线性系统理论复习大纲

1、Chapter 2 Mathematical Descriptions of Systems定义2.1 一个系统在时刻的状态是一组信息的组合，它和系统的输入一起可唯一确定系统的输出系统数学描述小结系统类型 内部描述 外部描述分布、线性 集中、线性 分布、线性、定常 集中、线性、定常 Chapter 4 State-space Solutions and Realizations线性定常系统状态方程的解 连续状态方程按采样时间T离散化定义4.1 设P为非奇异实矩阵，任等价变换，那么方程与原方程代数等价。（其中，）定理 4.1 两个线性定常系统状态方程为零状态态等价（具有相同的传递矩阵）的充分必要

2、条件定义4.2 设是的任一基本矩阵，那么称该方程的状态转移矩阵，它同时也是方程关于初始条件的唯一解。线性时变系统状态方程的解 其中定理4.3传递矩阵可实现的充分必要条件是该矩阵是正则有理矩阵。时变系统等价状态方程 考虑时变系统状态方程 ，引入时变矩阵，令，那么方程与原方程代数等价，且，该等价变换过程为定理4.3存在一个等价变换使，其中是任一常矩阵（只需令即可）。 若需为零阵，则应选择，此时方程简化为定义4.3 在上述等价变换中，若满足非奇异、连续的条件，且和有界，那么该变换是李雅普诺夫等价变换。定理 4.4 若线性时变系统状态方程中，定理 4.5 一个脉冲响应矩阵可实现的充分必要条件是能够分解

3、成 其中，M，N和D分别为矩阵，该脉冲响应矩阵的维实现是Chapter 5 Stability单变量系统BIBO稳定性：定理5.1 一个SISO系统是BIBO稳定的充要条件是绝对可积： （其中M为常数）定理5.2 如果一个脉冲响应函数为的系统是BIBO稳定的，那么当时： 1. 由激励的稳态响应为。 2. 由激励的稳态响应为定理5.3 若一个SISO系统的传递函数为正则有理函数，该系统是BIBO稳定的充要条件是的每个极点都具有负实部。定理5.D1 一个SISO离散时间系统是BIBO稳定的充要条件是绝对可加： （其中M为常数）定理5.D2 如果一个脉冲响应函数为的离散时间系统是BIBO稳定的，那么

4、当时： 1. 由激励的稳态响应为。 2. 由激励的稳态响应为定理5.3 若一个离散SISO系统的传递函数为正则有理函数，该系统是BIBO稳定的充要条件是的每个极点都具有小于1的模。多变量系统BIBO稳定性：定理5.M1若一个多变量系统的脉冲响应矩阵为，该系统是BIBO稳定的充要条件是每一个绝对可积：定理5.M3 若一个多变量系统的传递矩阵为正则有理函数，该系统是BIBO稳定的充要条件是每一个的每个极点都具有负实部。定理5.MD1若一个多变量离散时间系统的脉冲响应序列矩阵为，该系统是BIBO稳定的充要条件是每一个绝对可积。 定理5.M3 若一个多变量离散时系统的传递矩阵为正则有理函数，该系统是B

5、IBO稳定的充要条件是每一个的每个极点都具有小于1的模。内部稳定性：定义5.1 一个线性系统的零输入响应称为限界稳定或李雅普诺夫意义下的稳定是指每一个有限状态初态所引起的响应是有界的。该系统称为渐近稳定是指每一个有限状态初态所引起的响应是有界且当时趋于零。定理 5.4 （1）方程限界稳定的充要条件是A的所有特征值具有零实部或负实部，并且零实部的特征值是最小多项式的单根。 （2）方程渐近稳定的充要条件是A的所有特征值具有实部。定理 5.D4 （1）方程限界稳定的充要条件是A的所有特征值的模小于或等于1，并且模为1的特征值是最小多项式的单根。 （2）方程渐近稳定的充要条件是A的所有特征值具有小于1

6、的模。定理 5.5 A的所有特征值均有负实部的充要条件是：给定任意正定对称阵N，李雅普诺夫方程 具有唯一的解M，且M为正定、对称阵。推论 5.5 一个维矩阵A的所有特征值均有负实部的充要条件是：给定任一矩阵，其中是扁矩阵，并有，即列满秩，则方程具有唯一的解M，且M为正定、对称阵。定理 5.6 若A的所有特征值均有负实部，则方程对任意N均有唯一解定理 5.D5 A的所有特征值的模均小于1的充要条件是给定任意正定对称阵N，方程 具有唯一的解M，且M为正定、对称阵。定理 5.D6 若A的所有特征值的模均小于1，则方程对任意N均有唯一解线性时变系统稳定性1. 线性时变系统BIBO稳定的充要条件是存在常

