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1、离散数学综合练习题 一、判断下列命题是否正确如果正确,在题后括号内填“/”;否则,填“” (1)空集是任何集合的真子集 ( )(2)是空集 ( )(3) ( ) (4)如果,则或 ( ) (5)设集合,则 ( ) (6)设集合,则是到的关系 ( )(7)关系的复合运算满足交换律 ( )(8)设为集合 上的等价关系, 则也是集合 上的等价关系 ( ) (9)设是集合上的等价关系, 则当时, ( ) (10)设为集合 上的等价关系, 则 ( )(11)集合A上的任一运算对A是封闭的 ( ) (12)设A是集合,则是可结合的 ( ) (13)设是群如果对于任意,有则是阿贝尔群 ( ) (14)设a是

2、群的元素,记则是的子群 ( ) (15)<0,1,2,3,4,max,min>是格 ( ) (16)设a,b是格的任意两个元素,则 ( ) (17)设是布尔代数,则是格 ( ) (18)设集合,则是格 ( )(19)设是布尔代数,则对任意,有 ( ) (20)设是布尔代数,则对任意,都有,使得 ( )(21)n阶完全图的任意两个不同结点的距离都为1. ( )(22)在有向图中,结点到结点的有向短程即为到的有向短程 ( ) (23)强连通有向图一定是单向连通的 ( ) (24)不论无向图或有向图,初级回路一定是简单回路 ( ) (25)设图G是连通的,则任意指定G的各边方向后所得的有

3、向图是弱连通的 ( ) (26)设A是某个无向图的邻接矩阵,则(是的转置矩阵) ( )(27)设有向图D的可达矩阵为则是单向连通的 ( ) (28)有生成树的无向图是连通的 ( ) (29)由r棵树组成的森林的结点数n与边数m有下列关系:m=n-r. ( )(30)如果有向图D仅有一个结点的入度为0,其余结点的入度都为1,则D是有向树 ( )(31)“如果872,则三角形有四条边”是命题 ( ) (32)设都是命题公式,则也是命题公式 ( ) (33)命题公式的真值分别为0,1,则的真值为0(以上是在对所包含的命题变元的某个赋值下) ( )(34)逻辑结论是正确结论 ( )(35)设都是谓词公

4、式,则也是谓词公式 ( )(36)设都是谓词公式,则是永真式 ( ) (37)设都是命题公式,则也是命题公式 ( ) (38)命题公式的真值分别为0,1,则的真值为0(以上是在对所包含的命题变元的某个赋值下) ( ) (39)设是个体域中某个元素,则其中都是谓词 ( ) (40) ( )二、填空题(1)设有个元素,则集合的幂集中有 个元素。(2)设,则= .(3)设集合中元素的个数分别为,且,则集合中元素的个数 . (4)设集合,则中元素的个数为 .(5)设为集合 上的二元关系, 则 . (6)集合上的二元关系为传递的充分必要条件是 (7)设:称为母亲,:称为父亲,则: , (8)设为自然数的

5、集合,“”为自然数的小于等于关系,的子集,则的下确界为 ,下确界为 , (9)设10人集合赵茵,钱小滨,孙丽春,赵萍,钱浩,李靖华,李秀娟,钱钰,李惠芝,李莉上的同姓关系为,则等价类赵= ,钱= , (10)设 , 是 上的包含于关系,,则有= . (11)设为非空有限集,代数系统中,对运算的单位元为 ,零元为 . (12)循环群的生成元为 . (13)循环群的所有子群为 . (14)代数系统中(其中为整数集合,+为普通加法),对任意的,其 . (15)在整数集合上定义运算为,则的单位元为 . (16)设,在代数系统中,的单位元为 ,可逆元为 . (17)设是群,则对于任意的,方程 和 有唯一

6、解。 (18)设是群,对任意,如果,则 . (19)设是群,为单位元,若元素满足,则 . (20)在整数集合上定义运算为,则的单位元为 . (21)设为树,中有4度,3度,2度分支点各1个,问中有 片树叶。 (22)为了从(n,m)连通无向图得到一棵生成树,必须删除G的 条边 (23)设树T中有7片树叶,3个3度结点,其余都是4度结点,问T中有 个4度结点。 (24)无环有向图的关联矩阵的所有元素之和为 (25)n阶完全图的任意两个不同结点的距离都为 (26)图为阶无向完全图,则共有 条边。 (27)设为图,则图中结点度数的总和为 。 (28)设图有6结点,若各结点的度数分别为:1,4,4,3

