华罗庚金杯赛专题简易方程——方程初步及其应用

1、简 易 方 程 方程初步及其应用含有未知数的等式统称为方程。最简单的方程是只有一个未知数，而且每一项中不出现未知数自己相乘的，即未知数的次数只是一次的，这就是一元一次方程。方程最基本的问题是要求出未知数的数值，使等式成立，这个数值称为方程的“解”，这一求解的过程就叫“解方程”。因为方程是等式，所以关于等式的各种运算规则都可以应用。例如，方程的两边可以加、减、乘以同一个数或同一个含未知数的式子，等等。一元一次方程经过这种变换可以化为下面形式： （1）其中，是未知数，是数。（1）的两边都除以，就得到 （2）这就是方程（1）的解。在解应用题的时候，我们可以把要求的量设为未知数，根据题目的意思形式上列

2、出一个等式（方程），这一“翻译”的过程会比用算术的方法直接去想出求解的方法来要简单得多，容易得多。剩下来的就是解方程了，可以不考虑每个量的含义，形式上进行运算、求解。当然，最后算出来的解，要进行“验算”，看看它是否真是问题的解。例如，题目中要求的量是整数，得到方程（1）以后，必须能被整除，那么解（2）才有意义，否则方程就没有解。如果将题目中（要求的）两个量都设为未知数，一般来说，应该列出两个方程来，它们取的数值须同时满足这两个方程，这叫做联立方程，或方程组。这样问题才能有唯一的一组解。对于一个二元一次方程 （3）一般来说，可以有无穷多个（组）解。特别，当都是整数，要求的也是整数时，方程（3）也

3、称为“不定方程” 。对于二元一次方程组：将 ，得两边除以 ，得将 ，得两边除以 ，得另一种解法是“代入法”由（1）解得 将其代入（2），得“解方程”就是用系数来表示解（方程的根）。分式方程、根式方程、代数方程、 五次以上的代数方程“不可解”“三等分角” 和“倍立方体”问题“不可解” 下面用例子来说明用方程来解应用题。1有两条纸带，一条长21厘米，一条长13厘米，把两条纸带都剪下同样长的一段以后，发现短纸带剩下的长度是长纸带剩下的长度的。问剪下的一段有多长？（第1届华杯赛复赛第7题） 解：设剪下的一段长厘米。列方程如下： 答：剪下的一段长0.2 厘米。 评注： 本题中，设好未知数后，将题目的要求

4、用式子（等式）表示出来，就是方程，然后利用等式的性质进行“去分母”、“移项”、“合并” 最后得到“标准形”：，由此立即得到未知数的数值，即为所求之解答。2幼儿园有3个班，甲班比乙班多4人，乙班比丙班多4人。老师给小孩分枣。甲班每个小孩比乙班每个小孩少分3个枣；乙班每个小孩比丙班每个小孩少分5个枣。结果甲班比乙班总共多分了3个枣，乙班比丙班总共多分5个枣。问三个班总共分了多少个枣？（第1届华杯赛决赛第二试第3题） 解：设丙班有小孩人。由已知条件可知，甲班每个小孩比丙班每个小孩少分3+5=8个枣。这样，甲班个小孩比丙班个小孩少分个枣。由于甲班比丙班总共多分8个枣，又知道甲班比丙班多8人，这8人共分

5、到个枣，因此，甲班每人分到 个枣。同样地，乙班个小孩比丙班个小孩少分个枣，因此乙班每个小孩分到 个枣。这样，得到方程因此，甲班小孩有人，每人分枣个； 乙班小孩有人，每人分枣个； 丙班小孩有11人，每人分枣个。 所以，三个班共分枣 （个）答：三个班共分枣673个。评注：这里选取哪一个班的人数作为未知数都可以，虽然列出的方程不同，但最后的结果是相同的。3在9点与10点之间的某一时刻，5分钟前分针的位置与5分钟后时针的位置相同。问：此时刻是多少？（第9届华杯赛初赛第7题）解：设此时刻是9点分，依钟面上的分针刻度为单位计算，5分钟前分针的位置在，因为时针转动的速度是分针转动速度的，所以5分针后时针的位

6、置在 ，由此可得以下关系： =这是一个关于未知数的方程。要解这个方程，进行移项，注意：当把某一项从方程的一边移到另一边时，该项要变符号：答：此时刻是9点55分。评注：解时钟问题的关键是“时针转动的速度是分针转动速度的”。4自行车轮胎安装在前轮上能行驶500千米，若安装在后轮上只能行驶300千米。为行驶尽可能多的路程，采用当自行车行驶一定路程后，将前后轮调换的方法，问：安装在自行车上的一对轮胎最多可行驶多少千米？ （第8届华杯赛初赛第7题）解：设开始时的前后轮胎分别为A和B。设行驶千米后将A和B进行调换，那么，A作为后轮还可以行驶千米， B作为前轮还可以行驶 千米， 如果此时轮胎A和B都驶行到尽

