空间向量测试题

1、空间向量练习1在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标是A. B. C. D. 2若直线的一个方向向量，平面的一个法向量为，则 （ ）A. B. / C. D. A、C都有可能3以下四组向量中，互相平行的有（ ）组（）， （）， （）， （）， A. 一 B. 二 C. 三 D. 四4若为平行四边形，且， ， ，则顶点的坐标为（ ）A. B. C. D. 5如上图，向量， ， 的起点与终点均在正方形网格的格点上，则向量用基底， 表示为()A. B. 2 C. 2 D. 26已知A(4，6)， ，有下列向量：； ；其中，与直线AB平行的向量()A. B. C. D. 7已知三棱锥O-ABC，

2、点M,N分别为AB,OC的中点，且OA=a,OB=b,OC=c，用a，b，c表示MN，则MN等于() A. 12(b+c-a) B. 12(a+b-c)C. 12(a-b+c) D. 12(c-a-b)8已知向量，使 成立的x与使 成立的x分别为（ ）A. B. -6 C. -6, D. 6,- 9若=(2，3)， =，且，则=（ ）A. 6 B. 5 C. 7 D. 810已知向量，以为邻边的平行四边形的面积（ ）A. B. C. 4 D. 811如图所示，空间四边形中， ，点在上，且， 为中点，则等于（ ）A. B. C. D. 12在空间直角坐标系中，点关于点的对称点是 （ ）A. B.

3、 C. D. 13已知向量,且与互相垂直，则（ ）A. B. C. D. 14设一球的球心为空间直角坐标系的原点O，球面上有两个点A,B，其坐标分别为(1,2,2)，(2,2,1)，则|AB|=( ) A. 18 B. 12 C. 32 D. 2315已知A(2,5,-6)，点P在y轴上，|PA|=7，则点P的坐标是（ ）A. (0,8,0) B. (0,2,0) C. (0,8,0)或(0,2,0) D. (0,-8,0)16与向量（0，2，4）共线的向量是（ ）A（2，0，4） B（3，6，12） C（1，1，2） D17若向量，则A B C D18若向量、的坐标满足，则·等于A

4、 B C D 19已知点与点，则的中点坐标为_20在如图所示的长方体ABCD­A1B1C1D1中，已知A1(a,0，c)，C(0，b,0)，则点B1的坐标为_21如图所示的长方体ABCDA1B1C1D1中，|DA|=8，|DC|=6，|DD1|=3，则D1B1的中点M的坐标为_，|DM|=_22点在坐标平面xOz内的投影点坐标为_；23已知向量a=(1,1,0)，b=(1,0,2)，且ka+b与2ab互相垂直，则k的值是_24已知 .25若，是平面内的三点，设平面的法向量，则 26已知向量,且，则的值为 27在空间坐标系中，已知三点A（1，0，0），B（0，1，0），C（0，0，1）

5、，则平面ABC的单位法向量是 28若向量，则_.29如图，在一个60°的二面角的棱上有两个点A，B，AC，BD分别是在这个二面角的两个半平面内垂直于AB的线段，且AB=4，AC=6，BD=8，则CD的长为_。30如图建立空间直角坐标系，已知正方体的棱长为2.（1）求正方体各顶点的坐标；（2）求A1C的长度.31（2015秋河西区期末）已知（1）若，求实数k的值（2）若，求实数k的值32P是平面ABCD外的点，四边形ABCD是平行四边形， ,求证垂直平面.33长方体中，（1）求直线所成角；（2）求直线所成角的正弦.34（本大题12分）如图，在棱长为的正方体ABCD-A1B1C1D1中，

6、E、F、G分别是CB、CD、CC1的中点（1）求直线C与平面ABCD所成角的正弦的值；（2）求证：平面A B1D1平面EFG； （3）求证：平面AA1C面EFG FGEC1D1A1B1DCAB35如图四棱锥中，是的中点，是底面正方形的中心，。（）求证：面；（）求直线与平面所成的角。ABCDOES36在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，BC=B1B=1，M、N分别是AD、DC的中点.（1）求证：MN/A1C1;（2）求：异面直线MN与BC1所成角的余弦值.37（本小题满分13分）已知是边长为1的正方体，求：（）直线与平面所成角的正切值；（）二面角的大小38在边长是2的正方体-中， 分

