第五章一元函数积分学

1、第五章一元函数积分学本章前半部分介绍不定积分的概念及其计算方法，然后简单介绍微分方程的基本概念以及利用不定积分方法求解两类简单微分方程；后半部分介绍定积分的概念、计算方法，以及定积分在几何和物理的应用。本章内容占全出考试内容25%。重点是不定积分和定积分计算，难点是换元法，分部积分。5.1原函数与不定积分的概念一、原函数与不定积分定义5.1设f(x)是定义在区间I上的一个函数。如果F(x)是区间I上的可导函数，并且对任意的均有或Df(x)=f(x)dx则称F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数。例如，因为对任意的均有，所以sinx是cosx在区间（-，+）内的一个原函数。因为对任意的均有，所

2、以arcsinx是在（-1，1）内的一个原函数。显然，一个函数的原函数不是唯一的。事实上，如果F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数，即，那么，对任意常数C，均有，从而F(x)+C也是f(x)在区间I上的原函数。这说明，如果函数f(x)在区间I上有一个原函数，那么f(x)在I上有无穷多个原函数。另一方面，如果函数F(x)和G(x)都是函数f(x)在区间I上的原函数，那么，从而G(x)-F(x)=C，即G(x)=F(x)+C，其中C为某个常数。因此，如果函数f(x)在区间I上有一个原函数F(x)，那么f(x)在区间I上的全体原函数组成的集合为函数族。定义5.2如果函数f(x)在区间I上有原函数

3、，那么称f(x)在I上的全体原函数组成的函数族为函数f(x)在区间I上的不定积分，记为，其中记号称为积分号，f(x)称为被积函数，f(x)dx称为被积表达式，x称为积分变量。由定义以及前面的说明知，如果F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数，那么，其中C为任意常数，例如，。一个函数要具备什么条件，才能保证它的原函数一定存在呢？关于这个问题，我们有如下结论，（证明略去）定理5.1（原函数存在定理）如果函数f(x)在区间I上连续，那么f(x)在区间I上一定有原函数，即一定存在区间I上的可导函数F(x)，使得。简单地说就是：连续函数必有原函数。由于初等函数在其定义区间上连续，所以初等函数在其定义区

4、间上一定有原函数。怎样求一个连续函数的原函数或不定积分呢？后面几节讨论这个问题。下面仅给出一些简单函数的不定积分的例子。例1：求不定积分。答疑编号10050101：针对该题提问解：因为，所以为函数xa的一个原函数。故。例2：求不定积分。答疑编号10050102：针对该题提问解：当x0时，；当x0），dx=2tdt，由第二换元积分法有：答疑编号10050401：针对该题提问（2）为了消除根式，令x=t6（t0）则dx=6t5dt并且，由第二换元积分法有答疑编号10050402：针对该题提问例2求不定积分答疑编号10050403：针对该题提问解：为了消去根式，利用三角恒等式sin2t+cos2t=

5、1，可令x=asint（-/2t/2），则：因此，由第二换元积分法，所求积分化为由于x=asint（-/2t/2），所以t=arcsin（x/a）于是 例3求不定积分答疑编号10050404：针对该题提问解：为了消去根式，利用三角恒等式1+tan2x=sec2x，令x=atant（-/2t/2）由第二换元积分法有由于，所以因此其中C=C1-1na例4求不定积分答疑编号10050405：针对该题提问解：为了消去根式，利用三角恒等式1+tan2x=sec2x，令x=asect（0t/2）,则于是由于，所以因此其中c=c1-1na从例2例4中可以看出：如果被积函数含有 ，则可以分别作代换x=asin