7、头，同时报废，那么它们行驶的路程最长，所以这两个路程应该相等。故得方程 所以，用调换轮胎的方法最多可行驶 答：一对轮胎最多能行驶375千米。 评论：此题是将两轮胎交换时已行过的路程设为未知数，而不直接是问题所求的最长行驶距离，并且列出方程时是考虑到“轮胎A和B都行驶到报废，那么它们行驶的路程最长”。 5 用边长相同的正六边形白色皮块和正五边形黑色皮块共32块缝制成一足球，其中黑色皮块都是孤立的（不与黑色皮块相连），且每个白色皮块只和3个黑色皮块相连，问白色皮块与黑色皮块各有多少块？ 解：设白色皮块有块，依题意，黑、白皮块的公共边有3条；另一方面黑色皮块有块，可知黑、白皮块的公共边有5（32）条

8、，因此得到方程： 由此得到，白色皮块有20块，黑色皮块有3220=12块。 答：共有白色皮块20块，黑色皮块12块。6A、B两地相距120千米，已知人的步行速度是每小时5千米，摩托车的行驶速度是每小时50千米，摩托车后座可带一人。问：有3人并配备一辆摩托车从地到地最少需要多少小时？（第8届华杯赛小学组复赛第8题）C 解：设此3人为甲、乙、丙，如下图： ABCDE 甲开摩托车后座带乙，3人同时从A地出发，甲和乙到C地所用时间为小时，并且放下乙，乙继续步行，到达B地所用时间设为y小时。而甲马上折返，在E地遇到丙，携带丙乘摩托车驶向B地，恰好与乙同时到达B地。这种情况下，3人从地到地所用的时间为最少

9、。 可得如下关系：（1） 甲和乙到达C地时，丙到达D地，丙步行的路程是5千米；（2） D、C间的距离是 千米；（3） 丙步行到E地所用时间是 小时，丙从E地到B地乘摩托车所用时间是 小时；而乙乘摩托车到C地所用时间是小时，乙从C地步行到达B地所用时间是y小时；由此立即可以列出二元一次方程组：要解此方程组，可先从第一个方程中解出： 将此表达式代入第二个方程中：由此得到： （小时）所以，3人配备1辆摩托车从A地到B地最少需要小时。评注：设定了未知数后，确定“3人从A地到B地需要时间最少”的条件是“甲携带丙乘摩托车驶向B地，恰好与乙同时到达B地”，方能列出方程（组），正确求解。7某市居民自来水收费标

10、准如下：每户每月用水4吨以下，每吨1.80元。当超过4吨时，超过部分每吨3.00元。某月甲、乙两户用水量之比为5:3，共缴水费26.40元。问甲、乙两户各应交水费多少元?（第8届华杯赛复赛第11题）解：设甲该月用水量为5吨，则乙用水量为3吨。若，可以列出方程这与条件不符。若 则得方程 于是有此时，成立，但。由此可知，甲、乙用水都超过4吨，即可得到方程： 于是，甲应交水费： （元）乙应交水费： （元）评注：本题的关键是判断甲、乙两户用水都超过4吨。这里的判断方法用的是排除法。在算出甲应交水费17.7元后，由，立即可得到乙的应交水费，我们这里之所以用公式计算是为了验算结果的正确，计算无误。8某商贸

11、服务公司，为客户出售货物，收取3%的服务费；代客户购置物品，收取3%的服务费。今有一客户委托该公司出售自产的某种物品并代为购置新设备。已知该公司共收取了客户服务费264元，客户恰好收支平衡。问：所购置的新设备花费了多少元？（第7届华杯赛初一组复赛第8题）解：根据题意，可知： 出售物品的收入 - 出售服务费 = 购置设备费用 + 购置服务费 即出售物品的收入 - 购置设备费用 = 总服务费另一方面，自然有出售服务费 + 购置服务费 = 总服务费设出售物品的收入为元，购置设备的费用为y元。于是根据上面两个关系可以列出二元一次方程组： （1） （2） 将（2）化简得 （3） 由（1）得 （4） 将（