7、别为的中点. 应用空间向量方法求解下列问题.（1）求EF的长；（2）证明： 平面；（3）证明: 平面.参考答案1A【解析】在空间直角坐标系中，两点关于平面对称，竖坐标互为相反数，点的坐标是点关于平面对称的点的坐标是，选A.2A【解析】直线的一个方向向量，平面的一个法向量为且，即.所以.故选A.3B【解析】若与平行，则存在实数使得经过验证，只有， ,两组满足条件。故答案选4A【解析】设，在平行四边形中，又，联立，解出： ， ， 故选5C【解析】以向量的起点为原点，向量所在直线为x轴建立平面直角坐标系。设正方形的边长为1，则。设，则，解得，所以。选C。点睛：由平面向量基本定理可知，在确定了平面的基

8、底后，平面内的任一向量都可以用这组基底唯一表示，但并没有给出分解的方法。常用的方法有两种：（1）根据向量的线性运算，将已知向量向着基底转化；（2）先确定向量和基底的坐标，根据待定系数法建立方程组，通过代数方法求解。6C【解析】由题意可得。由向量共线的条件可以判断向量与向量平行，即向量与直线AB平行。选C。7D【解析】MN=ONOM=12OC12(OA+OB)=12c12a12b=12(cab) ，故选D.8A【解析】向量,若 ,则，解得.若，则，解得.故选A.9C【解析】由， =(2，3)， =，得,解得.故选C.10A【解析】由题意， ，则，所以平行四边形的面积为，故选A.11B【解析】由题

9、意，以为基底建立空间向量，则，故选B.12A【解析】设所求点为，则，解得，故选A.13B【解析】根据题意， ，因为，所以，则，即，故选14C【解析】A，B两点的坐标分别是A(1,2,2),B(2,2,1) ， |AB|=(21)2+(22)2+(12)2=32，故选C.15C【解析】依题意设P(0,b,0)，根据|PA|=22+(b-5)2+62=7，解得b=2,8，所以选C.16D【解析】试题分析：，所以向量与共线考点：向量共线17D【解析】试题分析：因为向量，所以，排除B；，所以，应选D，A错，如果则存在实数使，显然不成立，所以答案为D考点：向量的有关运算18B【解析】试题分析：因为，所以

10、所以考点：本小题注意考查向量的坐标运算.点评：向量的坐标运算是高考经常考查的内容，难度一般较低，灵活运用公式计算即可.19【解析】中点为20(a，b，c)【解析】在如图所示的长方体 中，已知 可以得知 ，又长方体 ，可以得知 的坐标为 故答案为21 (4,3,3) 34【解析】由图可知：D10,0,3,B1(8,6,3).M为D1B1的中点，由中点坐标公式可得M(4,3,3).由两点间距离公式有：DM=42+32+32=34故答案为：4,3,3,.34.22【解析】设所求的点为Q（x，y，z），P、Q两点的横坐标和竖坐标相等，而纵坐标为0，即x=2，y=0，z=3，得Q坐标为（）2375【解析

11、】由已知，据向量坐标的线性运算可得ka+b =(k1,k,2)，2a-b =(3,2,2) ，两向量互相垂直，则数量积为0则有3×(k1)+2k2×2=0，解得k=75故本题填7524【解析】试题分析：有已知可得 考点：向量的数量积运算252：3：（-4）【解析】试题分析：由得因为为平面的法向量，则有，即由向量的数量积的运算法则有解得所以故正确答案为考点：空间向量的法向量265【解析】试题分析：由题可知：，且，有，即m=5考点：空间向量垂直的充要条件27.【解析】试题分析：三点A（1，0，0），B（0，1，0），C（0，0，1），所以=（-1，1，0）, =（-1，0，1）

12、, 令平面ABC的法向量为=（x，y，z），可得 ，即，x=y=z平面ABC的法向量为=（x，y，z）为单位法向量，解得x=y=z= , 故平面ABC的单位法向量是.考点：平面的法向量284 【解析】试题分析：因为，所以=4.考点：本题主要考查空间向量的坐标运算。点评：简单题，利用空间向量的坐标运算公式，计算要细心。29【解析】在一个60°的二面角的棱上，有两个点A、B，AC、BD分别是在这个二面角的两个半平面内垂直于AB的线段，且AB=4cm，AC=6cm，BD=8cm，故答案为30（1）详见解析；（2）23.【解析】试题分析：（1）根据空间坐标系的定义，易得各点的坐标；（2）要求

