简单的线性规划问题理

1、第四节 简单的线性规划问题（文）知识要点梳理（1）二元一次不等式表示的平面区域：在平面直角坐标系中，设有直线（B不为0）及点，则若B>0，则点P在直线的上方，此时不等式表示直线的上方的区域；若B>0，则点P在直线的下方，此时不等式表示直线的下方的区域；（注：若B为负，则可先将其变为正）由此可知，二元一次不等式在平面直角坐标系中表示直线某一侧所有点组成的平面区域。我们把直线画成虚线以表示区域不含边界直线.当我们在坐标系中画不等式所表示的平面区域时，此区域应包括边界直线，则把边界直线画成实线.由于对在直线同一侧的所有点，把它的坐标代入，所得到的实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧

2、取一个特殊点，从的正负情况，即可判断表示直线哪一侧的平面区域.特殊地，当时，直线不过原点，通常把原点作为特殊点.2.线性规划:求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题.满足线性约束条件的解（x，y）叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域（类似函数的定义域）；使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做最优解。生产实际中有许多问题都可以归结为线性规划问题.线性规划问题一般用图解法，其步骤如下：（1）根据题意，设出变量x、y；（2）找出线性约束条件；（3）确定线性目标函数z=f（x，y）；（4）画出可行域（即各约束条件所示区域的公共区域）；（5）利用线性目标函数作

3、平行直线系f（x，y）=t（t为参数）；（6）观察图形，找到直线f（x，y）=t在可行域上使t取得欲求最值的位置，以确定最优解，给出答案。3特别注意: 解线性规划时应先确定可行域；注意不等式中与对可行域的影响；还要注意目标函数中和在求解时的区别.疑难点、易错点剖析本节的主要内容是用二元一次不等式（组）表示平面区域，解决简单的线性规划问题，根据实际问题中的已知条件，找出约束条件和目标函数，利用图解法求得最优解，刻画平面区域是解决问题的关键所在.从实际问题中抽象出二元一次不等式（组），二元一次不等式（组）表示的平面区域及简单的二元线性规划问题是本节的重点，而难点则是二元一次不等式表示的平面区域的探

4、究过程及从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决.问题1 如何确定二元一次不等式的表示平面区域？ 【解析】 确定二元一次不等式表示的平面区域时，经常采用“直线定界，特殊点定域”的方法.（1） 直线定界，即若不等式不含等号，则应把直线画成虚线；若不等式含有等号，把直线画成实线.（2） 特殊点定域，即在直线的某一侧取一个特殊点作为测试点代入不等式检验，若满足不等式，则表示的就是包括该点的这一侧，否则就表示直线的另一侧.特别地，当时，常把原点作为测试点；当时，常选点或者作为测试点.问题2 怎样把握线性规划问题的求解策略？【解析】解决简单线性规划问题的方法是图解法，借助直线（把线性目

5、标函数看成斜率为常数的一族平行直线）与平面区域（可行域）的交点，直线在轴上的截距的最大值或最小值求解.其一般步骤是：（1）设出所求未知数；（2）列出约束条件（即不等式组）；（3）建立目标函数；（4）作出可行域； （5）运用图解法求出最优解.其中分析题目的已知条件准确找出约束条件和目标函数是关键，可以把题目涉及的量分类列表，理清思路，然后列出不等式组（或方程组）确定约束条件和目标函数.如果可行域是一个多边形，那么一般在其顶点处取得最优解. 在求线性目标函数z=ax+by的最大值或最小值时，设ax+by=t，则此直线往右（或左）平移时，t值随之增大（或减小），要会在可行域中确定最优解.解线性规划应

6、用题步骤：（1）设出决策变量，找出线性约束条件和线性目标函数； （2）利用图象在线性约束条件下找出决策变量，使线性目标函数达到最大（或最小）.问题3 线性规划有哪些实际应用解析 简单的线性规划在实际生产生活中应用非常广泛，主要解决的问题是：在资源的限制下，如何使用资源来完成最多的生产任务；或是给定一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的资源来完成.如常见的任务安排问题、配料问题、下料问题、布局问题、库存问题，通常解法是将实际问题转化为数学模型，归结为线性规划，使用图解法解决.图解法解决线性规划问题时，根据约束条件画出可行域是关键的一步.一般地，可行域可以是封闭的多边形，也可以是一侧开放的非封闭