6、t，x=atant，x=asect消去根式，采用这种形式换元的方法称为三角换元法或三角代换法，具体解题时要分析被积函数的具体情况，选取尽可能简捷的代换，不要只拘泥于三角代换。例5计算下列不定积分（1） （2）解（1）令，则，于是答疑编号10050406：针对该题提问（2）令 ,则，于是答疑编号10050407：针对该题提问例5中所用的变量代换称做倒代换，也是一种比较常用的方法。5.3分部积分法5.2利用复合函数求导法则得到了换元积分法，本节将利用两个函数乘积的求导法则推导出求不定积分的另一种基本方法分部积分法。设函数u=u（x）和v=v（x）在区间I上有连续导数，则u（x）v（x）在区间I上也

7、有连续导数，并且移项得对以上等式两边求不定积分得（1）公式（1）称为分部积分公式，如果求比较困难，而求比较容易，那么就可以利用分部积分公式来计算。为了简便起见，常常将公式（1）写成如下形式：（2）公式（2）也称做分部积分公式。用分部积分公式求不定积分常见情况有三类（一）（1）（2）（3） （4）（n=1.2）（二）（5）（6）（7）（三）（8）（9）第三种类型要用分部积分公式两遍例1：求不定积分（1）【答疑编号：10050501针对该题提问】（2） 【答疑编号：10050502针对该题提问】（3） 【答疑编号：10050503针对该题提问】（4）【答疑编号：10050504针对该题提问】（5）

8、 【答疑编号：10050505针对该题提问】（6） 【答疑编号：10050506针对该题提问】（7）【答疑编号：10050507针对该题提问】（8） 【答疑编号：10050508针对该题提问】（9） 【答疑编号：10050509针对该题提问】（10） 【答疑编号：10050510针对该题提问】（11） 【答疑编号：10050511针对该题提问】（12）【答疑编号：10050512针对该题提问】例2：求不定积分（1） 【答疑编号：100505013针对该题提问】（2）【答疑编号：10050514针对该题提问】（3） 【答疑编号：10050515针对该题提问】（4） 【答疑编号：10050516针

9、对该题提问】（5）【答疑编号：10050517针对该题提问】（6）【答疑编号：10050518针对该题提问】（7） 【答疑编号：10050519针对该题提问】（8）【答疑编号：10050520针对该题提问】（9） 【答疑编号：10050521针对该题提问】（10）【答疑编号：10050522针对该题提问】令x=sintdx=costdt【答疑编号：10050523针对该题提问】例3：求不定积分（1）【答疑编号：10050601针对该题提问】（2）解：（1）（2）【答疑编号：10050602针对该题提问】由得 由+得例3的结果可以作写积分公式使用公式（26）公式（27）特别情形例如用公式（26）

10、（27）有例4：求不定积分（1）【答疑编号：10050603针对该题提问】（2）【答疑编号：10050604针对该题提问】（3）【答疑编号：10050605针对该题提问】（4）【答疑编号：10050606针对该题提问】（5）【答疑编号：10050607针对该题提问】解（1）令（2）令，dx=2dt原式（3）（4） （5）例5：设f（x）有一个原函数为，求【答疑编号：10050608针对该题提问】解：因为为f（x）的一个原函数，所以并且，因此5.4有理分式不定积分举例例1.求不定积分（1）【答疑编号：10050609针对该题提问】（2）【答疑编号：10050610针对该题提问】（3）【答疑编号：

11、10050611针对该题提问】（4）【答疑编号：10050612针对该题提问】解：（1） （2） （3）（4）例2：求不定积分（1）【答疑编号：10050613针对该题提问】（2）【答疑编号：10050614针对该题提问】（3）【答疑编号：10050615针对该题提问】（4）【答疑编号：10050616针对该题提问】解：（1）（2）（3） （4）5.5微分方程初步一、微分方程的基本概念下面通过具体的例子来说明微分方程的有关概念。引例：一曲线通过点(1,-1)点，并且该曲线上任一点处的切线斜率等于其横坐标平方的倒数。求这条曲线的方程。答疑编号10050701：针对该题提问解设所求曲线方程为y=y