7、,5,5,则共有 条边。 (29)无向图是由棵树组成的森林,至少要添加 条边才能使成为一棵树。 (30)在任何图中,奇数结点必为 个。 (31)设 天气很冷,老王还是来了,则命题“虽然天气很冷, 但老王还是来了”符号化为 . (32)设天下雨, 我骑自行车上班,则命题“如果天不下雨, 我就骑自行车上班”符号化为 . (33)设经一事, 长一智,则命题“不经一事, 不长一智”符号化为 . (34)设的真值为0,的真值为1,则命题公式的真值为 . (35)设的真值为0,的真值为1,则命题公式的真值为 . (36)由个命题变项可以组成 个不等值的命题公式。 (37)设个体域,公式在上消去量词后应为

8、. (38)设是自然数,是奇数,是偶数,则命题“任何自然数不是奇数就是偶数” 符号化为 . (39)设是素数,是偶数,则命题“2既是偶数又是素数”符号化为 . (40)设是金子,是发光的,则命题“金子是发光的, 但发光的不一定是金子”符号化为 .三、选择题(每题后面有四个选项,四个选项中只有一个是正确的,请将正确的所对应的字母填在括号内)(1)设为实数集合,下列集合中哪一个不是空集 ( )A. B C. D. (2)设为集合,若,则一定有 ( )A. B C. D. (3)下列各式中不正确的是 ( )A. B C. D. (4)设,则下列各式中错误的是 ( )A. B C. D. (5)设,则

9、为 ( )A. B C. D. (6)设,则的恒等关系为 ( )A. B C. D. (7)集合上的二元关系,则的性质为 ( )A. 自反的; B对称的; C. 反对称的; D. 反自反的.(8)设上的二元关系如下,则具有传递性的为 ( )A. B C. D. (9)设为集合上的等价关系,对任意,其等价类为 ( )A. 空集; B非空集; C. 是否为空集不能确定; D. .(10)映射的复合运算满足 ( )A. 交换律 B结合律 C. 幂等律 D. 分配律(11)在整数集上,下列哪种运算是可结合的 ( )A. B C. D. (12)设集合,下面定义的哪种运算关于集合不是封闭的 ( )A.

10、B C. ,即的最大公约数D. ,即的最小公倍数(13)下列哪个集关于减法运算是封闭的 ( )A. (自然数集); B;C. ; D. .(14)设是有理数集,在定义运算为,则的单位元为 ( )A. ; B; C. 1; D. 0(15)下列代数系统中,哪一个不构成群 ( )A. 是模11乘法;B. 是模3加法;C. 普通加法;D. 普通乘法.(16)循环群 的生成元为1和2,它们的周期为 ( )A. 5 B6 C. 3 D. 9(17)循环群 的所有子群为 ( )A. B C. 和 D. (18)循环群的所有生成元为 ( )A. 1,0 B-1,2 C. 1,2 D. 1,-1(19)有限布

11、尔代数的元素个数必定等于 ( )A. ; B; C. ; D. .(20)在下面偏序集的哈斯图中,哪一个是格 ( )A B C D(21)仅由孤立点组成的图称为 ( )A. 零图; B平凡图; C. 完全图; D. 多重图.(22)仅由一个孤立点组成的图称为 ( )A. 零图; B平凡图; C.多重图; D. 子图.(23)在任何图中必有偶数个 ( )A. 度数为偶数的结点; B度数为奇数的结点; C. 入度为奇数的结点; D. 出度为奇数的结点.(24)设为有个结点的无向完全图,则的边数为 ( )A. B C. D. (25)图和的结点和边分别存在一一对应关系是(同构)的 ( )A. 充分条

12、件; B必要条件;C. 充分必要条件; D. 既不充分也不必要条件.(26)给定下列序列,哪一个可构成无向简单图的结点度数序列 ( )A. BC. D. (27)在有个结点的连通图中,其边数 ( )A. 最多条; B至少条;C. 最多条; D. 至少条.(28)是无向图的关联矩阵,是中的孤立点,则( )A. 对应的一行元素全为0; B对应的一行元素全为1;C. 对应的一列元素全为0; D. 对应的一列元素全为1.(29)任何无向图中结点间的连通关系是 ( )A. 偏序关系; B等价关系;C. 既是偏序关系又是等价关系; D. 既不是偏序关系也不是等价关系.(30)有向图,其中,则有向图是 (

