




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文档简介
1、数学实验报告计算平面图形的面积一、 目的:探索曲线拟合的不同方式,了解泰勒公式的意义,并且对运用定积分计算任意平面图形的面积有更深入的认识。能初步运用所学数学知识及数学软件工具matlab解决实际问题。二、 任务1在同一坐标系内作出区间上对数函数及多项式函数的图像,观察这些多项式函数逼近指数函数的情况。3假定某天的天气变化,试找出这一天的气温变化规律(求气温关于时间的函数)。时刻t(x)0123456789101112温度oC(y)15141414141516182022232528时刻t(x)131415161718192021222324温度oC(y)3132312927252422201
2、817164比较这两种方法各自的优点和缺点。对于给定的数据,运用Matlab及以上两种不同的方法找出相应的多项式,并作出其图像。你认为哪种方法要好些。你能不能找到其他的办法解决这个问题。5在平面上任意画一条简单光滑闭曲线,求此闭曲线围成的平面图形的面积。并观察当曲线上取的点逐渐增加时,所求多项式及所求面积值的变化情况。三、 实验过程1、实验的主要代码如下:x=-1: 0.001:1; y=log(1+x) ; y1=x; y2=x-(x.2)/2 ; y3=x-(x.2)/2+(x.3)/3 ;y4=x-(x.2)/2+(x.3)/3-(x.4) /4;plot (x , y , 'k
3、' , x , y1 , 'm' , x , y2 , 'g' , x , y3 , 'c',x , y4 , 'b') legend('ln(1+x) ','x','x-(x.2)/2','x-(x.2)/2+(x.3)/3 ','x-(x.2)/2+(x.3)/3-(x.4) /4 ');运行结果如下:由以上运行结果可看出,泰勒展开阶数越多,多项式函数逼近指数函数的情况越好。3、4、(1)、拉格朗日插值法若采用所有的点,其主要程序如下:X1
4、=0:24;15 14 14 14 14 15 16 18 20 22 23 25 28 31 32 31 29 27 25 24 22 20 18 17 16;t1=X1(1, : ) ; y1=X1(2 , : ) ; for i=1:length(X1) b( i , 1 ) = 1 ; for j=2:length(X1) b( i , j ) = X1 ( 1 , i ) . ( j - 1 ) ; end ;enda1=inv( b ) * y1' for i=1 : 25 h1( i ) = a1 ( 26 - i ) ; end , h1s=0 : 0.01 : 24;
5、 k1=polyval( h1 , s ) ; plot( s , k1 , ' b - ' ) hold onplot( t1 , y1 , 'r.' , 'MarkerSize' , 18 )运行的结果如下:若采用部分点,主要程序如下:X1=0:3:24;15 14 16 22 28 31 25 20 16;t1=X1(1, : ) ; y1=X1(2 , : ) ; for i=1:length(X1) b( i , 1 ) = 1 ; for j=2:length(X1) b( i , j ) = X1 ( 1 , i ) . ( j -
6、 1 ) ; end ;enda1=inv( b ) * y1' for i=1 : 9 h1( i ) = a1 ( 10 - i ) ; end , h1s=0 : 0.01 : 24; k1=polyval( h1 , s ) ; plot( s , k1 , ' b - ' ) hold onplot( t1 , y1 , 'r.' , 'MarkerSize' , 18 )clear其运行的结果如下:由以上可知,用拉格朗日插值法,并不是取的点越多越好, 取得点太多,拟合的情况反而不好。找出的相应的多项式为:(2)采用最小二乘法若
7、采用所有的点,主要代码如下:function myfun4(n)X=0:24;15 14 14 14 14 15 16 18 20 22 23 25 28 31 32 31 29 27 25 24 22 20 18 17 16;f = polyfit ( X ( 1 , : ) , X ( 2 , : ) , n ) ;pf=poly2str(f,'x')s = X ( 1 , 1 ) : 0.01 : X ( 1 , length ( X ) ) ;k = polyval ( f , s ) ;plot( s , k , 'b - ' )hold onplot
