单位根检验内容及标准规定样式分析

1、第八章单位根检验由于非平稳过程可能存在严重的伪回归问题，所以在对序列进行估计之前，需要检验序列的平稳性。本章介绍了严格的平稳性的统计检验方法-单位根检验。在简要介绍四种主要的非平稳随机过程以产输出单位根检验原理之后，文章主要介绍ADF检验及PP检验法，以及介结构突变和单位根检验。8.1 四种典型非平稳过程简介前面我们知道，若一个时间序列含有某种变动趋势，即该序列的均值或自协 方差函数随时间而改变，则称该序列为非平稳序列。下面介绍四种典型的非平稳 过程。8.1.1 随机游走过程yt yt it, t=1 ,2,.(8.11)若t为独立随机分布，即E t 0, D t 2 。则称yt为随机游 走过

2、程(Random Walk Process )。随机游动过程是单位根过程的特例。在现实经济社会中，如股票价格的走势便是随机游走序列。下图是yt yt 1t,0,1生成的序列图8.11随机游走过程ytyt i t, t 0,1生成的序列图8.1.2 随机趋势过程2 .一 一、ytyt, t iid(0, ),(8.12)其中 称为漂移项，由于序列一阶差分后便趋于平稳，又称随机趋势过程为差分平稳过程。图8.12 yt 0.1 y t, t 0,1生成的序列8.1.3 趋势平稳过程ytt t ,其中 t t 1 t ,1 , t (0, 2)(8.13)由于ytt t,即当减去退势后为平稳过程，故趋

3、势平稳过程又称为退势平稳过程。由 ytt t , t 11 t 知：yt 1(t 1)11(8.14)将(4)两边同时乘以，与(3)两边同时相减，整理可得：'',2.一一、ytt yt 1 t , t (0,)(8.15)其中， ，这样使得出趋势平稳过程的另一种形式图 8.13 yt 0.01 0.01t y-t , t (0, 2)生成的序列8.1.4 趋势非平稳过程2ytt yt 1 t, t IID(0, )(8.16)其中 称为漂移项，t称为趋势项。这种过程在实际经济中很少见。8.2 单位根检验8.2.1 DF 检验考虑AR(1)回归模型ytyt 1t , t IID

4、(0, 2)(8.21 )(1)如果-1<<1 ,则yt平稳。(2)如果 =1 , yt序列是非平稳序列。(8.21)式可写成：ytt显然yt的差分序列是平稳的。yt (1)yt t(3)如果的绝对值大于1, (8.21)式可写成：。序列发散，且其差分序列是非平稳的。因此，判断一个序列是否平稳，可以通过检验是否严格小于1来实现。生成随机游走过程：yt yt i t,义0, t iid（0, 2）,OLS估计式为：ytyt 1 t零假设和备择假设分别为Ho：1；Hi :1得到 的估计值？，并对其进行显著性检验的方法，构造检验？显著性的t统计量。但是，Dickey-Fuller研究了这

5、个t统计量在原假设下已经不再服从 t分布，它依赖于回归的形式（是否引进了常数项和趋势项）和样本长度To构造DF统计量DF? 1“Jis()1 T ?2T 1t 2t(8.22)Mackinnon 进行了大规模的模拟，给出了不同回归模型、不同样本数以及不同显著性水平下的临界值，如表8.21。8.21DF分布百分位数表模型(a):数据生成过程：ytyt 1 t , yo 0, t IID (0, 2)OLS 估计式：ytyt1tHo:1 ； H1 :1模型(b):数据生成过程：ytyt it , y0 0, t IID (0, 2)OLS 估计式：ytyt 1tHo ：0;1 ； Hi :1;1模

6、型(c):数据生成过程：ytyt 1 t , yo 0, t IID (0, 2)OLS 估计式：ytyt 1ttH0 :0;1,0; H0 :0;1,0这样，就可以根据需要，选择适当的显著性水平，通过 t统计量来决定能否拒绝原假设。这一检验被称为 Dickey-Fuller检验(DF检验)根据Mackinnon 给出的临界值，若用样本计算的DF临界值，则接受原假设，yt非平稳；若DF临界值，则拒绝原假设，接受备择假设。2.ADF 检验(Augmented Dickey-Fuller Test)关于AR(p)过程yt1 yt 12 yt 2pyt p(8.23)yt 1 ，上式存在p阶序列相关

