研究院北京二模理分类汇编——函数与导数及不等式教师版

1、2018二模分类汇编函数导数与不等式1.（2018昌平二模·理）设，则A B C D1.C2.（2018昌平二模·理）设，则是的A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件2.B3.（2018昌平二模·理）2011年7月执行的中华人民共和国个人所得税法规定：公民全月工资、薪金所得不超过3500元的部分不必纳税，超过3500元的部分为全月应纳税所得额此项税款按下表分段累进计算：全月应纳税所得额（含税级距）税率(%)不超过1500元3超过1500元至4500元的部分10超过4500元至9000元的部分20某调研机构数据显示，纳税人希望将个税免

2、征额从3500元上调至7000元若个税免征额上调至7000元（其它不变），某人当月少交纳此项税款332元，则他的当月工资、薪金所得介于A50006000元 B60008000元 C80009000元 D900016000元3. C4.（2018朝阳二模·理）已知函数则“”是“函数在上单调递增”的（ ）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C.充分必要条件 D既不充分也不必要条件4.A5.若三个非零且互不相等的实数成等差数列且满足,则称成一个“等差数列”.已知集合,则由中的三个元素组成的所有数列中,“等差数列”的个数为（A）（B）（C）（D）5.B6.（2018东城二模·理

3、）已知函数，若存在，使得，则a的取值 范围是（A） （B） （C） （D）6.A7下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递减的是（A）（B）（C）（D）7.D8函数则“”是“，使”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件8. A9在直角坐标系中，对于点，定义变换：将点变换为点，使得 其中这样变换就将坐标系内的曲线变换为坐标系内的曲线则四个函数，在坐标系内的图象，变换为坐标系内的四条曲线（如图）依次是（A），（B），（C），（D）， 9. A10.（2018房山二模·理）已知函数的图像关于原点对称，且周期为4，若，则（ ）（A） （B）

4、（C） （D）10.C11.（2018房山二模·理）定义：若存在常数，使得对定义域内的任意两个，均有成立，则称函数在定义域上满足利普希茨条件.若函数满足利普希茨条件，则常数的最小值为 （A） （B） （C） （D） 11.D12.（2018丰台二模·理）设下列函数的定义域为，则值域为的函数是(A) (B) (C) (D) 12. D13.（2018海淀二模·理）已知，则（A）（B）（C）（D）13.D14.（2018顺义二模·理）若，则的大小关系为A B. C. D.14.C15（2018顺义二模·理）已知点若曲线上存在两点，使为正三角形，则称

5、为“正三角形”曲线给定下列三条曲线：；其中，“正三角形”曲线的个数是ABCD15. C16.（2018顺义二模·理）已知是集合的非空子集，且当时，有.记满足条件的集合的个数为，则_；_.16. 3，17.（2018丰台二模·理）甲乙两地相距km，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不能超过km/h已知汽车每小时运输成本为元，则全程运输成本与速度的函数关系是 ，当汽车的行驶速度为 km/h时，全程运输成本最小17.；18.（2018房山二模·理）能够说明“恒成立”是假命题的一个的值为_.18.019.（2018房山二模·理）已知函数.当时，不等式的解集为_；若函

6、数有三个不同的零点,则实数的取值范围是_.19.； 20.（2018东城二模·理）某种物质在时刻t (min)的浓度M (mg/L)与t的函数关系为（为常数）.在t = 0 min 和t = 1 min测得该物质的浓度分别为124 mg/L和64 mg/L，那么在t = 4 min时，该物质的浓度为_ mg/L；若该物质的浓度小于24.001 mg/L，则最小的整数t的值为_.（参考数据：）20.26.56； 1321.（2018昌平二模·理）已知函数 当时，若函数有且只有一个极值点，则实数的取值范围是 ； 若函数的最大值为1，则 21.； 22.（2018房山二模

7、3;理）（本小题分）设函数，（为常数），曲线在点处的切线与轴平行.（）求的值；（）求的单调区间和最小值；（）若对任意恒成立，求实数的取值范围解：（） ,因为曲线在点处的切线与轴平行 所以,所以 5分（），定义域为令得，当变化时，和的变化如下表10 0由上表可知的单调递减区间为，单调递增区间为，最小值为。 . 10分（）若对任意成立，则即，解得 . 13分23.（2018顺义二模·理）（本小题满分13分） 已知函数,其中.（）当时，求曲线在点处的切线方程；（）若不等式在定义域内恒成立，求实数的取值范围.解：（）当时，-2分则，又-4分曲线在点处的切线方程为：-5分（）函数定义域为，且-