7、矩阵使得，且2. 线性时变系统限界稳定的充要条件是存在有限常数，使得3. 线性时变系统渐近稳定的条件是：当时，注意线性时变系统渐近稳定与A的特征值是否具有负实部无关。定理 5.7 限界稳定性与渐近稳定性在李雅普诺夫变换下保持不变。Chapter 6 Controllability and Observability定义6.1 状态方程称为可控是指对于任意初态和任一末态，都存在一个输入在有限时间内使系统状态由转移到。否则该状态方程称为不可控。定理 6.1 以下命题等价： 1. 维是可控的。 2. 矩阵是非奇异。 3. 可控性矩阵满秩。 4. 矩阵对于任一A的特征值均满秩。 5. 若A所有特征值具

8、有负实部，那么方程的唯一解是正定的：系统由转移至的输入信号：将此输入信号代入得能控性指数：。其中，推论6.1 维（A，B）对是可控的充要条件是当时， 满秩。定理6.2 系统的可控性在等价变换下保持不变。定理6.3 （A，B）对的可控性指数集在等价变换或任意调换B阵的各列的情况下保持不变。定义6.O1 一个状态方程称为能观是指对于任何未知的状态初态，存在一个有限时间使得在已知的输入和输出可以唯一确定该状态初态。否则系统称为不能观。定理6.4 一个状态方程能观的充要条件是维矩阵非奇异。定理6.5 对能控的充要条件是对能观，该定理称对偶定理。定理6.O1 以下命题等价： 1. 维是可观的。 2. 矩

9、阵非奇异。 3. 可控性矩阵满秩。 4. 矩阵对于任一A的特征值均满秩。 5. 若A所有特征值具有负实部，那么方程的唯一解是正定的：能观性指数：。其中，推论6.O1 维（A，C）对能观的充要条件是当时， 满秩。定理6.O2 系统的能观性在等价变换下保持不变。定理6.O3 （A，C）对的能观性指数集在等价变换或任意调换C阵的各行的情况下保持不变。定理 6.6 对于维状态方程，可构建非奇异矩阵 其中前列为原列，后列任选。作等价变换或使原方程变换为：定理 6.O6对于维状态方程，可构建非奇异矩阵，其中前行为原行，后行任选。作等价变换可使原方程变换为：定理6.7 任意状态空间方程可同时作能控性和能观性

10、分解，构造与原方程代数等价的状态方程。其中既能控又能观部分与原方程零状态等价，有相同的传递函数。当只考虑输入输出特性时，该方法可作为状态方程的化简。定理6.8 （1）约当标准形状态方程能控的充要条件是B中相同特征值约当块的最后一行线性无关，若无相同特征值，则对应的约当块最后（下）一行为非零行向量。 （2）约当标准形状态方程能观的充要条件是C中相同特征值约当块的最后一列线性无关，若无相同特征值，则对应的约当块最前（左）一列为非零列向量。推论6.8 （1）一个单输入约当形状态方程可控的充要条件是每个互异的特征值只对应一个约当块，且B阵对应每个约当块最后一行的元素非零。 （2）一个单输出约当形状态方

11、程能观的充要条件是每个互异的特征值只对应一个约当块，且C阵对应每个约当块最前一列的元素非零。三种可控性定义：1. 将系统状态从任一初态转移至任意末态本书定义的可控性2. 将系统状态从任一初态转移至零到原点的可控性3. 将系统状态从零转移至任意末态能达性在连续时间系统中上述三定义等价，因为总是非奇异。对于离散时间系统，若A非奇异，三者仍然等价，当A为奇异时却不是，此时，系统一定具有到原点的可控性。定理 6.9 对于一个完全能控的连续时间系统以采样时间T进行离散化后，系统仍然能控的充分条件是对于所有满足的特征值，当系统为单输入情况时，该条件为充要条件。定理6.10 若连续时间系统不能控，那么以任何

12、采样时间离散化后的系统仍不能控。定理6.11 维对在可控的充要条件是存在有限时间使得非奇异。定理6.12 维对在可控的充分条件是 其中，定理6.O11 对在能观的充要条件是存在有限时间使得非奇异。定理6.O12 维对在能观的充分条件是 其中，Chapter7 Minimal Realizations and Co-prime Fractions传递函数的能控标准型实现为定理7.1 的能控标准型能观的充要条件是即约。定理7.2 状态方程是传递函数的最小实现的充要条件是可控且 能观，即：定理 7.3 所有的最小实现是等价的。定理 7.4 对于，用分子与分母的系数构造阵，从左向右寻找线性无关列向量，