12、(x)，则根据题意可知，未知函数y=y(x)满足关系式 （1）此外，未知函数y=y(x)还满足条件：y(1)=-1 （2）将（1）式两端积分得,即得,（3）其中C为任意常数。将条件（2）代入（3）式得，-1=-1+C，从而C=0代入（3）式即得所求曲线的方程。（4）我们将联系自变量x,一元未知函数y(x)以及它的导数（或微分）的关系式称做微分方程。微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数为微分方程的阶。如果将某个函数及其各阶导数代入微分方程，能使方程成为恒等式，那么称这个函数是微分函数方程的一个解。例如，是的解。如果微分方程的解中含有任意常数并且相互无关的任意常数的个数正好是方程的阶数，则称

13、此解为微分方程的通解。例如，是的通解。如果微分方程的解中不含任意常数，称此解为特解。例如，是时的特解。二、可分离变量的微分方程如果一个一阶微分方程可以表示成（1）或,(2)则称之为可分离变量的微分方程。假定方程（1）中的函数g(x),h(y)连续，并且h(y)0，则分离变量得到.上式两端积分通解为H(y)=G(x)+C这样的通解称为方程的隐式解，即由它确定的隐函数是微分方程的解。以上这种求解微分方程的方法称为分离变量法。下面通过具体的例子进一步说明。例1求微分方程的通解。答疑编号10050702：针对该题提问解：原方程是可分离变量的方程，移项分离变量得，两端积分得例2求微分方程满足条件的特解。

14、答疑编号10050703：针对该题提问解答：第一步解微分方程原方程可分离变量的方程，分离变量后得，两端积分得将变为lnC，即令=lnC,解有去掉对数得方程之通解为,其中C为任意常数。往后我们都这样简写，不再一一说明。第二步，求C。条件x=1时，y=1代入解中有1=C,特解为例3求微分方程的通解。答疑编号10050704：针对该题提问解原方程是可分离变量的方程，分离变量后得，两端积分得从而为原方程之通解，其中C为任意常数。三、一阶线性微分方程形如(17)的方程，因为未知函数y及其导数都是一次的，所以称为一阶线性微分方程。如果Q(x)=0,则称方程（17）为一阶线性齐次微分方程；否则称之为一阶线性

15、非齐次微分方程。的通解，这里的不定积分号均仅表示某个确定的原函数。一阶线性非齐次微分方程的通解也可以写成下列形式：，下面用具体的例子来阐述如何用公式求解一阶线性非齐次微分方程。例4求微分方程的通解。答疑编号10050705：针对该题提问这是一个一阶线性非齐次微分方程，其中。由通解公式知，原方程的通解为即原方程的通解为注：用公式解法时注意。在初等数学中叫还原公式。例5求微分方程满足条件的特解。答疑编号10050706：针对该题提问解：第一步是求微分的通解。原方程变形为,这是一个一阶线性非齐次微分方程，其中P(x)=tanx,Q(x)=secx.由通解公式得即原方程的通解为.第二步求C，由初始条件

16、得C=1，从而所求特解为y=sinx+cosx.例6求微分方程的通解。答疑编号10050707：针对该题提问解:若以y=y(x)为未知函数，这不是线性微分方程，但若以y为自变量，x=x(y)为未知函数，则方程变为, 这就是一个一阶线性非齐次微分方程，其中,Q(y)=1。由通解公式得即原方程的通解为x=ylny+Cy.5.6定积分的概念及其几何意义一、引例1曲边梯形的面积设y=f(x)在区间a,b上非负、连续。由直线x=a,x=b,y=0以及曲线y=f(x)所围成的图形（如图5.6所示）称为曲边梯形，其中曲线弧称为曲边。我们知道，矩形的高是不变的，它的面积可以用公式矩形面积=底高来定义和计算，但

