第一章函数、极限、连续

1、第一章 函数 极限 连续1.1 数列极限的求法一 基本概念 数列极限、数列收敛、数列发散1. 数列极限：描述语言：当充分大时，数列一般项无限趋于（无限接近，充分接近）某个确定的常数，则称就是数列的极限“”语言：，当时，有二 基本结论1. 收敛数列性质：唯一性；有界性；保号性；子序列的收敛性2. 单调有界原理：单调有界数列必有极限；或叙述为：单调增加有上界必有极限，单调减少有下界必有极限3. 夹逼法则：若，且，则4. 数列极限运算法则：设，那么（1）；（2）；（3）（4）5. 两个重要极限：；这两个极限公式可以推广为：当时，则；三 基本方法数列极限的未定式（不确定型）有八种形式：；无限个无穷小的

2、和1. 取大原则 （极限的形式是，分子和分母同除以的最大次幂）例1 求下列极限：（1）； （2）； 2. 有理化法（当分子或分母含有根式时，的最大次幂有抵消，一般要考虑分子有理化或分母有理化，或分子、分母同时有理化，通过有理化，明确抵消后剩余部分）例2 求下列极限： （1）； （2）. 3. 夹逼法则 （当数列的一般项不是关于代数式或为无限个无穷小的和）例3 求解 解此题的关键是将积分表示为关于的代数式，显然没办法直接积分，只能通过对被积函数的放缩，达到可积的目的，所以例4 求（说明将分子变成的结果）解 无限个无穷小的和是数列极限的未定式的一种常见的形式，解决此类问题常见方法有：夹逼法则；定积

3、分；Stolz定理本题应用夹逼法则：由于，于是4. 单调有界原理（数列一般项不是关于的代数式，而是有规律的给出一般项；或是一般项的递推公式） 解决此类问题的具体方法：1. 证明单调；2. 证明有界；3. 通过递推公式求极限 例5 若数列满足，证明数列极限存在，并求之 证明 单调性：因为，所以 或 于是，数列单调递减有下界：显然有下界 根据单调有界原理：极限存在令，对递推公式两边取极限，有，解方程得，即.例6 证明数列收敛，并求其极限证明 令，则，用数学归纳法可以证明：数列单调增加，有上界。证明单调增加：显然，假设，则，即，所以数列单调增加证明有上界：，假设，显然，故对所有的，有。所以数列有上界

4、，根据单调有界原理，数列收敛 设，对两端取极限，则有，解得注 关于数列的界，可用观察和归纳的方法得到，然后给予证明如果没有更简便的方法证明有界性，可以使用数学归纳法5. 验证法 （给出数列递推公式，而此数列并非是单调的）具体方法：假设极限存在，根据递推公式求出极限，并给予证明证明是必要的例7 设，求解 令，对递推公式两边取极限，得下面证明就是数列的极限 ，所以，故 注1 验证是必须的！例如，求事实上，该数列的极限并不存在，但是若令，则可以求出所以说证明是必须的注2 事实上，例5和例6也可以用验证法，请同学们给出证明。要说明的是：证明，只需证明。证明，应用夹逼法则，即（）6. 公式法 （若极限的

5、未定式是型，最好利用极限公式）例8 求解 因为7. 转换法 （将数列极限转换成函数极限，具体的说：令，则或令则，这是求数列极限的一个重要方法例9 设，试求解 极限为不定式，于是利用极限公式而所以注 一般的，如果极限形式是的形式，套用极限公式，其余的工作就是求指数部分的极限了 8. 定积分法 如果极限的形式表现为表现为无穷项的和或积的形式或和的形式（积或的形式可以利用恒等变换公式：将积的形式化成和的形式）定积分法原理：.应用定积分方法的具体步骤：1. 将无穷项的和或积的形式表示成的形式；2. 制作（每项提取）；3. 将里面表示成关于的函数式； 4. 将换成，此时里面的式子就是被积函数于是极限就是

