土壤污染评价标准

1、Banach压缩不动点原理在求解迭代数列极限中的应用李景明（池州学院数学系数学与应用数学专业）【摘要】：本文利用Banach压缩不动点原理将求解迭代数列的极限问题转化为求某一函数的不动点问题，并举例介绍了这种方法在求解迭代数列中的应用。【关键词】：Banach压缩不动点原理 迭代数列引言在数学分析1中，关于求迭代数列的极限的方法介绍了不少，比如单调有界定理、柯西收敛准则、夹比准则、利用归结原理将数列的极限转化为函数的极限，然后利用洛必达法则等等。但有时对于某些迭代数列，我们用这些常规的方法是解决不出来的，于是我们就需要引入一种新的方法。由于在泛函分析2中，我们在证明Banach压缩不动点原理的

2、过程中用到了迭代的方法，那么就可以将这种思想转化到求解迭代数列的极限上来。本文将求迭代数列的极限与求某函数的不动点联系在一起，使证明迭代数列的敛散性的过程得到简化。这种处理方法不但突出了该定理在数学分析中的应用，而且也对学习泛函分析起到了良好的铺垫作用。1. 定义、定理的引入定义1：设:在上有定义，方程在上的解称为在上的不动点。定义2：若存在一个常数，且，使得有，则称为上的一个压缩映射。定理1：（压缩映射原理）设是完备的距离空间3， ，并且对,不等式成立，其中，则存在唯一的,使得.证明：首先不难看出，是一个连续映射，其次，任取,令我们得到中的点列，从关系式 （1.1）可以看出，如果收敛，则由的

3、连续性，这个序列的极限就是的一个不动点.事实上，由 一般地， .于是，对于任意自然数， (1.2)由，可知是一个Cauchy列，因为是完备的，所以存在，使得 ，在式（1.1）的两边命并注意到的连续性，即得.现在证明唯一性假设,使得,则，由于，必有，即.以上压缩映射原理的证明，实际上告诉我们更多.首先，每一个是所求不动点的一个近似解，为了求这个近似解，只需任取一点作为最初的近似，然后逐次迭代即可.其次，在不等式（1.2）的两边令，则有. (1.3)式子（1.3）给出了作为不动点的近似解的误差估计，我们看到这一误差与的选取有关，当我们选取与愈接近时，精确度愈好。定理2：设是上的压缩映射且，对有，则

4、在上存在唯一的不动点且.证明：首先证 收敛若，则显然收敛若，取，则当时，对有如下式子：成立，即是列，由准则知，存在且。其次证明是的不动点，事实上，因是上的一个压缩映射，可知在连续，由知，即是的不动点。最后证明是的唯一不动点事实上，若，显然唯一若，不妨设还有一个不动点，则要使上式成立，只有，故只有一个不动点推论1：设是上的压缩映射且，则在上存在唯一的不动点证明：因为，而对有之中，从而压缩映射原理成立。推论2：设在连续，在可微，且存在，对使得，则是上的压缩映射。由压缩映射及中值定理可证该推论。2.应用举例例1：设，求.解：考查函数 ，易见对有           ，又，  ，因此是压缩的。由压缩映射原理，数列收敛设则是在上的解，解得. 即.例2：设证明数列收敛并求极限。解：考查函数， 且在上有，因此在是压缩的。，由压缩映射原理，数列收敛且极限为方程的解，解得.例3：设证明数列收敛并求极限.解：考查函数，且在上有因此在是压缩的。，由压缩映射原理，数列收敛且极限为方程的解，解得.3.参考文献1 华东师范大学数学系.数学分析.北京：高等教