17、是我们该如何定义并计算出曲边梯形的面积呢？显然，我们不能直接利用上述公式计算曲边梯形的面积，因为曲边梯形底边上各点处的高f(x)在区间a,b上是变动的。然而，由于f(x)在区间a,b上连续，所以在很小的一段小区间上它的变化非常小，可以近似地看做不变。因此，如果将区间a,b划分成许多小区间，相应地就将曲边梯形划分为许多窄曲边梯形，每一个小区间对应一个窄曲边梯形，由于小区间很小时，其上各点处的f(x)变化也很小，因而对应的窄曲边梯形可以近似地看做窄矩形，而小区间上任意一处的高f(x)都可以近似地看做这个窄矩形的高。将所有这些窄矩形面积的和作为曲边梯形面积的近似值，并把区间a,b无限细分下去，即让每

18、个小区间的长度都趋于0，所有窄矩形面积和的极限就定义为曲边梯形的面积。以上曲边梯形面积的定义同时给了计算曲边梯形面积的方法。具体步骤如下：（1）划分分曲边梯形为n个小曲边梯形。在a,b中任意插入n-1个分点，将区间分成n个小区间记小区间的长度为。过每个分点作平行于y轴的直线，将曲边梯形分割成n个小曲边梯形（如图5.6所示），其面积依次记做。（2）近似“以直代曲”在每个小区间上任取一点，以为底，为高作小矩形，以此矩形的面积作为相应小曲边梯形面积的近似值：。（3）求和求n个小矩形面积之和将n个小矩形的面积加起来得到原曲边梯形面积A的一个近似值：即。（4）取极限由近似值过渡到精确值。记所有小区间长度

19、的最大值为.当时，如果和式的极限存在，则定义此极限值为曲边梯形的面积：。2.变速直线运动的位移设物体作直线运动，其速度v=v(t)是时间间隔上的连续函数，且v(t)0。试求物体在时间间隔内的位移s。我们知道，当物体作匀速直线运动时，位移公式是位移=速度时间现在速度不是均匀的（即速度不是常量），而是变化的，因此不能直接利用匀速直线运动的位移公式来计算位移。但是，物体运动的速度v=v(t)是连续变化的，所以在很小的时间间隔内速度变化很小，可以近似地看做匀速运动。因此，我们可以将时间间隔分成若干小的时间间隔段，在每个小的时间间隔段内以匀速运动去近似变速运动，就可以算出该小时间间隔段里位移的近似值；然

20、后再求和就得到整个时间间隔内的总位移的近似值；最后，通过对时间间隔无限细分的极限过程，得到所求变速直线运动位移的精确值。具体步骤如下：（1）划分分整个时间间隔为n个小时间间隔段。在中任意插入n-1个分点，将区间分成n个小区间。相应地，各小时间间隔内的位移依次记为。（2）近似“以匀代变”在每个小时间间隔上任取一点,以时刻的速度v()来近似时间段内各时刻的速度，将物体视为作匀速直线运动，得到这段时间间隔上的位移的近似值：。（3）求和求n个小时间间隔段内位移之和。将n个小时间间隔段上的位移的近似值加起来便得到变速直线运动的总位移s的近似值：即（4）取极限由近似值过渡到精确值记所有小时间间隔区间长度的

21、最大值为当0时，若和式的极限存在，则其即为变速直线运动物体在时间间隔上的位移：二、定积分的概念1.定积分的定义虽然以上两个例子一个讨论的是几何问题，而另一个讨论的是物理问题，但是最终都化成了一个特定和式的极限，在其他科学技术中，这样类似的问题非常普遍。因此有必要抛开这些问题的具体意义，抓住它们在数量关系上的共同的本质和特性加以概括。这样我们就抽象出下述定积分的概念。定义5.3设函数y=f(x)在区间a,b上有界，在区间a,b中任意插入n-1个分点,将区间分成n个小区间各小区间的长度记为（i=1,2,n）在每个小区间上任取一点,作乘积，并作和式.记.如果不论如何划分区间a,b，也不论小区间上点如