6、在上的定积分 例10 计算 解 注：此题不能应用夹逼法则例11 解 首先将积的形式变成和的形式9. 相减法（Stolz定理）如果极限表示为分式的形式，分子或分母表示为无穷项的和，需要考虑相减法这样可以使无穷项变成有限项 Stolz定理：如果满足，存在，则有例12 求解 例13 求极限解 10. 相除法如果极限的形式表示为次方根的形式，则我们需要考虑相除法基本原理：若 ，则例14 求 解 练习1.11用取大原则求下列极限：（1）；（2）；（3）2用有理化法求下列极限：（1）；（2）；（3）.3用夹逼法则求下列极限：（1）；（2）；（3）4用Stole引理求下列极限：（1）；（2）；（3）；（4）

7、5用相除法求下列极限：（1）； （2）6用转化法求下列极限：（1）；（2）；（令，当时，）7用定积分法求下列极限（1）；（2）；（3）设在连续，求。（4）（5）8用公式法求下列极限：（1）； （2）；（3）； （4） 9. 设，试证数列极限存在，并求此极限（分别用单调有界原理和验证法解此题）1.2 函数极限的求法一 基本概念 函数极限；左极限、右极限（单侧极限）；无穷小；无穷大；1. 函数极限：；描述语言：当趋于时，无限趋近（接近）于某个常数“”语言：，对任意的，有2. 左极限（右极限）：或（或）描述语言：当从左（右）侧趋于时，无限趋近于某个常数“”语言：，对任意的（），有3. 无穷小和无穷大

8、：若，则称在过程中，是无穷小量；若，则称在过程中，是无穷大量；注1 极限的存在与否以及极限的大小和函数在该点的情况（是否有定义和函数值大小）无关；注2 无穷小是一个变量，但0是无穷小于是若是无穷小量，未必是无穷大量。二 基本结论1. 函数极限性质：唯一性；局部有界性；局部保号性2. 函数极限存在充要条件：左右极限都存在且相等（主要用于分段函数）3. 夹逼法则：若，且，则4. 数列极限运算法则：设，那么（1）；（2）；（3）（）；（4）；（5）是有界量；，则；（6）替换原理：设，则注 等价无穷小的替换必须是商或积的形式（7）罗比达法则：若和同时趋于0或无穷，存在，则5. 两个重要极限：当时，则；

9、三 基本思想函数极限有七种的未定式（不确定型）：；对计算各种极限的常规方法： 1. 对于和型的极限，运用罗比达法则（或有理化）2. 对于型的极限可以转化为或型；再运用罗比达法则3. 对于型可以通过通分、有理化、倒变换，化成或形式，运用罗比达法则4. 对于，最好利用极限公式, 即；然后求指数部分的极限；5. 对于，利用恒等变形公式， 然后求指数部分的极限 求极限的基本原则：替换、先算、性质（1）充分运用等价无穷小替换（能替换则替换）常用的等价无穷小公式：当时1. ；2. ；3. （）；4. ；5. 关于公式几点要说明的是：（I）若，则上述公式的可以换成例如（II）等价替换部分和其余部分一定是积或

10、商的形式：例如 是不能将和分别替换为，因为和和其余部分不是积或商的形式（2）计算非零的极限（能先算则先算）例如 （3）和、差、积和商的极限等于极限的和、差、积和商四 基本方法（1）有理化：含有根式时，考虑分子或分母有理化；（2）罗比达法则：当极限型是或时，运用罗比达法则后有更简单的极限形式，考虑罗比达法则；（3）极限公式：两个重要公式和等价无穷小的替换公式；（4）夹逼法则：当极限型不是很明确时，考虑放缩，应用夹逼法则；（5）泰勒公式：当无法用罗比达法则（应用后比原来还复杂），也无法有理化，考虑泰勒公式展开例1 计算下列极限（1）； （2）；（3）； （4）例2 计算 解 （方法1）分子和分母有