7、，用p阶自回归过程来修正，在上式两端减去 通过添项和减项的方法，可得p1(8.24)ytyt 1i yt i ti 1pi ii1零假设和备择假设为：H0 :1; H1 :1。原假设为至少存在一个单位根；备选假设为：序列不存在单位根。序列yt可能还包含常数项和时间趋势项判断 的估计值？是接受原假设或者接受备选假设，进而判断一个高阶自相关序列AR（p）过程是否存在单位根。类似于DF检验，Mackinnon 通过模拟也得出了不同回归模型、 不同样本 数以及不同显著性水平下的临界值。这使我们能够很方便的在设定的显著性水平 下判断高阶自相关序列是否存在单位根。 并且，Said-Dickey （1984

8、 ）证明（8.24 ） 式中的的DF统计量的分布与（8.11）式中 的DF统计量相似。当（8.24）式中分别加入漂移项和趋势项后，其的DF统计量的分布分别与（8.12）式和（8.13）式中 的DF统计量相似。这样，DF和ADF检验法可以共用一个 DF 分布百分位数表，作为临界值的参考。在进行ADF检验时，必须注意以下两个实际问题：第一，必须为回归定义合理的滞后阶数，通常采用 AIC准则来确定给定时 间序列模型的滞后阶数。在实际应用中，还需要兼顾其他的因素，如系统的稳定 性、模型的拟合优度等。第二，选择哪种形式很重要，检验显著Tt水平的t统计量在原假设下的渐近 分布依赖是否存在常数项、趋势项，对

9、应临界值也不同。若原序列中不存在单位根，则检验回归形式选择含有常数，意味着所检验的 序列的均值不为0;若原序列中存在单位根，则检验回归形式选择含有常数，意 味着所检验的序列具有线性趋势，一个简单易行的办法是画出检验序列的曲线 图，通过图形观察原序列是否在一个偏离0的位置随机变动或具有一个线性趋势，进而决定是否在检验时添加常数项。若原序列中不存在单位根，则检验回归形式选择含有常数和趋势， 意味着所 检验的序列具有线性趋势；若原序列中存在单位根，则检验回归形式选择含有常 数和趋势，意味着所检验的序列具有二次趋势。 同样，决定是否在检验中添加时间趋势项，也可以通过画出原序列的曲线图来观察。如果图形中

10、大致显示了被检验序列的波动趋势呈非线性变化，那么便可以添加时间趋势项。8.3.PP检验Phillips和Perron构建了 PP统计量tp,p检验一阶自回归AR (1)的平稳性,对于 V V ytyt 1 t(8.31 )方程原假设和备择假设为Ho :1H1 :1接受原假设，则存在单位根;拒绝原假设则不存在单位根。PP统计量具体构造形式如下:p,p1t?(-°)2f 0T(f0°)s?12钎？(8.82)式中，f。是频率为零时的残差谱密度估计值，t?是？的1统计量，？是回归 残差的标准差，0是回归残差的一致估计量。同ADF检验的t统计量一样，通过模拟可以给出PP统计量在不同

11、显著水平 下的临界值。PP检验中的滞后阶数可以有 AIC准则等方法确定。8.3结构突变与单位根检验8.31三种形式的结构突变首先从理论上分析三种突变情况。第一，均值突变的随机游走过程和均值突 变的退势平稳过程；第二，斜率突变的随机游走过程和斜率突变的退势平稳过程；第三，均值、斜率双突变的随机游走过程和均值斜率双突变的退势平稳过程。以样本容量T为200,突变点发生在t=100为例定义三种类型的虚拟变量如下：0 t 1011) 脉冲式虚拟变量DP ，,如下图：1 t 101图8.31脉冲式虚拟变量0 t 1002) 阶跃式虚拟变量DL ，,如下图:1 t 100图8.32阶跃式虚拟变量3）累进式虚

