立体几何所有的定理大总结(绝对全)

1、选校网wwwxuanxiao com高考频道U业木全历年分数线I:力张*7图片大7视频锐校库（二）异面直线所成角1. 定义：不同在任何一个平面内的两条直线或既不平行也不相交的两条直线叫异面直线。2. 画法：借助辅助平面。1. 定义：对于异面直线A和b,在空间任取一点P,过P分别作A和b的平行线如和b 我们把J和b1所成的锐角或者叫做异面直线a和b所成的角。2范围:（0 , 90 （空间两条直线所成角范围：【0 , 90 ）（三）线面角1.定义：当直线1与平面a相交且不垂直时，叫做直线1与平面a斜交，直线1叫做平 面a的斜线。设直线1与平面a斜交与点M,过1上任意点A,做平面a的垂线，垂足为 0

2、,把点0叫做点A在平面a上的射影，直线0M叫做直线1在平面a上的射影。1. 定义：把直线1与其在平面a上的射影所成的锐角叫做直线1和平面a所成的角。2. 范围【0。，90】（斜线与平面所成角范围：【0。，90 ）（三）二面角1.定义：（1）半平面：平面内的一条直线把这个平面分成两个部分，其屮每一个部分叫做半平而。（3）二面角的棱：这一条宜线叫做二面角的棱。（4）二面角的面：这两个半平面叫做二面角的面。（5）二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱 的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。（6）直二面角：平面角是直角的二面角叫做直二面角。1. 定义：从-条

3、直线岀发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。2. 表示：如下图，可记作a -AB-p或P-AB-Q3范围为【0。，180】（五）六种距离1. 点到点的距离：两点之间的线段PQ的长。2. 点到线的距离：过P点作PR丄1,交1于R,线段PR的长。3. 点到面的距离：过P点作PR丄a,交a于R,线段PR的长。两条平行线的距离4. 线到线的距离：.异面直线的距离：公垂线段PQ丄I】， PQ丄1?,则 线段PQ的长。（两条异面直线有且只有一条公垂线。）线到面的距离（ /12）：过1上一点P作PR丄理，交。于片，线段PR的长。 面到面的距离（a/p）：过“上一点P作PR丄a,交a于片，线段PR的长。选校网

4、wwwxiiamao com 专业大全历年分数线卜.万张大学图片大7视频院校库选校网wwwxuanxiao com高考频道 专业犬全 历年分数线I力张人孑国片 大7视频 锐校用二.证明（位置关系）（一）点与直线外（A G1）点在直线上（Ael）上的判定;（1）借助法：公理2：如果两个平面有一个公共点，那它还有其它公共点，这些公共点 的集合是一条直线。对于不同的两个平面0，若存在贝 iJqc0 二 1,且Awl（二）点与平面夕卜（A纟a ）点在平面u （Aea ）上始*1定；选校网wwwxiiamao com 专业大全历年分数线匕万张大学图片大学视频院校库從復网wwwxuanaao com岛町频

5、迫 匕业人全“;年分数线I 士丿、7用片 人门哎虑（1）借助法：（线在面上=点在面上）1 UG=1上所有的点E6Z （2）借助法：（同一平面内=点在面上）（三）直线与平面一上（lea）：斜交直线在平面Y相交（iria=A）.j夕卜（1住a ） lua“是直的判定；（1）定义法：如果一条直线和一个平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线和平 面互相垂直.（2）判定法：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于 这个平面。（线线垂直=线面垂直）若a cz,bcZ6/,a Ab = 0,1 a,l 丄bnl 丄 a（3）推理法：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于交线的

6、直线垂直于另一 个平面。（面面垂直n线面垂直）/7, an = b,aua,a 丄b=a 丄/7（4）借助法：两条平行直线，若其中一条垂直于一个平面，则另一条必定也垂直于这个 平面。a/b,a 丄b丄a （5）借助法：一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面。a/?,a 丄a=a 丄0 选校网wwwxiiamao com 专业大全历年分数线匕万张大学图片大学视频院校库选復网wwwxuanaao com高町频迫Y业丿、个历年分数线I . 土丿、7用片 人门已“年舒的判足；（1）定义法：如果一条直线和一个平面没有公共点，那么我们就说这条直线和这个平面 平行。（2）判定法：如果平