13、我们有：线性无关N列的个数，且即约分式的系数 等于包含最初线性相关N列及其左手侧各列构成的子阵的首一零向量。定理7.5 若和是等价的最小实现，那么和等价，具有正实特征值。定理7.6 任一维最小实现的状态方程均可等价于另一方程使得。定理7.7 严格正则有理传递函数的价为的充要条件是：友型实现：1. 计算2. 令，则，3. 计算定义7.1 正则有理矩阵的特征多项式是指所有子式的最小公分母。最小多项式是其所有元的最小公分母。定理7.M2 状态方程是传递矩阵的最小实现的充要条件是可控且 能观，即：定理 7.M3 的所有的最小实现是等价的。定义 7.2 一个方阵称为么模矩阵是指它的行列式的值非零且与S无

14、关。定义 7.3 一个方阵多项式是的最大右公因式是指： 1. 是的右公因式 2. 是所有右公因式的左倍式 若是么模矩阵，那么为右既约分式。定义 7.4 正则有理矩阵分别为右既约和左既约，则的特征多项式定义为或，的阶定义为定义 7.5 一个非奇异多项式矩阵称为列约是指列阶之和，该矩阵称为行约是指行阶之和。一个矩阵不能同时行列约。 一个多项式矩阵为列约的充要条件是它的列阶系数阵非奇异。定理7.8 设是矩阵，且列约，则有理矩阵正则的充要条件是，其中。推论7.8设是矩阵，且行约，则有理矩阵正则的充要条件是，其中定理 7.M4 对于左分式，用的系数阵构造阵，从左向右寻找线性无关列向量，令是线性无关列的个

15、数，则且即约右分式的系数阵可由个包含最初线性相关列及其左手侧各列构成的子矩阵的首一零向量求得。算法7.1：由多项式矩阵既约分式求系统实现考虑严格正则传递矩阵，令其中，（1）计算，其中两行分别作为B阵的和最高次两行。（2）计算，其中两行分别作为A阵的和最高次两行，A阵的左上、右块低次行按对角线顺序依次写入1，A阵的左下、右上低次行全补0。（3）写下，作为C阵。Chapter8 State Feedback and State Estimators定理8.1 可控的充要条件是可控。即状态反馈不改变系统的能控性。定理8.2 若可控的状态方程有4阶特征多项式为，存在线性变换使之变为能控标准型。变换阵，

16、。定理8.3 若维状态方程能控，则通过状态反馈目标系统矩阵可以任意配置特征值，其中复特征值共轭。算法8.1 李雅普诺夫方法配置极点： 1 选择矩阵使之具有期望特征值。 2 选择行向量使能观测。 3 求解方程。 4 计算反馈向量定理8.4 若A与F无相同的特征值，则方程的解非奇异的充要条件是可控且可观。跟踪条件：，鲁棒跟踪条件：嵌入内模。定理8.5 若可控且传递函数无纯微分环节，那么状态反馈外加内模的单外反馈系统可通过选择任意配置极点。闭环系统特征值。算法8.O1 李雅普诺夫方法求状态观测器： 1 选择矩阵使之具有期望特征值。 2 选择行向量使能控。 3 求解方程。 4 状态观测器为 算法8.R

17、1 李雅普诺夫方法求降维状态观测器： 1 选择矩阵使之具有期望特征值。 2 选择行向量使能控。 3 求解方程。 4 状态观测器为定理8. 6 若A与F无相同的特征值，则方程的解非奇异的充要条件是可观且可控。定理8.M1 可控的充要条件是可控。即状态反馈不改变系统的能控性。定理8.M3矩阵可以任意配置特征值的充要条件是可控。定理8.7 若维输入对可控且A是循环的，那么存在向量，单输入系统是可控的。定理8.8 若可控，那么存在实常矩阵K，使是循环阵。循环设计思路：1. 引入K1，使系统为循环系统2. 引入，使系统为单输入可控系统3. 按照单输入系统设计法求4. 系统状态反馈阵为算法8.M1 李雅普诺夫方法实现状态反馈 1 选择矩阵使之具有期望特征值。 2 选择矩阵使能观测。3 求解方程。 4 若T为奇异，则重复上述步骤，若T非奇异，计算反馈向量算法8.R1 李雅普诺夫方法求降维状态观测器： 1 选择矩阵使之具有期望特征值，且与原阵特征值互异。2 选择矩阵L使能控。3 求解方程。 4 若奇异，则重复上述步骤，若非奇异，则状态观测器为Chapter9 Pole Placement and Model Matching定理9.1 对于任意均有解的充要条件是和互质。定理9.2 单位反馈系统中，控制对象是正则有理函数，互质，设，则对于任一阶多项式，存在一个正则的阶补偿器，使闭环传递函数定理9.