7、平面区域.第二是画好线性目标函数对应的平行直线系，特别是其斜率与可行域边界直线斜率的大小关系要判断准确.通常最优解在可行域的顶点（即边界线的交点）处取得，但最优整数解不一定是顶点坐标的近似值.它应是目标函数所对应的直线平移进入可行域最先或最后经过的那一整点的坐标直击考点考点一 二元一次不等式（组）表示的平面区域例 1 画出不等式表示的平面区域.O142231图【思路分析】遵循直线定界，特殊点定域的方法即可.【解答】先作出边界，因为这条线上的点都不满足，所以画成虚线. 取原点，代入因为，所以原点在表示的平面区域内，不等式表示的区域如图7.4.1. 锦囊妙计：这是处理线性规划问题的基础，必须仔细体

8、会.例2、画出下列不等式（或组）表示的平面区域图（2）求不等式表示的平面区域的面积。解：（1）不等式x-2y+1>0表示直线x-2y+1>0右下方的点的集合不等式x+2y+10表示直线x+2y+10右上方的点的集合不等式可化或，它表示夹在两平行线x=-1和x=1之间或夹在两平行线x=3或x=5之间的带状区域，但不包括直线x=1或x=3上的点所以原不等式表示的区域如图所示(2)思路分析：依据条件画出所表达的区域，再根据区域的特点求其面积图(1)yx解法一：（2）先画出的图形，由对称性得表示的图形，如图(1)：，再把图形向右、向左都平移1个单位得的图形，如图(2)图(2)yx表示图(2

9、)中的正方形内部，故所求的平面区域的面积为S=8（单位）解法二：x1+y12可化为或或或x1， x1， x1， x1，y1， y1， y1， y1，x+y 4 xy 2 yx 2 x+y0.其平面区域如图(2).面积S=×4×4=8.若再求：；的值域，你会做吗？答案： （，+）；1，5【锦囊妙计】画图时应注意准确，要注意边界，若不等式中不含“=”号，则边界应画成虚线，否则应画成实线。举一反三：用平面区域表示不等式组的解集.O448812图7.4.4分析与解：由于所求平面区域的点的坐标要同时满足两个不等式，因此二元一次不等式组表示的平面区域是各个不等式表示的平面区域的交集，即

10、各个不等式表示的平面区域的公共部分.不等式表示直线下方的区域；不等式表示直线上方的区域.取两区域重叠的部分，图中的阴影部分就表示原不等式组的解集.考点二 应用线性规划求最值例 3 设x,y满足约束条件分别求：(1)z=6x+10y；(2)z=2x-y；(3)z=2x-y，(x,y均为整数)的最大值，最小值。【思路分析】由于所给的约束条件及目标函数均为关于的一次式，所以此问题是简单线性规划问题，使用图解法求解.解：（1）先作出可行域，如图所示中的区域，且求得A(5,2),B(1,1),C(1,)作出直线L0：6x+10y=0，再将直线L0平移当L0的平行线过B点时，可使z=6x+10y达到最小值

11、当L0的平行线过A点时，可使z=6x+10y达到最大值所以zmin=16;zmax=50（2）同上，作出直线L0：2x-y=0，再将直线L0平移，当L0的平行线过C点时，可使z=2x-y达到最小值当L0的平行线过A点时，可使z=2x-y达到最大值所以zmin=16;zmax=8（3）同上，作出直线L0：2x-y=0，再将直线L0平移，当L0的平行线过C点时，可使z=2x-y达到最小值，当L0的平行线过A点时，可使z=2x-y达到最大值8但由于不是整数，而最优解（x,y）中，x,y必须都是整数，所以可行域内的点C(1,)不是最优解，当L0的平行线经过可行域内的整点(1,4)时，可使z=2x-y达

12、到最小值，所以zmin=-2锦囊妙计：(1)、线性目标函数的最大（小）值一般在可行域的顶点处取得，也可能在边界处取得。(如：上题第一小题中z=6x+10y的最大值可以在线段AC上任一点取到)（2）、求线性目标函数的最优解，要注意分析线性目标函数所表示的几何意义在y轴上的截距或其相反数。图举一反三：设满足约束条件：，的最小值.【解答】 作出不等式组表示的平面区域，即可行域，把变形为，得到斜率为3，在轴上的截距为，并且随变化的一族平行直线.由图7.4.5可以看出，当直线经过可行域上的点A时，截距最小.解方程组，得点A的坐标为.所以的最小值为. 考点三 线性规划的实际应用例4、某人上午7时，乘摩托艇