13、)A. 强连通图; B单向连通图;C. 弱连通图; D. 不连通图.(31)下面哪个联结词不可交换 ( )A. ; B; C.; D. .(32)命题公式是 ( )A. 矛盾式; B非永真式的可满足式;C. 重言式; D. 等价式.(33)下列哪一组命题公式是等值的 ( )A. ,; B,;C. ,; D. ,(34)下面哪一个命题是假命题 ( )A. 如果2是偶数,那么一个公式的析取范式唯一;B如果2是偶数,那么一个公式的析取范式不唯一;C. 如果2是奇数,那么一个公式的析取范式唯一;D. 如果2是奇数,那么一个公式的析取范式不唯一.(35)设论域为整数集,下列公式中哪个值为真 ( )A.

14、; B. ;C. ; D. .(36)设谓词是奇数,是偶数,谓词公式在哪个论域中是可满足的 ( )A. 自然数; B整数; C. 实数; D. 以上均不成立.(37)命题“没有不犯错误的人”符号化为(设是人,犯错误) ( )A. ; B.;C. ; D.(38)设个体域,公式在上消去量词后应为 ( )A. ; B. ;C. ; D. .(39)在谓词演算中,下列各式中,哪一个是正确的 ( )A.; B.;C.; D.(40)“学习有如逆水行舟,不进则退”。设学习如逆水行舟,学习进步,学习退步。则命题符号化为 ( )A. ; B; C. ; D. .四、解答题1. 设 上的关系试 (1)写出的关

15、系矩阵; (2)验证是上的等价关系; (3)求出的各元素的等价类。2. 设,上的整除关系,画出的哈斯图。3. 设集合 , 是上的整除关系,画出的哈斯图;4. 设集合, 是上的整除关系,试求:(1) 集合的最大元,最小元(2) 子集和的上界、下界、上确界和下确界。5. 在下面的无向图中,回答下列问题(1)写出之间的所有初级通路; (2)写出之间的所有短程,并求; (3)判断无向图是否为欧拉图并说明理由。6. 下列各图是否为欧拉图,是否为哈密尔顿图?为什么?(1) (2)7. 下列图形中最少需添加几条边才能成为欧拉图 a a b e b d c d c (1) (2)8. 有向图如下图所示(1)

16、求的邻接矩阵;(2) 求中长度为4的通路数和回路数,并找出中从到长度为4的所有通路。(3) 是哪类连通图?9. 设有向图,其邻接矩阵为(1) 画出有向图;(2) 中长度为4的通路有多少条?其中有多少条为回路?(3) 是那类连通图?10. 设连通图如下图所示,求它的一棵生成树a b c e f答案不唯一。五、构造下列推理的证明 1. 证明 2. 证明 3. 证明 4. 证明 5. 构造下列推理的证明:每个学术委员会的成员都是专家并且是大学生,有些成员是青年人,所以有些成员是青年专家。6.“有些病人相信所有的医生,病人都不相信骗子,所以医生都不是骗子。”在一阶逻辑中证明以上推理是正确的。六、证明题

17、1. 设为集合上的等价关系, 试证也是集合上的等价关系。2. 设为无向连通图中任意两个顶点,证明:若,则存在顶点,使得3. 证明下面四个矩阵关于矩阵乘法运算构成群。, , , 4. 设 是一个群,试证 是交换群 当且仅当对任意的 ,有 .5. 设是群的元素,记,证明是的子群6. 设是一个群,取定,定义 , 证明是一个群。离散数学综合练习题答案一、 判断下列命题是否正确(1)错误; (2)错误; (3)正确; (4)错误; (5)错误;(6)正确; (7)错误; (8)正确; (9)正确; (10)错误;(11)正确;(12)正确;(13)正确;(14)正确;(15)正确;(16)正确;(17)

