第01讲因式分解(含解答)

1、- 1 -A .1 -8(a-b)22 2B .(x-y)2C .8a-4a:2D .a(x -y)24 = 4(a -1)2(y x) = ( x y)( ab)( a b )九年级数学竞赛专题第一讲因式分解一、选择题1下列由左边到右边的变形中，其中是因式分解的是()2 2A. (2a+3)()2a-3)=4a -9;B. 4m -9=(2m+3)(2m-3)2C. m -16+3m=(m+4)(m-4)+3m; D . 2x(y+z)-3(y+z)=2xy + 2xz -3y -3z2下面各式的因式分解中，正确的是()m nm -1 n 1m n 1A . -7ab -14 + 49aby

2、 = 7ab(1- 2x + 7y);B. 3x y x y3x y -( y 3x)2C. 6(a b) 2( a) =2(a b)(3a 3b - 1) ; D . xy(x -y ) -x (y -x ) = x (x -y )(y T )3下面各式的因式分解中，正确的是（3 22=(1 -2a 2b)(1 - 2 a 2b - 4 a - 4 ab - 4b )2 2 2 2 2 24.下面各式的因式分解中，正确的是（A .ab -a + b + 1 = (a -1)(b + 1)2 24xy + 1 -4x - y (1 2x -y)(13a -3b + 3x -bx = (a -b

3、 )(3 -x )2 2_4xy14x - y (12xy)(1_2x _ y)5.下列因式分解的变形中，正确的是（A.x( a1) x a251B.m+ m=66C2.y(a2 2 b ) 22D.(x-3x)-2(x、填空题22(2m 1)( 3m - 1)y2丄22丄2a b (y a )(2(x -1)( X a) 3x) 8 = (x 1)(x 2)(x - 4)( x -1)1 .在代数式(1)4x222-4x 1, (2) m mn n , (3)64 n - 1中是完全平方式的是22.若：2 x +ax -9被2x -3除后余3,则商式是 ，且a =4 x y = ( x y

4、2 xy )( x y 2 xy )3. 在一个边长12.75平厘米的正方形内挖去一个边长为7.25厘米的正方形，则剩下的面积就是。1 1 1 14. 乘积(1 _右)(1 _弋)(1 右)(1 _ ) =。239105已知一个正六位数，前三位数字与后三位数字完全相同，那么这个六位数一定能被质数 整除。三、解答题1. 分解因式4 24222(1) x +2x -3 ;(2)x+2x +9;(3 )(1 _ a )(1 _ b )_4ab2(4) x xy 亠 2x 亠 y3;2(5)a2-(a - 1)2-a (a1)3(6)( m - n) 2mn(1_mn)1;2 2(7)( a a 1)

5、( a a 2)-12;43.2.(8 )1 2x -56 x 89x56x - 1 23 332已知三角形的三条边a,b,c适合等式：a b c = 3abc，请确定三角形的形状。3. 已知：三个连续奇数，它们的平方和为251，求这三个奇数。32i ,4. 已知：2x -3和3x + 1是f(x) = ax bx 32 x 15的因式，求 a,b的值。5证明：（1 ）若n为整数，则（2n1）2（2n1）2 定是8的倍数;（2）若n为正整数时，n3- n的值必是6的倍数;（3 ）四个连续自然数的积加 1必为一完全平方数。- 3 -答案一、选择题1. B2. C3. D4. D5. C提示：1.

6、 依据因式分解的定义：将一个多项式分解成几个整式乘积的形式称为分解因式。只有选 项B正确，其中选项 A、D均为整式乘法。2按照提取公因式的方式分解因式，同时注意分解因式后的结果，一般而言每个因式中第 一项的系数为正、只有选项C正确。3利用公式法进行因式分解，同时注意分解因式后的最后结果必须分解彻底，只有选项D正确，选项B因式分解的结果并不彻底。4利用分组分解法同时结合公式法进行因式分解，只有选项D正确。5利用十字相乘法进行因式分解，同时注意因式分解是恒等变形，只有选项C正确，选项B非恒等变形。二、填空题：1.1 ；2. X+4.5 ;3. 110平方厘米；114. ；205. 7、 11、 1

7、3提示：1.若代数式是完全平方式，则必可利用公式法进行因式分解。而只有（1 ）式= （2x 一1）2是 完全平方式。2根据题意，利用大除法:(a 3)22 x 3 2 x $ ax 922 x 3x(a 3) x -93(a +3)(a 亠 3) x -233(a +3)-9 -3 a = 5 2(a +3)xx 4，即：商式为 x + 4，且a = 5.223依题意，原正方形面积为12.75厘米，挖去的正方形面积为7.25平方厘米，利用平方差- 5 -公式：乘下的面积就是12.75 2 - 7.252 =(12.75+7.25)(12.75 - 7.25) = 110 平方厘米- 6 - #

8、 -2 22-13-14.原式 2-22324-12429-129210 -12101 12435222 23411208109112 2910- # - # -5依题意，设所求的站位数为:abcabc ，a,b,c均为自然数，则- # - # -5 432abcabc =a 10-b ： 10-c：10 a 10 b 10 c322=10 (a 10 b 10 c) (a 10 b 10 c)23=(a 10 b 10 c)( 10- 1)二 1001 (100 a 10 b - c)/ 1001=7 x 11 x 13 ,/ a,b,c 为自然数， 100a + 10b + c 为自然数7