12、拟变量DT0ttt tKtl tti2 tiitt1ti2 ,如下图:图8.33累进式虚拟变量8.32三种外生结构突变模型Perron （1990 ）给出了结构突变点已知条件下的单位根检验方法。结构突变点已知时，称其为外生性结构突变点。假定发生结构突变的时点已知为tbo模型1：原假设：yt为均值突变（水平）的单位根过程；备择假设：yt为含有一个均值突变点（水平）的退势平稳过程。Hi o： yt为均值突变（水平）的单位根过程，即yt在tb+1期发生脉冲式突 变，表达式为：ytyt 1DPtt（8.31）其中DPt代表脉冲虚拟变量。定义为：0 t tb+1DPt,1 t tb 1其中tb+1表示突

13、变发生时点。因为模型是动态，一个时刻的脉冲式信息冲击要扩散到序列的以后各个时期。（8.31）可以写为：ytt y0t ,t tbyt t y0t ,t tb（8.32）H1i： yt为含有一个均值突变点（水平）的退势平稳过程，表达式为yt t DLt t（8.33）其中DLt是阶跃式虚拟变量，定义为： 0 t tbDLt，i t tb模型2：原假设：yt为结构突变的单位根过程；备择假设：yt为斜率突变的退势平稳过程。H2。：从tb+1期开始发生漂移项 突变（由于是动态模型，实际上是序列 发生斜率突变）的单位根过程。其表达式为：ytDLt yt 1 t, t 1（0）。（8.34）其中DLt是阶

14、跃式虚拟变量，定义为： 0 t tbDLt ， 1 t tb表示在t & 1）时，模型漂移项，即序列的斜率由突变到 。对于取对数的经济变量，像对国内生产总值取对数之后，对应其增长率发生 突变。H2"从tb+1期开始，含有斜率突变的退势平稳过程。其表达式为：yttDTt t,（8.35）其中DTt是阶跃式虚拟变量，定义为： 0 t tbDTt,t tb t tb模型3：原假设：yt为均值和斜率双突变的单位根过程；备择假设：yt为均值和斜率双突变的退势平稳过程。H3。：从tb+1时期开始，yt同时发生脉冲式突变和漂移项突变，即序列的截距和斜率同时发生突变的单位根过程，表达式为：y

15、yt iiDPt2DLt t, t - I (0)(8.36)其中DPt代表脉冲虚拟变量，DLt是阶跃式虚拟变量。定义为：0 t tb+10 t tbDPt, DLt ，；1 t tb 11 t tb表示从t (tb 1)时开始，i表示截距发生突变，2表示斜率发生突变。从截距为0、斜率为突变到截距为1、斜率为 + 2。H3"从tb+1时期开始，yt同时发生脉冲式突变和漂移项突变的退势平稳 过程，表达式为ytt1DPt2DLt t(8.37)其中DPt代表脉冲虚拟变量，DLt是阶跃式虚拟变量。定义为：0 t tb +10 t tbDPt, DLt ，。1 t tb 11 t tbPer

16、ron指出，对于在趋势或水平值存在结构突变的过程来说，如果不考虑这种突变，当用ADF统计量检验单位根时，将会把一个带结构突变的平稳过程 误判为随机趋势的单位根过程。也就是说，若进行单位根检验时不考虑结构突变， 会导致检验功效降低。下面以均值突变的平稳自回归为例介绍为什么检验结果却得出是单位根过程的结论3210-1-2-3Y图8.31.a yt散点图图8.31.a yt时间序列图图8.31平稳自回归过程yt 0.5yt, t N (0,1) (file : genri , y1)Y16-4128402550 75100125150175200Y图8.32.a yt时间序列图图8.32.b yt散