18、正确;(18)正确;(19)正确;(20)正确;(21)正确;(22)错误;(23)正确;(24)正确;(25)正确;(26)正确;(27)正确;(28)正确;(29)正确;(30)错误;(31)正确;(32)错误;(33)错误;(34)错误;(35)错误;(36)正确;(37)正确;(38)正确;(39)错误;(40)错误.二、 填空题(1); (2); (3)3; (4)40; (5)(6) ; (7)称为外祖父; (8)5,9; (9)赵= 赵茵,赵萍,钱= 钱小滨,钱浩,钱钰,孙= 孙丽春,李= 李靖华,李秀娟,李惠芝,李莉.(10)(11) ; (12) 1和2;(13),;(14)

19、 ; (15) 2; (16) 1,1; (17) ,; (18) ;(19) ; (20) 0; (21) 5; (22) m-n1; (23) 1; (24) 0; (25) 1;(26) ; (27) ; (28) 11; (29) ; (30) 偶数;(31) ; (32) ; (33) ; (34) 0; (35) 0;(36) ; (37); (38) ;(39) ; (40) .三、 选择题(1) A; (2) C; (3) C; (4) B; (5) B;(6) A; (7) B; (8) D; (9) B; (10)B;(11)B; (12)D; (13)B; (14)D;

20、(15)D;(16)C; (17)C; (18)D; (19)C; (20)A;(21)A; (22)B; (23)B; (24)C; (25)B;(26)B; (27)B; (28)A; (29)B; (30)C;(31)B; (32)C; (33)B; (34)A; (35)A;(36)D; (37)D; (38)B; (39)B; (40)B.四、 解答题1. 解 (1)的关系矩阵为(2)从的关系矩阵可知:是自反的和对称的。又由于所以是传递的。 因为是自反的、对称的和传递的,所以是上的等价关系。(3) ,2. 解: 248 12 4 62 33. 解: 32 24 16 12 8 6 2

21、 34. 解:由于是上的整除关系,所以是上的偏序关系,的哈斯图为 4 6 2 3 5 1(1)集合的最大元:无,最小元:1(2)子集上界下界上确界下确界无1无161615. 解:(1)之间的所有初级通路共有7条,分别为,(2)之间的长度最短的通路只有1条,即,因而它是之间唯一的短程,(3)由于无向图中有两个奇度顶点,所以无向图没有欧拉图回路,因而不是欧拉图。6. 解:图(1)中各顶点的度数为 ,由于图(1)中各顶点的度数均为偶数,所以图(1)为欧拉图。 回路为经过图(1)中每个结点一次且仅一次的回路,所以回路为哈密尔顿回路,因此图(1)是哈密尔顿图。图(2)中各顶点的度数为 ,由于图(2)中有

22、两个奇度顶点,所以图(2)存在欧拉图通路,但是没有欧拉图回路,因此图(2)不是欧拉图。 回路为经过图(2)中每个结点一次且仅一次的回路,所以回路为哈密尔顿回路,因此图(2)是哈密尔顿图。7. 解 由于(1)只有两个奇度结点,b,e. 因此,要由(1)得到一个欧拉图,必须使它们的度数都为偶数。最少需添加一条边才能使(1)为欧拉图。由于(2)有 4个奇度结点,因此,要由(2)得到一个欧拉图,必须使它们的度数都为偶数。最少需添加两条边才能使(2)为欧拉图。例如,可在(1)中添加边(b,e), 在(2)中添加边(a,b),(c,d) a a b e b d c d c(1) (2)8. 解:(1) 求

23、的邻接矩阵;(2) , , 中长度为4的通路数为,其中对角元素之和为3,中长度为4的回路有3条。由于中,所以中到长度为4的通路有4条。即,其中为简单通路。(3) 由于由可知道是单向连通图。9. 解:(1) 有向图为(2) 由于中长度为4的通路数为32。因对角元素之和为0,故中无长度为4的回路。(4) 从图可得的可达矩阵为从可知是强连通的。10. 解: a b c e f五、 构造下列推理的证明1. 证明: 前提引入; 前提引入; 析取三段论; 前提引入; 置换; 析取三段论。2. 证明 前提引入; 前提引入; 拒取式; 前提引入; 假言推理; 前提引入; 拒取式; 前提引入; 析取三段论。3. 证明 前提引入; 前提引入; 析取三段论; 前提引入; 假言推理; 前提引入; 假言推理。4. 证明: 前提引入; EI; 化简; 前提引入; UI; 假言推理; 化简; 化简; 合取引入(10) EG 5.

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