勾股定理的证明方法

1、勾股定理的证明之吉白夕凡创作创作时间：二零二一年六月三十日【证法11 （课本的证明）做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b,斜边长为c,再做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形从图上可以看到 积相等.即,这两个正方形的边长都是a + b, 所以面2, 21,a b 4 -ab2【证法2】c2412ab,整理得 a2 b2 c2（邹元治证明）abHcaF的bA a E b BG a C,21.2a b 4 ab c2.【证法3（赵爽证明）以a、b为直角边（b>a） 边作四个全等的直角三角形，2,22.a b c .,以c为斜 则每个直角/G_a

2、.以a、b为直角边，以c为斜边做四个全等的直角三角形 Lb 则每个直角三角形的面积即是2 .把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上，B、F、C三点在一条 直线上，C、 G D三点在一条直线上. Rt A HAE 二 RtAEBF, ./AHE = /BEF. /AEH + / AHE = 90o, . / AEH + / BEF = 90 o./ HEF = 180 o90o= 90 o.四边形EFGhfe一个边长为 正方形.它的面积即是c2. Rt AGDH 二 RtAHAE,HGD = / EHAHGD + ZGHD = 90o, EHA + / GHD = 90

3、o.GHE = 90o, DHA = 90o+ 90 o= 180 o.ABC虚一个边长为a + b的正方形，它的面积即是a./上匚一匕 口 1ab , 、e人三角形的面积即是2 .把这四个直角三 角形拼成如图所示形状. Rt A DAH 二 Rt A ABE,. / HDA = / EAB./ HAD + / HAD = 90o,./ EAB + / HAD = 90o, ABCD是一个边长为c的正方形，它的面积即是c.ABC虚一个直角梯形，它的面积即是1 u 2 o 11 2a b2 ab c/. 222 .2,22/. a b c .【证法5】（梅文鼎证明）做四个全等的直角三角形，设它们

4、的两条直角边长分别为b ,斜边长为c.把它们拼成如图那样的一个多边形，使D.v EF = FG =GH =HE = b a , /HEF = 90 o.2EFGH一个边长为ba的正方形，它的面积即是b a1224 - ab b a c2.a2 b2 c2.【证法4】（ 1876年美国总统 Garfield 证明）以a、b为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形一一 一 1ab , 、一一一则每个直角三角形的面积即是2 .把这两个直角三角形拼博如babE a B图所示形状，使A、E、B三点在一条苜琴上_ Rt A EAD 二 Rt ACBE,. / ADE = / BEC / AED + Z

5、ADE = 90o, / AED + / BEC = 90 o. ./ DEC = 180o90o= 90 o. . DECM一个等腰直角三角形，1 2它的面积即是2C .又 / DAE = 90o, / EBC = 90o,a、. AD/ BCE、F在一条直线上.过C作AC的延长线交 DF于点P.v D E、F 在一条直线上，且 RtAGEF Rt AEBD,./ EGF = Z BED,/ EGF + /GEF = 90 ,./ BED + / GEF = 90./ BEG =1803900= 90 o.又 AB = BE = EG = GA = c, ABEG一个边长为c的正方形. /

6、ABC + /CBE = 90 o. Rt A ABC 二 RtAEBD,. / ABC = / EBD / EBD + / CBE = 90 o.即/ CBD= 900.又 / BDE = 900, / BCP = 900, BC = BD = a . . BDPO一个边长为a的正方形.同理，HPFG是一个边长为b的正方形.设多边形GHCBE勺面积为S,则aEc/H a bbcDaBc2 S 2 1ab 2 2,22【证法6】(项明达证明) 做两个全等的直角三角形设它们的两条直角边长分别为 a b c .a、b (b>a),斜边长为c.再做一个边长为c的正方形.把它们拼成如图所示的多边