12、4）代入（3），得 （5） 化简（5），得 将此值代入（4）得 （元）答：购置的新设备花费了5121.6 元。评注：本题解题的关键是分析清楚所述各量之间的关系，用方程来求解是不会有困难的，设两个未知数可使得方程一目了然。9今年，祖父的年龄是小明的年龄的6倍。几年后，祖父的年龄将是小明的年龄的5倍。又过几年后，祖父的年龄将是小明的年龄的4倍。问：祖父今年是多少岁？（第3届华杯赛复赛第11题） 解：设小明今年岁，那么今年祖父岁。设年后，祖父的年龄将是小明的年龄的5倍，可得方程又过年以后，祖父的年龄将是小明的年龄的4倍，所以 这里，都是正整数。 因为祖父今年岁，显然必有 ； 又有 ，且是4的倍数，因

13、此只能取4，8，12，32；另一方面，则必须是3的倍数，这样只能取12，24；因而祖父今年的年龄是72，144；根据实际情况，孙子24岁，祖父岁是不可能的，而孙子12岁，祖父岁是可能的。答：祖父今年72岁。评注：这里出现的方程是不定方程，可能有多个解，但根据实际情况，我们确定了它的唯一解。这说明在解对应于实际问题的方程时，必须要对得到的解进行验算和判断，看它是否真是问题的解。10一台天平，右盘上有若干重量相等的白球，左盘上有若干重量相等的黑球，这时两边平衡。从右盘上取走一个白球置于左盘上，再把左盘的两个黑球置于右盘上，同时给左盘加20克砝码，这时两边也平衡。如从右盘移两个白球到左盘上，从左盘移

14、一个黑球到右盘上，则须再放50克砝码于右盘上，两边才平衡。问：白球、黑球每个重多少克？（第5届华杯赛复赛第6题）解：设每个黑球重克，每个白球重y克。依题意，分别计算天平左、右盘上的增减重量，得到如下的二元一次方程组：由此可知从方程（1）解出，将它代入方程（2）得 答：每个黑球重15克，白球重20克。 评注：本题如用算术方法求解，分析起来比较麻烦，关系较乱，大家不妨可以试试看。列方程求解，则只要形式上进行运算即可，无须考虑其背景，且不容易出错。11采茶姑娘每天上山采茶，上山每小时行0.7千米，下山每小时行2.1千米。一天，她从山脚走到山顶，再从山顶回到山脚，共用去6小时，她的平均速度是多少？ 解

15、：设从山脚到山顶的路程为千米，则得方程 即 （千米） 她往返共行了 2x千米，故平均速度是每小时 千米 答：她的平均速度是每小时1050米。 评注：求平均速度，有人可能立即会认为就是上山速度和下山速度的平均 即每小时1400米，其实这是概念上的模糊。12在什么温度时，华氏温度计和摄氏温度计的读数相同？ 解：华氏的冰点是32，沸点是212，摄氏的冰点是0，沸点是100。所以摄氏1度相当于华氏度。 设温度摄氏的华氏度数也是（），则 移项、化简得 这里的负号表示在冰点以下，即温度零下，有 -40 = -40答：华氏零下40度也是摄氏零下40度。评注：本例给出一元一次方程有负数解的情形，负号表示和选取

16、的方向相反，是有实际意义的，因此解是合理的。13下面是一道古印度算题：在波平如镜的湖面上，有一朵美丽的红莲，它高出水面3尺，一阵大风刮过，红莲被吹到一边，花朵齐及水面，如果知道红莲移动的水平距离为6尺，问这里水深多少？ 解：如图， ABCD已知红莲在无风时高出水面部分CD长3尺，B为红莲被吹斜后花朵的位置，水平距离BC为6尺。CA为水深，设为尺，于是 。因为ADB是直角三角形，由勾股定理可列出方程如下：移项、化简得 答：水深4.5尺。评注：在列方程的过程中虽然出现了项，但经过合并相消，最后得到的方程还是一次的。14有一群儿童，他们的年龄之和是50岁，其中最大的为13岁，有一个是10岁，除去10

17、岁的这个儿童外，其余儿童的年龄组成一个等差数列，问共有几个儿童？每个儿童几岁？解：设年龄成等差数列的儿童个数为n，n是未知数，于是他们的年龄之和为50-10=40，他们中最大的是13岁，最小的设为a岁，a也是未知数，这里n和a都是整数。由等差数列的求和公式，即可列出如下方程由此可知，n是80的因子，且。由后面两个不等式可得，但n还要是80的因子，所以n只能取4和5。于是可两种情况分析和计算：当n=4时，由（1）得 。容易作判断：在7和13之间恰好能插进2项：9和11，使它们成等差数列。当n=5时，由（1）得 。但是，在3和13之间不能插进3个整数，使得它们成等差数列。因此，这种情况是不成立的。