8、( X ( 1 , : ) , X ( 2 , : ) , 'r . ' , 'MarkerSize' , 18 )hold off运行的结果如下:若采用部分点,主要的代码如下:function myfun4(n)X=0:3:24;15 14 16 22 28 31 25 20 16;f = polyfit ( X ( 1 , : ) , X ( 2 , : ) , n ) ;pf=poly2str(f,'x')s = X ( 1 , 1 ) : 0.01 : X ( 1 , length ( X ) ) ;k = polyval ( f , s
9、 ) ;plot( s , k , 'b - ' )hold onplot( X ( 1 , : ) , X ( 2 , : ) , 'r . ' , 'MarkerSize' , 18 )hold off采用部分点得到的多项式为:通过以上的比较可知:当采用的数据点较多时,最小二乘法的拟合情况比拉格朗日插值法好;当采用的数据点不多时,拉格朗日插值法的拟合情况比最小二乘法好;其它解决办法:要找出一天的气温变化规律,可以采用分时拟合办法,即分不同的时间段的变化规律,现将以上数据分段,分为07,815,1624,并分别对其进行最小二乘法拟合,主要的代码
10、如下:07:function myfun4(n)X=0:7;15 14 14 14 14 15 16 18;f = polyfit ( X ( 1 , : ) , X ( 2 , : ) , n ) ;s = X ( 1 , 1 ) : 0.01 : X ( 1 , length ( X ) ) ;k = polyval ( f , s ) ;plot( s , k , 'b - ' )hold onplot( X ( 1 , : ) , X ( 2 , : ) , 'r . ' , 'MarkerSize' , 18 )hold off815:
11、function myfun4(n)X=8:15;20 22 23 25 28 31 32 31;f = polyfit ( X ( 1 , : ) , X ( 2 , : ) , n ) ;s = X ( 1 , 1 ) : 0.01 : X ( 1 , length ( X ) ) ;k = polyval ( f , s ) ;plot( s , k , 'b - ' )hold onplot( X ( 1 , : ) , X ( 2 , : ) , 'r . ' , 'MarkerSize' , 18 )hold off1624:func
12、tion myfun4(n)X=16:24;29 27 25 24 22 20 18 17 16;f = polyfit ( X ( 1 , : ) , X ( 2 , : ) , n ) ;s = X ( 1 , 1 ) : 0.01 : X ( 1 , length ( X ) ) ;k = polyval ( f , s ) ;plot( s , k , 'b - ' )hold onplot( X ( 1 , : ) , X ( 2 , : ) , 'r . ' , 'MarkerSize' , 18 )hold off运行的结果如下:分
13、段拟合,能有效地减少误差,能够更好地反应真实情况。5、任意给出一些点构成图形:假设上边界的数据:x1=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9;5,5.6,6,6.6,7,7.7,7,6.6,6,5;假设下边界的数据:x2=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9;5,4.4,4.1,3.6,2.7,3.2,3.8,4.4,4.8,5;用最小二乘法得出他们的多项式,其主要代码如下:function myfun4(X,n)f = polyfit ( X ( 1 , : ) , X ( 2 , : ) , n ) ;pf=poly2str(f,'x')s = X ( 1 , 1 ) :
14、 0.01 : X ( 1 , length ( X ) ) ;k = polyval ( f , s ) ;plot( s , k , 'b - ' )hold onplot( X ( 1 , : ) , X ( 2 , : ) , 'r . ' , 'MarkerSize' , 18 )hold off运行的结果如下:计算面积的代码如下:f1=inline('-0.00013539*x.7 + 0.0037369*x.6 - 0.038178*x.5 + 0.17418*x.4 - 0.33711*x.3+ 0.163*x.2 + 0.6358*x + 4','x') q1=quadl(f1,0
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