7、形，使E、A、过点Q作QP/ BC,交AC于点P. 过点B作BML PQ,垂足为 M 再过点 F作FN± PQ,垂足为N / BCA = 900, QP / BC, . / MPC = 900,. BML PQ, ./ BMP = 900,C三点在一条直线上.fNaX、P bc ?CJa BCPM一个矩形，即/ MBC = 900Q / QBM + / MBA = / QBA = 900,/ ABC + / MBA = / MBC = 900,./ QBM = / ABC,又 / BMP = 900, / BCA = 900, BQ = BA = c, RtABMQRtABCA同理可

8、证 Rt A QNF 二 RtAAEF从而将问题转化为【证法 4】（梅文鼎证明）.【证法7（欧几里得证明）做三个边长分别为 a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示D L c E形状，使H、C、B三点在一条 BF、CD 过 C作 CL.X DE, 交AB于点M,交DE于点 L.; AF = AC, AB = AD, /FAB = / GAD, FAB GAD,1a2 FAB的面积即是2 GAD勺面积即是矩形ADLM 的面积的一半，矩形ADLM勺面积=a2.同理可证，矩形MLEB勺面积=b2.正方形ADEB勺面积mleB勺面积=矩形ADLM勺面积+矩形222222 c a b , 即 a b c

9、.【证法8】（利用相似三角形性质证明）如图，在RtAABC中，设直角边 AG BC的长度分别为 a、b,斜边AB的长为c,过点C作CD! AB,垂足是D.在 ADCffi ACB中，. /ADC = / ACB = 90o, / CAD = / BAC, ADCACBAD： AC = AC : AB, 即 AC2 AD ? AB .同理可证, CDB s ACB,从而有BC2 BD?AB . .AC2 BC2 AD DB ?AB AB2 即 a2 b2 c2.【证法9（杨作玫证明）做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b （b>a）,斜边长为c.再做一个边长为 c的正方形

10、.把它们 拼成如图所示的多边形.过A作AF± AC, AF交GT于F, AF交DT 于R 过B作BP)± AF,垂足为P.过D作DE与CB的延长线垂直 垂足为E, DE交AF于H / BAD = 90o, / PAC = 90o, . / DAH = / BAC又 / DHA = 90o, / BCA = 90o,AD = AB = c, Rt A DHA RtABCA . DH = BC = a, AH = AC = b .由作法可知，PBCA是一个矩形，所以 Rt A APB RtABCA 即 PB =CA = b, AP= a, 从而 PH = b a.v Rt A

11、DGT Rt A BCA , Rt A DHA WR" BCA Rt A DGT Rt A DHA . . DH = DG = a, / GDT = / HDA.又 / DGT = 90o, / DHF = 90o,/GDH = / GDT + /TDH = / HDA+ / TDH = 90o, DGFK一个边长为a的正方形. .GF = FH = a . TF±AF, TF = GT GF = b a. . TFPB是一个直角梯形，上底TF=b- a,下底BP= b,高FP=a + (ba).用数字暗示面积的编号(如图) 面积为SiS2S3S8S3S4S41 b 2S5

12、a b2 1 ab=2S5S8S9S3S4b21abS8= b2S1S8 .把代入，得=b S2 S9 = b2 a2.a2 b2 c2.【证法10(李锐证明)设直角三角形两直角边的长分别为 a、b (b>a),斜边的长 为c.做三个边长分别为 a、b、c的正方形，把它们拼成如图所 示形状，使A、E、G三点在一条直线上.用数字暗示面积的编号则以c为边长的正方形的（如图）./ TBE = / ABH = 90o, ./ TBH = / ABE又/ BTH = /BEA = 90 o, BT = BE = b, Rt A HBT Rt AABE.HT = AE = a .GH = GT HT

13、 = ba./TBH + / BHT = 90 OQ又GHF + /BHT = 90 o, / DBC + / BHT =./ GHF = / DBC; DB = EB ED = ba, / HGF = / BDC = 90o,/. Rt AHGF Rt A BDC 即 & & .过Q作QML AG,垂足是 M 由/ BAQ = /BEA = 90 o,可知/ ABE=/QAM,而 AB = AQ = c, 所以 Rt A ABE Rt A QAM.又 Rt AHBT 二Rt ABE 所以 Rt HBT 二 Rt QAM,即 & S5.由 Rt A ABE RtAQAM

