结论要优于余弦定理 ,2，代入求解非常方便，这是自己所没有想到的！第二问宋子霖 30°三通径椭圆 (ab0) 与双曲线（a0,b0）的通径都是, 抛物线的为2p1. 2011全国新课标理7设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于 A,B两点，为C的实轴长的2

6、倍，则C的离心率为( )A B C2 D3B【解析】 设双曲线方程为1(a>0，b>0)，直线过右焦点F，且垂直于x轴交双曲线于A，B两点，则4a，所以b22a2，所以双曲线的离心率e.2.【2012重庆文14】设为直线与双曲线 左支的交点，是左焦点，垂直于轴，则双曲线的离心率 【解析】由得，又垂直于轴，所以，即离心率为。四、中点弦弦的斜率: 椭圆与双曲线相反数的关系， 抛物线是p/y01.（2010年全国理12）已知双曲线的中心为原点，F（3，0）是的焦点，过F的直线与相交于A，B两点，且AB的中点为,则的方程式为( )(A) (B) (C) (D) B 解析：由已知条件易得直线

7、的斜率为，设双曲线方程为，则有，两式相减并结合得，从而，即，又，解得，故选B直接用中间结论就可。2.(2013年新课标卷理10) 已知椭圆1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭圆于A、B两点。若AB的中点坐标为(1，1)，则E的方程为 ()A、1B、1C、1D、1【命题意图】本题主要考查椭圆中点弦的问题，是中档题.【解析】设，则=2，=2， 得，=，又=，=，又9=，解得=9，=18，椭圆方程为，故选D.3.（2010山东文数）（9）已知抛物线，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线与、两点，若线段的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为 答案：B （A） (B) (

8、C) (D)K=,是弦中点的纵标，于是有K=1，p=2，故准线方程为x= - 14.（2009年海南理13）设已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F(1，0)，直线l与抛物线C相交于A，B两点。若AB的中点为（2，2），则直线的方程为_.答案：y=x解析：抛物线的方程为 ， 法二：用上结论K=1，点斜式即刻可得方程抛物线焦点弦长公式：|AB|= 曾经把这个公式分母中的平方给丢失了5.(2009年福建理13)过抛物线的焦点F作倾斜角为的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的长为8，则_.w.w.k.s.5.u.c.o.m 【答案】：2解析：由题意可知过焦点的直线方程为，联立有，又。=3p+p=4

9、p=8, p=26.(11年12月赤峰一模理9)已知双曲线中心在原点，且焦点在x轴上，直线y=x-1与其相交于M,N两点，MN中点的横坐标为，则此双曲线的离心率为（ B ）A. B. C. D. 2先计算出中点坐标，利用中点弦的斜率公式KMN=1，得=4代入离心率公式得e=7 .中心在原点，焦点在坐标为(0，±5)的椭圆被直线3xy2=0截得的弦的中点的横坐标为，则椭圆方程为( C ) 解析：由题意，可设椭圆方程为： =1,且a2=50+b2,即方程为=1.将直线3xy2=0代入，整理成关于x的二次方程.由x1+x2=1可求得b2=25,a2=75.答案：C法二：用中点弦斜率公式得=

10、3，可求b2=25,a2=75.法三：确定出焦点的位置在y轴上，另外,排除法即可得到答案选择C。8.已知直线l交椭圆于M,N两点，椭圆与y轴的负半轴交于B点，若BMN的重心恰好落在椭圆的右焦点上，则直线l的方程是（ ）A. B. C. D.分析：右焦点F（2，0）， B（0，-4），则由重心坐标公式有设MN的中点为E则，故E（3,2）,利用中点弦的斜率公式可得，立即可得答案B五双曲线的焦点到渐近线的距离为b.1.【2012 福建理8】已知双曲线的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于( )A. B. C.3 D.5【解析】由抛物线方程易知其焦点坐标为，又根据

11、双曲线的几何性质可知，所以，从而可得渐进线方程为，即，所以，故选2. （2013年福建理）双曲线的顶点到其渐近线的距离等于（）ABCD【答案】C 3.(2014新课标I理)已知是双曲线：的一个焦点，则点到的一条渐近线的距离为( ) . .3 . .【解析】：由：，得，设，一条渐近线，即，则点到的一条渐近线的距离=，选A. .焦点位置中点弦焦点三角形面积椭圆X轴Y双曲线xy抛物线X轴正负Y轴正负六。关于原点对称两点：1. 椭圆上A,B两点关于原点对称，P为A，B外的任意一点，则直线AP、BP的斜率与满足2.双曲线（a0,b0）上A,B两点关于原点对称，P为A，B外的任意一点，则直线AP、BP的斜

12、率与满足证明类椭圆 类点差法（设而不求）例题若用此结论则秒答，答案：A一.圆、椭圆、双曲线的切线或切点弦的直线方程例1.2011·江西理14 若椭圆1的焦点在x轴上，过点作圆x2y21的切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是_1【解析】 由题可知过点与圆x2y21的圆心的直线方程为yx，由垂径定理可得kAB2.显然过点的一条切线为直线x1，此时切点记为A(1,0)，即为椭圆的右焦点，故c1.由点斜式可得，直线AB的方程为y2(x1)，即AB：2xy20.令x0得上顶点为(0,2)，b2，a2b2c25，故得所求椭圆方程为1. 例2已知椭圆为圆心，以

13、为半径作圆F1，过点B2（0，b）作圆F1的两条切线，设切点M、N.（1）若过两个切点M、N的直线恰好经过点B1（0，b）时，求此椭圆的离心率；解：（1）圆F1的方程是，因为B2M、B2N与该圆切于M、N点，所以B2、M、F1、N四点共圆，且B2F1为直径，则过此四点的圆的方程是，从而两个圆的公共弦MN的方程为，解答题中如此处理的，又点B1在MN上，（负值舍去）；这让自己想起了大纲版“圆”一章的教材里有一道例题：设P（）是圆上的一点，则过P点所做圆的切线的方程是.这一结论的证明如下：设K为切线上的任意一点，坐标为（x,y）则=(），=,=0 ,即=0 ，展开整理得=引申：如果P是圆外的一点，则方程表示的是过两切点弦AB所在的直线方程。本道题