13、以匀速V海里时(4V20)从A港出发到距50海里的B港去，然后乘汽车以匀速W千米时(30W100)自B港向距300千米的C市驶去，应该在同一天下午4至9点到达C市.设汽车、摩托艇所需的时间分别是x、y小时，(1) 作出表示满足上述条件的x、y范围；(2) 如果已知所要经费P=100+3·(5-x)+2·(8-y)(元)，那么V、W分别是多少时，走得最经济?此时需花费多少元?解：由题得，y2y+3x=381491491032.5ox2y+3x=012.5 所以 ， 由于乘汽车、摩托车所需的时间和应满足：，因此满足上述条件的点（x,y）的范围是图中的阴影部分（包括边界）（2）

14、P=100+3·(5-x)+2·(8-y) 要使最小，则最大。在图中的阴影部分区域（包括边界）且斜率为的直线中，使k值最大的直线必通过点（10，4），即当x=10, y=4时p最小。此时，v=12.5. w=30, p的最小值为39元。【锦囊妙计】要能从实际问题中，建构有关线性规划问题的数学模型举一反三：某矿山车队有4辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车,有9名驾驶员,此车队每天至少要运360吨矿石至冶炼厂。已知甲型卡车每辆每天可往返6次，乙型卡车每辆每天可往返8次。甲型卡车每辆每天的成本费为252元，乙型卡车每辆每天的成本费为160元。问每天派出甲型车与

15、乙型车各多少辆，车队所花费成本最底？解：设每天派出甲型车x辆，乙型车y辆，车队所花成本费为z元，那么 其中y作出不等式组所表示的平面区域，即可行域，如图中绿色区域。5x+4y=30xo作出直线：把直线向右上方平移，使其经过可行域上的整点，且使在y轴的截距最小。观察图形，可见当直线经过点（2，5）时，满足x+y=9上面要求。此时，取得最小值，即x=2,y=5时， 答：每天派出甲型车2辆，乙型车5辆，车队所用成本费最低。【锦囊妙计】由于派出的车辆数为整数，所以必须寻找最优整数解。这对作图的要求较高，平行直线系的斜率要画准，可行域内的整点要找准，最好使用“网点法”先作出可行域内的各整点，然后以z取得

16、最值的附近整数为基础通过解不等式组可以找出最优解。图 例 5 某厂拟生产甲、乙两种适销产品，每件销售收入分别为3千元、2千元.甲、乙产品都需要在A，B两种设备上加工，在每台A，B上加工一件甲所需工时分别为1小时、2小时，加工一件乙所需工时分别为2小时、1小时，A，B两种设备每月有效使用台时数分别为400和500.如何安排生产可使收入最大？【思路分析】这个问题的数学模型是二元线性规划.为此，需要确定线性约束条件和线性目标函数.【解答】设甲、乙两种产品的产量分别为，则约束条件是，目标函数是.要求出适当的，使取得最大值.如图,先画出可行域.考虑，是参数，将它变形为，这是斜率为，随变化的一族直线. 是

17、直线在y轴上截距，当最大时,最大，当然直线要与可行域相交，即在满足约束条件时，目标函数取得最大值.容易求得两直线与的交点是（200，100），即安排生产甲产品200件、乙产品100件，可使收入取得最大值.【锦囊妙计】线性规划的实际问题包括两种基本类型：第一种是已知一定数量的人力、物力资源，求如何运用这些资源，能使完成的任务量最大、收到的效益最大；第二种是给定一项任务，问如何统筹安排才能使完成该项任务的人力、物力资源量最小.OBCA图7.4.7【举一反三】 1.某公司招收男职员名，女职员y名，和必须满足约束条件则的最大值是(A) 80 (B) 85 (C) 90 (D) 95分析与解：画出可行域

18、（图4-4中的阴影部分），易得A（5.5，4.5），注意到均为正整数，故，当且仅当时，取得最大值 故选（C）.2.要将甲乙两种大小不同的钢板截成A、B、C三种规格，每张甲种钢板可同时截得A、B、C三种规格的小钢板的块数分别是2，1，1，每张乙种钢板可同时截得A、B、C三种规格的小钢板的块数分别是1，2，3.现需要A、B、C三种规格的成品分别是15，18，27块，问甲乙两种钢板各需截多少块，使得所用钢板的总张数最少？分析与解：设所需甲种钢板张，乙种钢板张，所需钢板总数张，则问题的约束条件是，目标函数是.作出可行域（图略），运用图解法可知，当直线经过可行域上的两条直线和的交点时，截距最小.由于都不

19、是整数，所以点不是最优解.经过可行域内整点（横坐标，纵坐标都是整数的点）且使截距最小的直线是，经过的整点是和，它们是最优解.答：要截得所需规格的钢板，且使所用钢板的总张数最小的方法有两种，第一种截法是甲钢板3张，乙钢板9张；第二种截法是甲钢板4张，乙钢板8张.两种截法都最少要两种钢板12张.紧扣考纲大演练1.下列命题中正确的是A.点（0，0）在区域x+y0内； B.点（0，0）在区域x+y+1<0内C.点（1，0）在区域y>2x内； D.点（0，1）在区域xy+1>0内解析：将（0，0）代入x+y0，成立.答案：A表示的平面区域为为2.不等式组 2xy+10，x2y10，x+