14、,又得 QM = AE = a, / AQM = /BAE /AQM + /FQM = 90o, /BAE + / CAR = 90 o, /AQM = / BAE, . / FQM = / CAR又/ QMF = / ARC = 90o, QM = AR = a, Rt AQMF Rt A ARC又 S_2 aSiS2 b2S2S8S3S4S5S5S4,S6S3S7即 S4S6.a2Si S6b2S3S7S8,S6 ,S8=SiS4S3S2S5即a2b2【证法11】2=C ,2c .（利用切割线定理证明）在Rt ABC中，设直角边BC = a, AC = b, 斜边AB = c .如 图，以

15、B为圆心a为半径作圆，交AB及AB的延长线分别于 D E, 则BD = BE = BC = a .因为/ BCA = 90o,点C在。B上，所以AC是。B的切线.由切割线定理，得CbEBD A=AB BE AB BD=c a c a22即b2 /. a2=c a ,22c a ,22b c .【证法12（利用多列米定理证明）在RtAABC中，设直角边BC = a, AC = b, 斜边AB = c （如 图）.过点A作AD/ CB,过点B作BDII CA,贝U ACB曲矩形，矩形 ACBD内接于一个圆.根据多列米定理，圆内接四边形对角线的乘 积即是两对边乘积之和，有AB?DC AD?BC AC

16、?BD,; AB = DC = c, AD = BC = a,AC = BD = b,AB2 BC2 AC2,即 c2 a2 b2, 2,22 .a b c .【证法13（作直角三角形的内切圆证明A在Rt ABC中，设直角边BC = a, AC = b, 斜边AB = c .作RtAABC的内切圆。O,切点分别为 D、E、F （如图），设。O的 半径为r.; AE = AF, BF = BD, CD = CE,BCABAECEBD CD AF BF2rb2CECD=r + r = 2r,即a2b2S ABC 2ab又,/ S ABC2r,2r一 .22ab 4 r2ab4s ABCS AOB

17、S BOCrcS AOC1一 cr21 ar211br 2rc ,rc 4S abc2积为a b/. a2b/. a2ba、b （b>a）,斜边的长为c.做两个边长分别为a、b的正方形（b>a）,把它们拼成如/2 4r rc 2ab ,.ac .【证法16（陈杰证明）设直角三角形两直角边的长分别为 b2 2ab 2ab c2,.a2 b2 c2.【证法14（利用反证法证明）如图，在RtAABC中，设直角边 AG BC的长度分别为 a、b, 斜边AB的长为c,过点C作CEU AB,垂足是D.假设a2 b2 c2,即假设 AC2 BC2 AB2,则由AB2 AB ? AB = ABAD

18、 BD =AB ?AD AB ? BD可知 AC2 AB? AD ,或者 BC2 AB ? BD .即 AD ： AC? AC： AB, 或者 BD: BC? BC AB在 ADCffi ACB中，/A = /A,C 若 AD: AO AC AB,则/ AD（C / ACBa/在 CD所口 A ACB中，/ ./B = ZB,/Dcb 若 BD BC? BC: AB,则/ CD序 / ACB又/ ACB = 90o, / AD（C 90o, /CD* 90o.这与作法 CD! AB矛盾.所以，AC2 BC2 AB2的假设不能成 立.a2 b2 c2.【证法15（辛卜松证明）设直角三角形两直角边的长分别为a、b,斜边的长为c.作边长是a+b的正方形ABCD 把正方形ABCDJ分成上方左图所示22. 2的几个部份，则正方形 ABCD的面积为 a b a b 2ab ；把正方形ABCD划分成上方右图所示的几个部份，则正方形ABCD的面124 -ab c22= 2ab c2_22ab 2ab c ,AC3G 2与暗示面积的图所示形状，使E、H M三点在一条直线上.