13、空间中两点的距离，可直接利用空间两点的距离公式d=(x1-x2)2+(y1-y2)2+(z1-z2)2求解出来.试题解析：（1）正方体各顶点的坐标如下：A1(0,0,0),B1(0,2,0),C1(2,2,0),D1(2,0,0),A(0,0,2),B(0,2,2),C(2,2,2),D(2,0,2).（2）解法一：|A1C|=22+22+22=23.解法二：|A1C1|=22,|AA1|=2，在RtAA1C1中，|AC1|2=|AA1|2+|A1C1|2，|AC1|2=22+(22)2=12,|AC1|=23,|A1C|=23.31（1）；（2）【解析】试题分析：（1）根据空间向量的坐标运算

14、以及向量的共线定理，列出方程求出k的值；（2）根据两向量垂直，数量积为0，列出方程求出k的值解：（1），；又，解得；（2）且，即7（k2）4（5k+3）16（5k）=0，解得考点：空间向量的数量积运算32【解析】证明：垂直于,即垂直于.垂直于,即垂直于.垂直平面.33（1）直线所成角为90°；（2） 。【解析】试题分析：以D为原点建系 1分（1） 3分直线所成角为90° 5分（2） 7分 9分所求角的正弦值为 10分考点：立体几何中的角的计算，空间向量的应用。点评：典型题，立体几何题，是高考必考内容，往往涉及垂直关系、平行关系、角、距离、体积的计算。在计算问题中，有“几何法

15、”和“向量法”。利用几何法，要遵循“一作、二证、三计算”的步骤，利用空间向量，省去繁琐的证明，也是解决立体几何问题的一个基本思路。注意运用转化与化归思想，将空间问题转化成平面问题。34（1） ； （2）见解析；（3）见解析。【解析】试题分析：(1)因为平面ABCD,所以为与平面ABCD所成角,然后解三角形求出此角即可.（2）证明面面平行根据判定定理只须证明平面平面A B1D1内两条相交直线和分别平行于平面EFG即可.在证明线面平行时又转化为证明线线平行.(3)易证：BD平面AA1C，再证明EF/BD，因而可证出平面AA1C面EFG.（1）平面ABCD=C，在正方体ABCD-A1B1C1D1平面

16、ABCDAC为在平面ABCD的射影为与平面ABCD所成角.2分正方体的棱长为AC=，= .4分 （2）在正方体ABCD-A1B1C1D1连接BD，=为平行四边形E，F分别为BC，CD的中点EFBDEF3分EF平面GEF，平面GEF平面GEF 7分同理平面GEF=平面A B1D1平面EFG 9分（3）在正方体ABCD-A1B1C1D1 平面ABCDEF平面ABCD EF 10分ABCD为正方形ACBDEFBDAC EF .11分EF平面AA1CEF平面EFG平面AA1C面EFG .12分.考点：斜线与平面所成的角，线面垂直，面面垂直，面面平行的判定.点评：斜线与平面所成的角就是斜线与它在这个平面

17、内的射影所成的角，因而关键是找到它在这个平面内的射影.面面垂直（平行）证明要转化为证明线面垂直（平行）再转化为线线垂直（平行）.35（）证明：； 3分（）解：所以是与面所成角。 3分在中，所以，又，所以EO与平面所成的角为。【解析】略2（1）连结AC，M、N分别为AD、DC中点 MN/AC且AC/A1C1，AC=A1C1 MN/ A1C1（2）连结A1B，由（1）知A1C1B为所求角 A1B=A1C1=，BC1= 由余弦定理得A1C1B= 【解析】略37（）；（）60°【解析】试题分析：（）先根据其为正方体得到C1AB1就是AC1与平面AA1B1B所成的角；然后在RTC1AB1中求其

18、正切即可；（）先过B1作B1EBC1于E，过E作EFAC1于F，连接B1F；根据AB平面B1C1CB推得B1EAC1；进而得到B1FE是二面角BAC1B1的平面角；然后通过求三角形的边长得到二面角BAC1B1的大小即可试题解析：（）连接AB1，ABCDA1B1C1D1是正方体B1C1平面ABB1A1，AB1是AC1在平面AA1B1B上的射影C1AB1就是AC1与平面AA1B1B所成的角在RTC1AB1中，tanC1AB1=直线AC1与平面AA1B1B所成的角的正切值为.（）过B1作B1EBC1于E，过E作EFAC1于F，连接B1F；AB平面B1C1CB，ABB1EB1E平面ABC1B1EAC1B1FE是二面角BAC1B1的平面角在RTBB1C1中，B1E=C1