7、面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个 平面平行。（线线平行=线面平行）若玄 U%bu%a/bnaG（3）推理法：两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。（面面平行= 线面平行）a目,a u a 二 a /0（4）借助法：两条平行直线，若其中一条平行于一个平面，则另一条必定也平行于这个 平面。a /b, a / a = b/ a（四）点与点1不重合 2.重合（符合某一共同特征，适合用“同一法”）（五）直线与直线，异面直线与直线、共面不垂克I垂直（异面直线a丄b ）-不垂直,相交I垂直（a丄b ）平行（a/b）“异而企直”絵利定；（1）定义法：如果两条异面直线所

8、成的角是直角，那么这两条异面直线互相垂直。（2）其它法：三垂线逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直, 选校网wwwxiiamao com 专业大全历年分数线上万张大学图片大学视频院校库從復网wwwxuanaao com高町频迫/业丿、全为年分汝线 匕泌丿、7图片人门吟那么它和这条斜线的射影垂直。PAa,a u a,a 丄 POna 丄 AO“空而墓直”的判窕；（1）定义法：如果两条直线所成的角是直角，那么这两条直线互相垂直。（2）推理法：如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于平面内的任何一条直 线。（线面垂直=线线垂直）a 丄a,buana 丄b（2）借助法：两条平

9、行线，若一条垂直于第三条直线，则另一条也垂直于第三条直线。 a/b,a 丄 1 =b丄1（3）其它法：三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂 直，那么它和这条斜线垂直。PAa,a uc,a 丄 AO=a 丄 PO“年帶的判定；（1）定义法：如果两条直线没有公共点，那么这两条直线平行。（2）推理法：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。（线面平行= 线线平行）/ a. a u0,aC10 = b=a/b（3）推理法：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。（面面 平行n线线平行）a/ /3. a Cy=

10、a,0ri7 = bna/b（4）借助法：公理4：平行于同一直线的两条直线互相平行ab,bc a c （5）借助法：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。ira 丄丄anab（六）平面与平面平行（allp ）平面与平面（不垂直.相交“、垂直（Q丄0 ）选校网wwwxiiamao com 专业大全历年分数线上万张大学图片大学视频院校库從復网wwwxuanaao com高町烦迫 匕业丿、全为彷分汝线I J 土丿、7用片丿、门吟“年布絵判定（1）定义法：两个平面没有公共点，称两个平面平行。（2）判定法：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平 行。（线面平行=面面

11、平行）a u%bu%anb = O,a/0,b0 =&/?（3）借助法：垂直于同一条直线的两个平面平行。a 丄 a,0 丄 a = a / /?“垦直的判定（1）定义法：若两个平面所成的二面角是直二面角，则称这两个平面垂直。（2）判定法：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。（线面垂直= 面面垂直）a 丄/?,aua=a 丄（七）其它1. 异面直线的判定：过半面外一点与平面内一点的直线，和半面内不经过该点的直线足异 面直线。a ua, Aa,Be a,Ba = ABfria是异面直线2. 等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分別平行，并且方向相同，那么这两个 角相

12、等。ZBACzQ AG 的边AB AH, AC / AG,且方向相同3 确定平面公理3：经过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。A、E、C不共线=A、E、C确定一个平面推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且仅有一个平面。已知直纽，以及A住1 = A与1确定一个平面推论2：经过两条相交直线，有且仅有一个平面。acb=A=a、b确定一个平面推论3：经过两条平行线，有且仅有一个平面。a/b=a、b确定一个平面选校网wwwxiiamao com 专业大全历年分数线匕万张大学图片大7视频院校库加文网wwwxuanxiao com高诅匕业丿（个历年分数线I 工17图片犬和 34 射影长定理:2 村

13、谢米尢理定圧 从忡I外点向这个屮面所引的垂线段和斜线牧中:的两条斜线段相筲射影较长的斜线段也较氏；C郴等的斜线段的射影相傳，较长的斜线段的射形也较长乖线P5比任何一条斜线段郝短.如图3-52,40 1ST而a的垂线段，/W、AC是F面a的斜线段（f :WCA/ACfta上的射影，则OB (XAli = AC;( MOCUABAC;图 3 -52ffi 3-53(3)AOA!iAOAC.选校网wwwxiiamao com 专业大全历年分数线上万张大学閤片大7视频院校库加文网wwwxuanxiao com高诅匕业丿（个历年分数线I 工17图片犬和 3选校网wwwxiiamao com 专业大全历年