22、何选取，只要当0时，和S总趋于确定的极限I，那么我们称这个极限I为函数f(x)在区间a,b上的定积分（简称积分），记做，即其中f(x)称做被积函数，f(x)dx称做被积表达式，x称做积分变量，a称做积分下限，b称做积分上限，a,b称做积分区间。如果函数f(x)在区间a,b上的积分存在，我们就称函数f(x)在区间a,b上可积。2.定积分的几何意义我们已经知道如果在区间a,b上f(x)0，则定积分在几何上表示由曲线y=f(x)与直线x=a,x=b以及x轴所围成的曲边梯形的面积。同样，可以证明：如果在a,b上f(x)0, 则定积分在几何上表示由曲线y=f(x)与直线x=a,x=b以及x轴所围成的曲边

23、梯形的面积的相反数（如图5.7（a）所示）；如果在a,b上f(x)既取正值又取负值，那么函数的图形有些位于x轴上方，而有些位于x轴的下方，此时定积分在几何上表示由曲线y=f(x)与直线x=a,x=b以及x轴所围成的曲边梯形的面积的代数和，位于x轴上方的图形面积取正，位于x轴下方的图形面积取负（如图5.7(b)所示）。三、定积分的存在定理既然已经给出了一个函数在一个区间上定积分的概念，那么一个非常重要的问题就出现了：函数f(x)在区间a,b上满足什么样的条件时，才一定在区间a,b上可积呢？对于这个问题我们不作深入讨论，而只给出可积的两个充分条件。定理5.6设函数f(x)在区间a,b上连续，则f(

24、x)在a,b上可积。定理5.7设函数f(x)在区间a,b上有界，并且只有有限个间断点，则f(x)在a,b上可积。在以后的讲座中，如不作特别的说明，总假定所讨论的定积分是存在的。本节最后举例说明如何利用积分定义计算定积分。5.7定积分的基本性质为了将来定积分的计算，本节先介绍定积分的几个基本性质。由于定积分是特殊和式的极限，所以由极限的性质可以推出定积分的以下性质。性质1若f(x),g(x)在a,b上可积，则f(x)g(x)在a,b上也可积，并且。性质2若f(x)在a,b上可积，k为任意常数，则kf(x)在a,b上也可积，并且性质1和性质2统称为定积分的线性性质。性质3设f(x)在a,b上可积，

25、acb，则f(x)在a,c和c,b上可积；反之，若f(x)在a,c和c,b上可积，则f(x)在a,b上也可积，并且。性质3称为定积分对区间的可加性，对其证明不作要求，其正确性请看图形说明。性质4例1设，试计算定积分。答疑编号10050801：针对该题提问解：画出图形，如图5.9所示：由性质3知。由定积分的几何意义知，是由x轴，y轴以及单位圆周位于第二象限的部分围成的四分之一圆的面积即类似地，是由x轴，y轴以及直线y=1-x围成的三角形的面积（如图5.9所示），即，因此。性质5如果在a,b上f(x)1，则。事实上，就是x轴，x=a,x=b以及y=1围成的矩形的面积b-a。（见下图）性质6设f(x

26、)在区间a,b上可积，并且f(x)0（xa,b），则。这个性质很容易由定积分的定义推出。当然，从定积分之几何意义也容易看出，事实上，由于是由x轴，x=a,x=b以及曲线y=f(x)围成的曲边梯形的面积，故。由性质6出发，不难得到如下推论。推论1设f(x)和g(x)在a,b上可积，并且在a,b上f(x)g(x)，则推论1又称做比较性质，它告诉我们函数大的积分就大，函数小的积分就小。由推论1还推出如下推论。推论2设f(x)在a,b上可积，则。例2试比较定积分与的大小。答疑编号10050802：针对该题提问解因为当x1，2时，ln1lnxln2lne，0lnxb的情形也成立。为了方便，有时将F(b)-F(a)记成，这样牛顿-莱布尼茨公式又可以写成.由牛顿-莱布尼茨公式可知.这个结果说明定积分是一个数而且它的大小与积分变量无关。下面举例说