17、点图图8.32均值突变平稳自回归过程yt 0.5y-5D t, tN(0,1) , D=0 ,(T=1100) ； D=1 , (T=101200)(file : genr1 , y2)经检验得到平稳自回归过程yt 0.5yt 1 t中yt的自相关系数为0.51,应该是平稳过程。当均值发生突变时(从 0变为10),均值突变平稳自回归过程yt 0.5yt 1 5Dt对应的自相关系数变为0.97 ,该值很接近单位根。下面利用单位根检验式分析。不考虑均值突变直接对均值突变平稳自回归过程 yt 0.5yt 1 5D t N(0,1) , D=0 , (T=1-100) ; D=1 , (T=101-2

18、00) 进行单位根检验，得到：yt0.0048yt 1 0.1186 yt 1t(8.38)(-0.6)(-1.65)DW=2.00由上式可知，ADF=-0.6>-1.95 。可见，由于 ADF检验式没有考虑均值突 变，检验结果yt存在单位根。这样导致检验功效降低的原因在于未考虑序列中 存在的结构突变。用虚拟变量0 t 101D ,1 t 101区别突变前后两个时期，得到 ADF检验式如下：yt -0.4598yt.1 4.4600D t(8.39)(-13.36 )(7.57)DW=2.0因为ADF=-13.36<-1.95,虚拟变量系数有极高的显著性，所以 yt为带有均值突变的

19、退势平稳过程。8.33结构突变点已知情况下的单位根检验方法前面介绍了突变点已知情况下的三种模型，并且指出对于在趋势或水平值存 在结构突变的过程来说，如果不考虑突变，当用 ADF统计量检验单位根时将会 导致检验功效降低。下面将介绍突变点已知情况下序列单位根的检验方法。首先根据具体情况，按上述三个备择假设模型(8.33)、(8.35)、(8.37)之 一回归，然后逐一进行退势、退均值变化，即从yt中剔除漂移项。固定趋势和(i)结构变化的影响，所得为退结构残差，用t表示。其中i=1,2,3 ,分别与(8.33)、(8.35)、(8.37)式相对应回归得到的残差序列。ADF检验式为：(i)(i)(i)

20、t t-i j t-j t,i=1,2,3。（8.310）j i定义 所对应的统计量t（）为AOADF （i）,它并不服从标准的ADF分布。其渐近分布与获得残差序列的回归式i和突变点的位置tb /T有关。AOADF临界值表如下，由表（8.31）可知，AOADF统计量的临界值小于相应ADF临界值，并以 =0.5 （结构突变点发生在样本区间的中心点）时达到最大。给定检验水平和 值，由下式关系存在：AOADF AOADF AOADF （8.310 ）表8.31 AOADF统计量在已知和未知条件下以及最小t统计量检验用渐近临界值以模型1为例，单位根检验步骤如下：第一步，按备择假设模型形式（8.33）对

21、yt进行退势，由yt t DLt t（8.311 ）得到退势序列：t ytt DLt（8.312）第二步，对退势序列t做单位根检验，得到：t t i t(8.313)或t ti t(8.314)需要注意的是，退势序列的单位根检验统计量t( )、t()不服从DF分布,必须查阅Perron (1997 )提供的临界值表，如表8.31所示。如果(8.313)或(8.314)式中的t时自相关的，则应该用以下两个表达式检验 单位根。kt t1 i t i t(8.315)I 1k或t t1 i ti t(8.316)案例一 1275天新上证综指的收盘价格的单位根检验选例背景上海证券交易所在 05年底为配

22、合股权分置改革工作，适应市场需求，将选择已完成股权分置改革的沪市上市公司组成样本，发布新上证综指，以反映这批股票的市场走势，为投资者提供新的投资尺标。上证所将于2006年第一个交易日发布新上证综指。新上证综指发布以2005年12月30日为基日，以当日所有样本股票的市价总值为基期，基点为 1000点。新上证综指简称“新综指”，指数代码为 000017。“新综指”是我国证券市场由权威机构发布的反映股权分置改革实施后公司概况的指数，随着股权分置改革的全面推进，此后不断有新的样本股加入“新综指”。随着市场大部分上市公司完成股改，“新综指”逐渐成为主导市场的核心指数。案例1内容本文选取2006年第一个交