9、1 abcabc ,11 | abcabc ,13 | abcabc三、解答题1.分解因式:(1)十字相乘法：原式=(x亠3)(x、1)(x1)(2)配方法：原式=(x 2x 3)( x 2x 3)(3 )配方法：原式=1 _a2 - b 2a2b2 _4ab2 2 2 2=(1 a b 2ab)(a b 2 ab )2 . 2=(1 ab )(a b)=(1 ab a - b)(1 ab a b)(4)原式=x 2 2x_3_xy - y=(x 3)( x -1) 一 y(x -1)=(x -1)( x - y 3)(5 )法 1：原式=a2 - a 2 2a - 1 - a 4 - 2a

10、3 a4 32二a 亠2a 亠3a 亠2a亠14二 a32亠a 亠a3亠a 亠a2 2亠a亠a 亠a-12222二 a(a 亠 a T )亠 a ( a亠a T)亠(a a 1)2 2=(a a 1)法2:原式2 =a2-a !i-2a2 1 (a2a)222二 1 - 2a(a a) (a - a)2 2二(a a 1)(6 )法 1:原式=(m 3 n 2mn 亠亠 n3) 2mn 2m?n2mn 13223=m 亠mn亠mn 亠n 亠2mn-132232222=m 亠mn-m 亠 n 亠nm-n 亠 m 亠 nm-m-nm 亠 n -n 亠m 亠n-12 2=m (m 亠 n - 1)亠

11、 n (n 亠 m -1)亠 m(m 亠 n -1)亠 n(m 亠 n -1)亠(m 亠 n - 1)2 2=(m n 1)( m n m n 一1)法2:原式=(m - n) 2 mn ( n)n -1)( m - n)-(m - n) 1-2mn(m n -1)2=(m 亠 n 1)( mm n T)(7)原式=(a a )-3 (a $ - a 2 _ 12:(a-a-5)( aa-2)=2:(a-a-5)( a2)(，a 1)(8)反数法原式=12 (x41)8923x -56(xx)221)-89221=12 x(x十2-56x (x-)xx21 :89 -1=x 12! (x-)-

12、24-56 (x-)xx2 1 2 1=x 12 (x )-56 (x ) 65 xx2 11=x 2(x) -5 6(x) 13xx2 2=(2x-5x 2)( 6x -13 x 6)=(x -2)( 2x -1)( 2x -3)( 3x -2)2. 解，依题意： a3 - b c3 =3abc 而 a3 - b3 c 3abc333a 亠 b 亠 c - 3abc223=(a 時七)(日.ab b ) c . 3abc23=(a 時七)(a iD-b) . 3ab pil-c . 3abc33=(a 川-b) .3ab (a hb)川-c .3abc2 2二(a ：；b - c)( a -

13、 b) _(a - b) c ：；，c - 3ab (a b - c)2 2 2=(a b -.-c)( a b c ab ac bc )=0/ a,b,c为三角形的三边长 a + b + c 02 a2b2亠 c ab ac be =022 22a2b2 c -2 ab - 2 ac-2bc二 022 2222a-2 abba-2ac 亠 c-b-2 be 亠 c0222(a-b)-(a - c)-(b - c)二 0(a-b)2丄 0, ( a - c2)_0, (b -c)2 -0只有(a -b)2 =0,(a -c)2 =0,(b _c)2 =0 a = b = c,即三角形为等边三角

14、形注：a 3 - b ：；-c3 _ 3abc也可如下分解:原式=a亠3a2b 亠3abb3-c3 _3a 2b-3ab 2-3 abc.3.3=(a -b)c3ab (ab - c)222=(ab c)( a-bc ac be ab )3.解：设这三个奇数依次为n -2 , n , n + 2，其中n为自然数，则n 2,则依题意:2 2 2 2 2(n - 2)+ n+ (n+2)= 251 3n =243 n =81 n = 9 或-9当 n = 9 时，n 2 = 7, n + 2 = 11;当 n = - 9 时,n -2 = - 11, n + 2 = -7.所以，这三个连续奇数为7

15、、9、11;或7、-9、-112 24. 解：若(2x -3 )和(3x + 1)都是 f(x) = ax +bx +32x + 15 的因式,则(2x -3 )(3x + 1 ) = 6x 2 -7x -3 能整除 f(x)。解法1：利用多项式与多项式的大除法：ax 562326x . 7 x.3 ax 亠 bx：u,32 x 讦537a 2aax-X xb27 a2a(b)x潜(32)x 15b2230 x35 x 1507aa-b -=-30 且 32+ 35 ,b2-a = 6 且 b = - 37即：f (x)二bx 3 - 37 x 232 x 15 = (2x _3)(3x 1)

16、( x _ 5)解法2:f(x) =(2x - 3)( 3x 1)( mx n)2 ,= (6x 7x 3)(mx n )3 ,2,= 6mx(6n 7 m ) x (3m -7n)x 3n32=ax bx _32 x - 15a = bmb3215二 6n 7m二-(3m 7 n)一 -3n- 12 -n = -5, m = 1, b = -37, a = 6即 f (x) =(2 x -3)( 3x - 1)( x - 5) = 6x3 - 37 x 232 x 155证明:2(1 )T (2n1)(2n1)2= (2n：fM：A2n _1)(2n：卜1 _2n U1) = 8nt n 为整数， 8 | 8n.即 8|(2n+1)2 -(2n-1) 2 命题得证;32(2) n - - n =n(n 1) =(n - 1)n (n T)n为正整数，(n+1)和n是连续2个自然数，必定一奇一偶，所以，2|n(n+1);而(门-1),n,(n+1) 是连续3个整数，必有一