18、答：共有5个儿童，他们的年龄分别是7，9，10，11，13。评注：本例实际上是求不定方程的整数解，而且方程不是一次的。结果表明方程有唯一解。这里用到通过因子分析确定解的范围的方法具有普遍性。15A、B两地相距13.5千米，甲、乙两人分别从A、B同时出发，各在A、B间往返一次。这时，甲比乙先回到原地，而且两人第一次在C点相遇，第二次在D点相遇，从第一次相遇到第二次相遇经过的时间是3小时20分钟，C、D两点相距3千米。求甲、乙两人的速度（假定他们的行走速度不变）。ABCD 解：设甲、乙的速度分别为每小时x千米、y千米（xy），他们在C点相遇的时间为t小时，则得 （1）从C点相遇到D点相遇经过的时间

19、是小时，由图可知：D点在C点的靠A点一侧，甲走过的路程为，乙走过的路程为，故得 （2） （3） 由（2）、（3）得 将这两个式子的左边和左边相加，右边和右边相加，得到 将此t值代入（1）和（2）得 （4） 和 （5） 将（4）和（5）两式相加，得 ， 将（4）和（5）两式相减，得 答：甲的速度为4.5千米/小时，乙的速度为3.6千米/小时。 评注：在分析题意时，只设甲和乙的速度为未知数，还不能列出方程来，于是再将首次相遇时的时间也取作未知数，三个未知数，可列出三个方程，但不是一次方程。在解这组方程时，要应用一些技巧，方能奏效，一如上面所做。16有一项工作，甲、乙两人一起干若干天可完成，甲单独干

20、要多花18天才能完成，乙单独干要多花32天。问甲、乙单独干各要多少天？ 解：设甲、乙单独完成这项工作分布用x天、y天，两个人一起干用t天，则可列出方程如下 将（2）、（3）代入（1），得到 代入（2）和（3），即得 答：甲单独干要42天，乙单独干要56天。 评注：上面求解过程中，要进行代数式的四则运算，根据运算规则不难完成的。而且，这里通过分解因子可完成“开平方”。17小王从家里步行去车站乘火车，准备在开车前5分钟到车站。他走了1千米时，发现家里的钟慢10分钟，于是跑步到车站，因火车晚点1分钟，正好赶上。若一开始就跑步去，可以比走着去早10分钟到车站。已知小王步行速度是每小时4千米，求从家到火

21、车站的距离。 解：设从家到火车站的距离为x千米，小王跑步的速度为每小时y千米。 小王本应晚5分钟，可火车晚点1分钟，所以只晚4分钟，由于跑步而提早了4分钟，才正好赶上，因此得到 同样，若一开始就跑步去，则有 将（2）、（1）两式相减得 将此值代入（2）得 答：从家到火车站的距离是千米，跑步的速度是每小时千米。18一个首位数字为1的六位数，将首位数字移到末尾，其余数字顺序不变，得 到的新六位数是原六位数的3倍，求此六位数。 解：设去掉首位数字后得到的五位数为，依题意得方程 化简，得 答：所求的六位数为142857。19某晚，家中停电，遂燃两支蜡烛照明。两烛长度相同，粗细不同，已知粗烛可燃5小时，

22、细烛可燃4小时。来电以后，将烛火吹灭，此时粗烛剩余长度恰好是细烛的4倍。问两支蜡烛已经点燃了多少小时？解：设两支蜡烛已经点燃了小时。不妨假定两支蜡烛的长度为1，粗烛每小时燃去，细烛每小时燃去，小时后各燃去，即得方程可化简为 解得 （小时）答：两支蜡烛已经点燃了3小时45分。20某次数学竞赛前60名获奖，原定一等奖5人，二等奖15人，三等奖40人。现调整为一等奖10人，二等奖20人，三等奖30人。调整后，一等奖平均分数下降了3分，二等奖平均分数下降了2分，三等奖平均分数下降了1分。如果原来二等奖比三等奖平均分数多7分。问调整后，一等奖比二等奖平均分数多几分？ 解：设调整后的一、二、三等奖的平均分

23、数分别为，则有 由此得到 （1） 又调整前的二等奖平均分数为y+2，三等奖平均分数为z+1，得 即 （2） 由（1）（2）得到 答：调整后，一等奖比二等奖平均分数多5分。21一次聚会结束时，到会的人互相握手道别，每人都和其他所有的人握过一次手，共握手105次，问参加聚会的有多少人？解：设到会的有人，每人须和其他人握手一次，共计握手次。但是，当甲握乙手时，乙也握甲手，所以两次只能作一次算，实际握手的总次数只有，于是得到方程答：参加聚会的有15人。22从甲地到乙地的公路，只有上坡路和下坡路，没有平路。一辆汽车上坡时每小时行驶20千米，下坡时每小时行驶35千米。汽车从甲地开往乙地需9小时，从乙地开往