23、易日至 2011年4月8日共1275天新上海证券价格综合指数开盘价格为样本做单位根检验。该序列如图1 o图1.1275天“新综指”开盘价格序列图(1) ADF检验法由图可粗略判断该序列并非随机趋势序列，也非随机趋势非平稳序列，基于对股票性质的认识可粗滤判断该序列为随机游走序列。双击序列名，打开序列窗口，选择 View/Unit Root Test ,得到如下图对话框图2.单位根检验对话框检验类型默认为ADF检验，滞后阶数默认根据SIC准则确定，选择无趋势无漂移项，点击 OK,得到该序列 ADF检验结果如下图所示：图3. ( 1 )式ADF检验结果由上图可知，该序列tADF1.71,均大于1%、

24、5%、10%、下临界值，故接受原假设，该序列存在单位根。进一步在Unit Root Test下通过选择水平值、一阶差分或二阶差分可确定序列中单位根的个数。如该序列经过一阶差分后，得到如下结果：Dxzzt0.989755Dxzzt 1(1)(-35.3 )DW=1.999括号中给出的是t统计量的值，带 号的t值也就是DF统计量的值,相应的Eviews输出结果见下图。VaHablCoefficientStd Errort-StatisticProDD(XZZ(-1)-0.997550.02S039 -35.293650.0000图4. (1)式ADF检验Eviews输出结果该序列一阶差分后的DF=

25、-35.3，小于各置信度下的临界值，则拒绝原假设, 该序列的一阶差分序列为平稳序列，说明原序列为一阶单整，存在一个单位根。若认为通过序列图粗略判断该序列模型形式不够准确，我们可以先假定该序 列为随机趋势序列，不妨先按随机趋势序列设定检验式，在单位根检验界面 Include in test equation 选择Intercept ,即假定模型有截距项。带有截距项 的ADF检验室的估计结果如下：Dxzzt 9.98 0.003Dxzzt 1(2)(1.87)(-1.71 )DW=1.979相应的Eviews输出见下图。图5. (2)式ADF检验输出结果检验结果显示DF=-1.71，“新综指”存在

26、单位根。截距项的t统计量的值为1.87, 并不显著。实际上，以5%的检验水平，按表给出的临界值 2.8进行判断，截距 项也不存在显著性。从简演示中去掉截距项，继续进行单位根检验，得到结果如下：Dxzzt 0.00009Dxzzt 1(3)(0.156)DW=1.979DF=0.156 ,可见该序列实际上是一个随机游走过程，没有趋势项。这与前 面对模型的粗略估计结果一致，也与通常对股市价格序列性质的认识相一致。(2)PP检验法双击序列名，打开序列窗口，选择 View/Unit Root Test ,并在TestType下选择Phillips Perron ,得到如下图对话框：图6. PP检验法对

27、话框单击OK得到原序列PP检验结果如下图：图7. 1275天“新综指”开盘价序列PP检验结果选择一阶差分后序列PP检验结果如下:图8. 1275天“新综指”开盘价序列一阶差分后PP检验结果可见PP检验与ADF检验结果相同，上证指数开盘价格序列存在一个单位 根，经过一阶差分后平稳。案例二1978年至2010年中国就业人数（labor ,亿人）研究我国就业人员数在 1900年一下子比1989年多出九千多万人， 这是基本不可能的。LABOR图1中国就业总人口数序列(1978-2009 )如上图可知，模型中有趋势项，故中国就业人员数序列肯定是一个非平稳序列。但是需要谨慎判断的是中国就业人员数序列究竟是单位根序列还是趋势平稳序列。从曲线变化来看，这是一个带有均值和斜率突变的非平稳序列。我们加入虚拟变量DL对这种变化进行描述是，就可以清楚地看到这一点。建立模型如下：t, (1978 , t=1 )lab0rt 3.8138 0.1454t 0,6777DL 0.0613(t 12)DL(D(39.5) (10.2)(5.9)(-4.0)R2 =0.9874DW=2.05 F=732.32(t-12)DL=DT T=35DL0 t 19891 t 19890 t 1989(t 12)D