导数的四则运算法则

1、§ 4 导数的四则运算法则、教学目标:1 .知识与技能掌握有限个函数的和、差、积、商的求导公式；熟练运用公式求基本初等函数的四则运算的导数，能运用导数的几何意义，求过曲线上一点的切线。2 .过程与方法通过用定义法求函数 f (x) =x+x2的导数，观察结果，发掘两个函数的和、差求导方法，给 结合定义给出证明；由定义法求 f(x)=x 2g(x)的导数，发现函数乘积的导数，归纳出两个函 数积、商的求导发则。3 .情感、态度与价值观培养学生由特别到一般的思维方法去探索结论，培养学生实验一一观察一一归纳一一抽象的数学思维方法。二、教学重点：函数和、差、积、商导数公式的发掘与应用教学难点：

2、导数四则运算法则的证明三、教学方法：探析归纳，讲练结合 四、教学过程(一)、复习：导函数的概念和导数公式表。1 .导数的定义：设函数 y f (x)在x x0处附近有定义，如果x 0时，y与 x的比上(也叫函数的平均变化率)有极限即无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做xx函数y f (x)在xx0处的导数，记作 y/ x % ,即f/(x0) lim上(&x)-f立x 0x2 .导数的几何意义：是曲线 y f (x)上点(x°, f (x°)处的切线的斜率.因此，如果y f (x)在点x0可导，则曲线y f (x)在点(x0, f (x0)处的切线方程为y f(

3、x0)f7x0)(x x°).3 .导函数(导数):如果函数y f (x)在开区间(a,b)内的每点处都有导数，此时对于每一个x (a,b),都对应着一个确定的导数fix),从而构成了一个新的函数f/(x),称这个函数f lx)为函数y f (x)在开区间内的导函数，简称导数，4 .求函数yf(x)的导数的一般方法:(1)求函数的改变量 yf (xx) f(x). (2)求平均变化率_y xf(x x)f(x)(3)取极限，得导数 y/ =f (x)5.常见函数的导数公式:C'0; (xn)' nxn(二)、探析新课两个函数和(差)的导数等于这两个函数导数的和(差)f

4、 (x) g(x) f (x) g (x)f(x)g(x)f (x) g(x)y u(xx)v(x x)u(x)v(x)u(xx)u(x) v(xx)v(x) u v,.、-uv . y,lim limu vuvlimlimxxx x 0 xx 0x x x 0 x x 0 x即 u(x)''v( x) u (x)'v (x).f (x) u(x) v(x),证明：令y例1：求下列函数的导数:解:2 x(1) y x 2 ；(2)lnx；(3)(x21)(x1)；(4)(1) y(x2 2x)(x2)(2x) 2x2xln2(2)lnx)(.x)(lnx)(x21)(x

5、 1)(x31)(x3)(x2)(x)(1)3x22x(x2)(x1)(x2)2x 3 x(3) 2x2x31.、 一一例2:求曲线y x3 上点(1, 0)处的切线方程。X解：y x3 1 x31xx将x 1代入导函数得rr ,、31即曲线y x 上点(1 , x3x2-2ox 1，3 14 o10)处的切线斜率为4,从而其切线方程为y 0 4(x 1),即 y 4x 4。设函数y2. .f (x)在x0处的导数为f (xo) , g(x) x o我们来求y-2 -f(x)g(x) x f(x)在x0处的导数。y (x°x)2f(x0x) x2f(x。)xx222(x°x

6、) f(x0x)f(x。)(% x) x f(x0)x(x0x)2 f(x0x)f(x0)(x0x)2x2 f (x。)xx令 x 0,由于lim°(x0x)2 xlimBx 0x)f(x0)f (x0)limx(x022x)x0x2x°知 y f (x)g(x)x2 f(x)在 x0处的导数值为 x2f (x0) 2x0f(x0)。因此 y f (x)g(x) x2f(x)的导数为 x2 f (x) (x2) f(x)。般地，若两个函数 f (x)和g(x)的导数分别是f (x)和g (x),我们有f (x)g(x) f (x)g(x) f (x)g(x)f (x) f

7、(x)g(x) f(x)g(x)g(x)g2(x)特别地，当g(x) k时，有例3:求下列函数的导数:(1)(2) y“sin x ；(3) y xln x。解：(1)(x2ex)(x2)2 x、 x (e )2xex x(2x x2)ex；(2)( xsin x) ( . x) sin x - x(sin x)sin x2.xx x cosx ;(3)(xln x)(x) In x x(ln x)1 In xIn x 1。(1)In x解：(1)sin x(sin x) x sin x(x)cosxsin x 1xcosx sin x2；x(2 ) y2 xln x(x22)ln x x (

8、ln x) (ln x)22x,2ln x xln2 xx(2lnx 1)ln 2 x(三)、练习:课本P44练习：1、2.课本P46练习1.(四)课堂小结:本课要求：1、了解两个函数的和、差、积、商的求导公式；2、会运用上述公式，求含有和、差、积、商综合运算的函数的导数;3、能运用导数的几何意义，求过例4:求下列函数的导数:sin x;x曲线上一点的切线。f (x) g(x)f (x) g(x)f (x)g(x) f (x) g (x)f(x)g(x)(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)f (x)g(x) f(x)g (x)g2(x)(五)、作业:课本P47习题2-4 : A 组 2、3 B 组五、教后反思：本节课成功之点：(1) 从特殊函数出发，利用已学过的导数定义来求f (x) =x+x2的导数，观察结果，发掘两个函数的和、差求导方法，给结合定义给出证明(2) 由定义法求f(x)=x 2g(x)的导数，发现函数乘积的导数，归纳出两个函数积、 商的求 导发则。(3) 通过