20、y1 A.正三角形及其内部 B.等腰三角形及其内部C.在第一象限内的一个无界区域 D.不包含第一象限内的点的一个有界区域解析：将（0，0）代入不等式组适合C，不对；将（，）代入不等式组适合D，不对；又知2xy+1=0与x2y1=0关于y=x对称且所夹顶角满足tan=.答案：B3（07济南模拟）已知和是正整数，且满足约束条件则的最小值是（ ）(A) 24 (B) 14 (C) 13 (D) 11.5OCAB2图4-6分析与解：画出可行域，如图4-6所示，易得过点C时，直线取得最小值，解方程组，得点C的坐标为， 但由于x，y都是整数，最接近的整数解为（4，2），故所求的最小值为故选（B）.4（07

21、温州调研）在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域的面积是（ ）(A) (B) 4 (C) (D) 2图4-7分析与解：本题考查简单的线性规划的可行域、三角形的面积.由题意，作出已知的不等式组表示的平面区域，即所在区域（如图4-7所示），其中，三个顶点分别为. 于是，三角形的面积为.故选（B）.5变量满足下列条件：则使得的值最小的是 （ ）(A)(B)(C)(D)图4-8分析与解：仔细审题，准确作出可行域，如图4-8，发现可行域仅仅是一条线段，其中，解方程组得，点；解方程组得，点.再分析的几何意义可知，使的值最小的点为故选（B）.（文）6（06湖北）已知平面区域D由以为顶点的三角形内部和边界

22、组成.若在区域D上有无穷多个点可使目标函数zxmy取得最小值，则（ ）（A） 2 （B） 1 （C） 1 （D） 4分析与解：依题意，令z0，可得直线xmy0的斜率为，结合可行域可知当直线xmy0与直线AC平行时，线段AC上的任意一点都可使目标函数zxmy取得最小值，而直线AC的斜率为1，所以m1.故选（C）.二.填空题7.点（2，t）在直线2x3y+6=0的上方，则t的取值范围是_.解析：（2，t）在2x3y+6=0的上方，则2×（2）3t+60，解得t.答案：t8.不等式组表示的平面区域内的整点（横坐标和纵坐标都是整数的点）共有_个.解析：（1，1），（1，2），（2，1），共3

23、个.答案：3设z=，则z的最小值为_，最大值为 x4y+30，9.变量x、y满足条件3x+5y250， x1， _.解析：作出可行域，如图.当把z看作常数时，它表示直线y=zx的斜率，因此，当直线y=zx过点A时，z最大；当直线y=zx过点B时，z最小由 x1，3x5y250，得A（1，）.得B（5，2）.由 x4y+3=0，3x+5y25=0， zmax，zmin答案： 10（06广东）在约束条件下，当时，目标函数的最大值的变化范围是 .分析与解：由于约束条件是变化的，于是，先求出约束条件所表示的平面区域的顶点，以便寻找变化规律.如图，易知直线与坐标轴的交点分别是；直线与轴的交点为；又由，即

24、得两条直线的交图10点为.（1）当时，可行域是四边形OABC，此时，目标函数在点处取得最大值，即， .（2）当时，可行域是，此时，目标函数在点处取得最大值，即综上可知，目标函数的最大值的变化范围是. 三. 解答题11.画出以A（3，1）、B（1，1）、C（1，3）为顶点的ABC的区域（包括各边），写出该区域所表示的二元一次不等式组，并求以该区域为可行域的目标函数z=3x2y的最大值和最小值.分析：本例含三个问题：画指定区域；写所画区域的代数表达式不等式组； 求以所写不等式组为约束条件的给定目标函数的最值.解：如图，连结点A、B、C，则直线AB、BC、CA所围成的区域为所求ABC区域.直线AB的方程为x+2y1=0，BC及CA的直线方程分别为xy+2=0，2x+y5=0.在ABC内取一点P（1，1），分别代入x+2y1，xy+2，2x+y5得x+2y1>0，xy+2>0，2x+y5<0.因此所求区域的不等式组为x+2y10，xy+20，2x+y50.作平行于直线3x2y=0的直线系3x2y=t（t为参数），即平移直线y=x，观察图形可知：当直线y=xt过A（3，1）时，纵截距t最小