14、分数线上万张大学閤片大7视频院校库加文网wwwxuanxiao com高诅匕业丿（个历年分数线I 工17图片犬和 35最小角定理：斜线与平面所成的角是斜线与该平面内任一条直线所成角中的最小角。选校网wwwxiiamao com 专业大全历年分数线上万张大学閤片大7视频院校库选復网wwwxuanaao com高考如道Y业丿、个历年分数线I . 工丿、7用片丿、门只枚吟选校网wwwxiiamao com 专业大全历年分数线匕万张大学图片大学视频院校库选復网wwwxuanaao com高考如道Y业丿、个历年分数线I . 工丿、7用片丿、门只枚吟6 折叠角公式:折叠角公式三.思想方法1. 降维：三维二

15、维2. 有且只有：存在性and唯一性3. 直接证明/间接证明4. 换序(尤其证垂直时)5. 空间图形平面化。6. 反证法反迂St分为H类(1)当问题的结论的反88只有一种情 这一轉悄或立.推出矛盾结果这种证法称之为反证法中的归漆法;Q) 二寿有看紐或茹种以上情况时暇设结论的反面的各种情况成立.一一推出矛 辞晏这种迂法斜厳長证法中的穷举法二、忘3RB7. 同一法点评 本题采用的方法称为同一法是间接证法的一冲 一丁饰劉，知禾 它的题设和结论所指的事物都是惟一的，那么原命题和它的逆命题中只要有_ 个成立，另一个就一定成立，这个道理叫同一法则在符合同一法则的前提下，代 替证明原命题而证明它的逆命题成立

16、的一种方法叫做同-法,一般过程是:不从 题设入手,而另作图形使它具冇求证的结论中所提的特征;证明所作的图形特 性与已知条件符合:根抿同一庫理，断定原命题成立.U!心得体会要把所有的已知条件标在图上，并根据这些挖掘隐藏条件。五.一些结论1 经过平面外一点，有无数条直线和已知平面平行。2.经过平面外一点，有且只有一个平面和已知平面平行。3.经过平面外一点，有且只有一条直线和已知平面垂直。4.经过平面外一点，有无数个平面和已知平面垂直。5.经过直线外一点，有且只有一条直线和已知直线平行。6.经过直线外一点，有无数个平面和已知直线平行。7.经过直线外一点，有且只有一条直线和已知直线垂直。8.经过直线外

17、一点，有无数个平面和已知直线垂直。9.如果平面的一条斜线和这个平面内以斜足为顶点的角的两边成等角，那么这条斜线在这选校网wwwxiiamao com 专业大全历年分数线匕万张大学图片大学视频院校库选校网wwwxiiaixiao com高考频道 专业大全历年分数线 上力张大学图片 大7视频 院校膵个平面上的射影是这个角的平分线所在直线。解 本题对平面在空间的位置分类讨论-个平面将空间分成两部分.二二盏O两个平面有公共点时将空间分成4部分;两个平面没有公共点时将空间分 成3部分.所以，两个平面将空间分成3部分或4部分.-10.114.械離的审支在底面内的射形了解并拿抿播锥的顶点在底面内的射影的位蚤

18、，是解决有关棱锥问題的关證.现归纳如下： 1，I辺杲技祇的資塑相竽或仔何凌与底而成等角贝顶点在底面内的対影 是庭面多边彩的外心.* .5 D(2)如果棱锥的及点到底峭边形各边讐离相等或各侧面与底面成等角. 一區旦在底面内的射至(射彭点肚多劫形内初j足底面多边形的内心.一_(3)待刖地对于三棱锥利用三垂线定理(或逆定理)不难证明F述结论：在 三棱锥中如果敎组对険垂直r则第三组对核必垂直且顶点在程面内的射彭是 底面三角形的垂心.=六.题型总结1.必3.公理的应用(1)证明线共面.证明线共面，一般是三线共面作原始题从而推广到多线共面一般有两种证 法:一是两线确定一个平面再证明第三线在这个平面内；二是其中两条直逆 定一个平Its另两条直线确定平面0,而a与p又回时具有确定平面的公共条 斥，雀而a与0重合,从而三线共面.尿明三点共线:奏嫩油:敷令三点都是某两平面的公共点，则三血共线.,(3)证明三线共点.：2 l* t与初中证明三线共点的思路-样先证明两条直线交于点，再证明第三条2 证明是公垂线:(1) 证明与两条杲面直线都垂直Cos最大角vO 三个Cos都vO 见平面几何(