24、甲地需小时。问：甲、乙两地间的公路有多少千米？从甲地到乙地须行驶多少千米的上坡路？（第5届华杯赛复赛第9题） 解：设从甲地到乙地经过的上坡路为千米，下坡路为千米。依题意，可得如下方程组 将（1）式和（2）式相加，得到 同样地，将（1）式和（2）式相减，得到再将（3）式和（4）式相加，便得到 答：甲、乙间的公路长为210千米，从甲地到乙地须行驶140千米的上坡路。23摄制组从A市到B市有一天的路程，计划上午比下午多走100千米到C市吃午饭。由于堵车，中午才赶到一个下镇，只行驶了原计划的三分之一。过了小镇，汽车赶了400千米，傍晚才停下来休息。司机说，再走从C市到这里路程的二分之一就到达目的地了。

25、问：A、B两市相距多少千米？（第5届华杯赛决赛第二试第1题）EDCAB 解：设 则有 （1） 因为，所以 又已知 ，故得 答：A、B两市相距600千米。评注：此题得到的方程（1）和（2），由于方程（2）实际上与未知数y无关，只要千米，恒可满足题目的要求，因此题目里“计划上午比下午多走100千米到C市吃午饭”中的100千米这一条件（即方程（2）是不必要的！也就是说千米的解答总是唯一的。24现有甲、乙两种卡通玩具昆虫。甲种玩具昆虫每只有1只眼睛和40只脚；乙种玩具昆虫每只有3只眼睛和若干只脚。两种玩具昆虫共有26只眼睛和298只脚。问乙种玩具昆虫每只有多少只脚？解：设甲种玩具昆虫有只，乙种玩具昆虫

26、有y只，且每只有k只脚。则甲种玩具昆虫共有眼睛只，共有脚 只；乙种玩具昆虫共有眼睛3y只，共有脚 只。依题意可列出方程组由（1）得 ， 即是被3除余2的自然数，可取2，5，8，11，14，由（2）可知 ，即=2或5。当=2时，由（1）得 =8。 但不满足（2），因此时k不能为整数。当=5时，由（1）得 =7。 由（2）得 。答：乙种玩具昆虫每只有14只脚。25某学校共有350名同学，一次组织郊游，高年级同学每人交10元，低年级同学每人交8.15元，全体低年级同学和一部分高年级同学参加了郊游。同学们交的钱总数与高年级同学总人数无关。问 ：低年级同学交的钱的总数是多少？解：设高年级同学共有m人，没

27、有参加郊游的人数的百分比为x， 则同学们交的钱总数T为 显然，只有当 时，T的值才能与m无关。此外，因为，并且m和0.185m都是整数，所以。由此可得，共有150名低年级同学，他们共交钱元答：低年级同学共交钱 1220.50元.26在分母小于15的最简分数中，不等于且与最接近的是哪一个？解：设所求的分数为，则 取自然数m、n使 分别解得 或 ，即要求使m为整数的最大n （nn）。可以直接验算。我国清代数学家罗士琳就得到过上述结果。 有了这个解的表达式，就可以回答开始提到的问题。将它代入方程 中，得到 由 m-n=1，n=4， 得 m=5， 因而三边为 9，40，41 由 m-n=2，n=2，

28、得 m=4， 因而三边为 12，16，20 由 m-n=4，n=1， 得 m=5， 因而三边为 24，10，26 如果 x，y，z有最大公因子 k1，即设三边为同样计算，结果并没有得到新的解。所以，问题的解只有以上3组，其中第二组在前面已经得到了，其余两组是新的。方程（1）有整数解，但是不定方程 （2）是否有整数解呢？这就是著名的“费马猜想”。这个问题自费马在1637年提出以来，历经三个半世纪，经过无数著名数学家的努力，始终没有结果，说明这个问题的艰深。直到1994年才最终被美国数学家怀尔斯用高深的数学方法解决。结论是不定方程（2）没有整数解，这就是“费马大定理”。 29求不定方程 的正整数解x，y，z 。解：原方程可化为 （1）由于3是质数，且x，y，z的地位是对称的，所以不妨假定 （这个记号表示 能被3整除）。故得 （2）于是 （3）因此，不妨假定 ， 代入（3）得 整理为关于的方程： 由此得 即 于是 ，故得 下面分别讨论：1） 当 k=2时，则 m=1或 m