8、6分下面对实数进行讨论：当时，恒成立，满足条件-7分当时，由解得，从而知函数在内递增；同理函数在内递减， -9分因此在处取得最小值 -10分 ，解得-12分综上：当时，不等式在定义域内恒成立.-13分24.（2018海淀二模·理）（本小题共13分）已知函数（）（）求的极值；（）当时，设.求证：曲线存在两条斜率为且不重合的切线.（本小题共13分）解：（）法一：，1分令，得2分 当时，与符号相同， 当变化时，的变化情况如下表：极小4分 当时，与符号相反， 当变化时，的变化情况如下表：极小6分综上，在处取得极小值.7分法二：，1分令，得2分令，则，3分易知，故是上的增函数，即是上的增函数4

9、分 所以，当变化时，的变化情况如下表：极小6分因此，在处取得极小值.7分（），8分故9分 注意到， 所以，使得 因此，曲线在点，处的切线斜率均为. 11分下面，只需证明曲线在点，处的切线不重合.法一：曲线在点（）处的切线方程为，即假设曲线在点（）处的切线重合，则12分法二：假设曲线在点(，)处的切线重合，则，整理得：12分 法一：由，得，则 因为，故由可得而，于是有，矛盾！法二：令，则，且.由（）知，当时，故所以，在区间上单调递减，于是有，矛盾！因此，曲线在点()处的切线不重合13分25.（2018丰台二模·理）（本小题共13分）已知函数，（）当时，求的单调区间；（）求证：有且仅有一

10、个零点25.（本小题共13分）（）解：依题意 . 2分令 ， 则 所以在区间上单调递减因为 ，所以 ，即 ， 4分所以的单调递减区间是，没有单调递增区间 5分（）证明：由（）知，在区间上单调递减，且，当 时，在上单调递减因为 ，所以有且仅有一个零点 7分当 ，即时，即 ，在上单调递增因为 ，所以有且仅有一个零点 9分当 时，所以存在，使得 10分，的变化情况如下表：+0-极大值所以 在上单调递增，在上单调递减11分因为 ，且，所以 ，所以有且仅有一个零点12分综上所述，有且仅有一个零点 13分26.（2018昌平二模·理）（本小题13分）已知函数,（I）若曲线在点处的切线方程为，求a

11、的值；(II) 证明：当时，函数存在唯一的极小值点为，且（共13分）解：（I）因为，得，所以因为曲线在点处的切线方程为，所以，即 -5分(II) 设，则因为，所以，.又因为所以 ，故在上为增函数又因，由零点存在性定理，存在唯一的，有当时，即在上为减函数，当时，即在上为增函数，所以为函数的极小值点 -13分27.（2018朝阳二模·理）已知函数（）（1）若曲线在点处的切线方程为，求的值；（2）当时，讨论函数的零点个数.27.【解析】 （）因为曲线在点处的切线方程为.所以,.由得.（）当时,令得或. 当即时,当变化时,的变化情况如下表:极大值极小值所以函数在上单调递减,在和上单调递增.又

12、因为,所以函数有一个零点. 当,即时,当变化时,的变化情况如下表:所以函数在上单调递增.又因为,所以函数有一个零点. 当,即时,当变化时,的变化情况如下表:极大值极小值所以函数在上单调递减,在和上单调递增.又因为,.所以当时,此时,函数有一个零点;当时,此时,函数有两个零点;当时,此时,函数有三个零点. 当即时,显然函数有两个零点.综上所述,（1）时,函数有一个零点;（2）时,函数有两个零点;（3）时,函数有三个零点.28.（2018东城二模·理）（本小题14分）已知函数，.（I）当时，求的单调区间；（II）当时，讨论的零点个数.（共14分）解：（I）当时，.当在区间上变化时，的变化如下表极大值极小值极大值所以的单调增区间为，；的单调减区间为，.5分（II）任取.，所以是偶函数.当时，在上恒成立，所以时，.所以在上单调递增.又因为，所以在上有0个零点.又因为是偶函数，所以在上有0个零点.当时，令，得.由可知存在唯一使得.所以当时，单调递增；当时，单调递减.因为，.当，即时，在上有0个零点.由是偶函数知在上有0个零点.当，即时，在上有1个零点.由是偶函数知在上有2个零点.综上，当时，有2个零点；当时，有0个零点. 14分29.（2018西城二模·理）（本小题满分13分）