11、理化（方法2）化1法：（此方法避免有理化的麻烦)例3 计算 解 分子有理化，分母等价无穷小替换，得到例4 计算 解 利用无穷小的等价替换和极限的性质.例5 计算解 未定式，做恒等变换例6计算 解 未定式型，利用两个重要极限公式，有例7 计算解 未定式型，想办法转化为或型作倒变换.例8 计算 解 化1法：。练习1.2计算下列各式的极限：（1）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）；（7） ； （8）；（9） ； （10）；（11） ；（12）（表示的最大整数部分，提示：夹逼法则） 1.3函数的连续性 一 基本概念：连续，左连续，右连续，连续点，间断点，间断点分类1. 连续：这点的极限等于

12、这点的函数值，即，连续点； 2. 左连续：这点的左极限等于这点的函数值，即，左连续点； 3. 右连续：这点的右极限等于这点的函数值，即，右连续点；4. 不连续点叫做间断点二 基本结论1 函数在一点连续的充要条件：左右极限都存在且相等，即2 一切初等函数在定义区间内都是连续的定义区间：定义域内的区间3 连续函数性质：函数和在点，则它们的和、差、积、商（分母函数值不为零）和复合函数在点都连续4 闭区间连续函数性质：有界性，最值性，介值性，零点定理 三 基本方法讨论函数连续性以及求间断点的基本方法：讨论函数的连续性的一般要求是：（1）指出连续区间；（2）求出间断点，并指出类型（分类） 求间断点具体方

13、法：1. 无定义点一定是间断点，是哪类间断点需要通过求极限或左右极限来确定2. 分段函数的分段点可能是间断点分段点是否为间断点，以及是哪类间断点，同样需要通过求极限或左右极限来确定例1（教材75页10题）设，求的间断点，并说明间断点所属类型 解 一个分段点和一个无定义的点由于；所以在的左右极限都存在但不等，是跳跃间断点是无穷间断点。例2 讨论函数的连续性，若有间断点，判断其类型解 求函数的解析式所以分段点为和显然，；，于是在区间上连续，在和都是跳跃间断点 例3 求函数的间断点，并指出类型解 无定义点：当时，由得到当时，得到，解得所以函数在是无定义点，当然是间断点分段函数的分段点：0是分段点当时

14、，即是无穷间断点；当时，是可去间断点；当时，不存在，震荡间断点；当时，所以是跳跃间断点练习1.31. 讨论函数的连续性2. 讨论函数的连续性 3. 讨论函数的连续性4. 讨论函数的连续性5. 求函数的间断点，并指出间断点的类型1.4 关于极限、连续的常见题型题型1 变限积分函数的极限基本原理：设在上连续，则变上限积分的函数在可导，并且推论：设连续，与可导，则变限积分函数可导，且注 在求导时，变限积分函数的被积函数不能含有变量，如果含有变量可以通过下面几种变换方法：1. 提取：（两个函数的积）；2. 拆项：；3. 换元： 例1 求下列变限积分函数的导数（为连续函数）（1）； （2）；（3）； （

15、4）例2 求极限解 应用罗比达法则，例3 求极限解 注 变化的目的就是去掉积分号，变成初等函数，所以将放到分母上题型2 极限中未知常数的确定基本思想：建立等式（含有未知常数的方程或方程组）具体方法：1. 如果极限表示为分式的形式，即，则有若，则从而建立一个等式；如还需建立等式，可以将一个常数代入等式中，确定另外一个常数；或用罗比达法则，出现新的极限等式，即有，再利用这个思想方法2. 如果极限表示为积的形式，即，则若，则 从而建立一个等式3 如果给出其他条件，如连续，利用这些条件仍可建立等式：左右极限相等都等于函数值例4 已知，求常数的值解 将极限变形，有当时，则有于是有，所以例5 若，求值解 因为，当时，分子的极限为0，分母的极限为，即从而有所以，解得例6 设是连续函数，求的