二项式定理习题精选精讲

1、基本内容一、二项式定理(a b)n C0an C；an 1b1C：an rbrC：bn(n N )这个公式表示的定理叫做二项式定理，公式右边的多项式叫做(a3”的展开式1.项数规律：展开式共有n+1个项2,二项式系数规律：C0、C；、C：、3.指数规律：(1)各项的次数和均为n;(2)二项和白第一项a的次数由n逐次降到0,第二项b的次数由0 逐次升到n.特别J地：1、把b用-b代替2、令 a=1, b=x3、令 a=1, b=1(公式为n个(a+b)乘积的结果，利用计数原理分析所得结果，掌握递推法)二、杨辉三角：表中的每一个数等于它肩上的两数的和rn 1r 1nr n1、每行数字左右对称，由1

2、开始逐渐变大，然后变小，回到12、第n行的数字个数为n个。3、第n行数字和为2n 1。4、每个数字等于上一行的左右两个数字之和。 可用此性质写出整个帕斯卡三角形。112C3Cn 1 Cn223C4Cn 1Cn1 15、斜行数字之和 1+2 + 3+ .+ Cn1= 0 即 C1 C22 21+3 + 6+ -+ Cn1 =Cn 即 C2 C31+4+10+白飞4r rrrr 1。Cr 1 G 2 。1 C第三数为 1x(n-1) Xn-2) /2,6、第n行的第1个数为1,第二个数为1x(n-1), 第四个数为1x(n-1) x(n-2) /2 x(n-3) /3依此类推 三、二项式展开的通项

3、(第r+1项)Tr 1 C；anrbr四、二项式系数性质二项式系数的函数观点：从函数角度看,rCn 可看成是以r为自变量的函数f(r),其定义域是:图像：孤立的点0,1,2,nf (r) Cn定义域0,1,2, ,n1 .对称性Cm Cn m在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等。2 .增减性与最大值当K<U 时，二项式系数是逐渐增大的，由对称性知它的后半部是逐渐减小的,2且在中间取得最大值。n 1 口当n是偶数时，中间的一项第 2 1项，C2 取得最大时n -1n 1口 u当n是奇数时，中间的两项第 一2 1项和第一2 1项，Cn2 、Cn2 相等，且同时取得最大值

4、。n 1 n 1 n 1n 1 n 1 n 1(当n为奇数时，(a b)n的展开式的中间项是C；a丁b三和C；a丁b二；n n n当n为偶数时，(a b)n的展开式的中间项是C商搂。)3 .各二项式系数和2n co cn c； cn常见题型及解法一、求二项展开式n ”1. (a b)例1 .求(3荻型的展开式二)4的展开式;，x解：原式=(3X1)4=(3X 1)2X1041二F©4(3x)C4(3x)2C4(3X)C4(3X)C4254x2 12x 1)154 x= 4(81x4 84x3 x2 12=81x84 x 一x(直接展开也可以，但稍显麻烦)小结: 的这种 2.'

5、例2.这类题目一般为容易题目，高考一般不会考到，但是题目解决过程中 “先化简在展开”的思想在高考题目中会有体现的。(a b)n”型的展开式求(3方 ；)4的展开式；x分析：解决此题，只需要把(3、不 ：)4改写成3右(4)4的形式然后按照二 xx项展开式的格式展开即可。本题主要考察了学生的“问题转化”能力。3 .二项式展开式的“逆用”例3.计算 1 3C1n 9C： 27C3 . ( 1)n3ncn；解：原式二C： C：( 3)1 C：( 3)2 C：( 3)3 . C：( 3)n (1 3)n ( 2)n小结：公式的变形应用，正逆应用，有利于深刻理解数学公式，把握公式本质。例1计算并求值 1

6、 20； 4C2 L 2nC：(2) (x 1)5 5(x 1)4 10(x 1)3 10(x 1)2 5(x 1)解：(2)原式C0(x 15 c5(x 4 C2(x 1fC3(x 1f c4(x 1) 0 c5(x 1) 1f 1x5 1例3 若 n N，(亚 1)n 五% b1,(an,bn Z)，则bn的值(A )A 一定为奇数B与n的奇偶性相反C 一定为偶数D与n的奇偶性相同解:“4 b (1 V2)n C * c2(V2)2C3曲3 LCn(V2)nbn CO *2)2 C：(V2)4 L 奇 偶偶所以bn为奇数故选(A) 思考能用特殊值法吗？二、通项公式的应用1 .确定二项式中的

7、有关元素例4.已知（a 白的展开式中x3的系数为9 ,常数a的值为x 24解：Tri C；（a）9r（臼, C9（ 1）r 2； a9r x” x : 2令 3r 9 3,即 r 8 2依题意，得c8 （ 1）8 2 4 a982,解得 a 142 .确定二项展开式的常数项、有理项（常数项即X0项.有理项即整数次募项） 1、求常数项例5./5）10展开式中的常数项是解:Tr1 C；o(. X)10r( 31 )r3 X人 5令5 r 0 ,即 r6。6所以常数项是(1)6C1605却(1)rC；0 X 62102、例求有理项10.求（石）10的展开式中有理项共有3 X项;4rr10 r /1、

8、r r r 10 -3"斛：Tr 1。(“)(板)C10( 1) X当r 0,3,6,9时，所对应的项是有理项。故展开式中有理项有4项。当一个代数式各个字母的指数都是整数时，那么这个代数式是有理式;当一个代数式中各个字母的指数不都是整数（或说是不可约分数）时, 那么这个代数式是无理式。3.求单一二项式指定哥的系数例6. （03全国）（X2工）9展开式中X9的系数是2x解：1 C；葭2）91令 18 3x 9,则 r 3 1 321C9（ 2）3%练习：试判断在1 r _ r 18 2r 1 r 1 1 r _ r z 丁)一 C9X (二)()- C9( 2x 52 X 51 r 1

9、8 3x2)X3,从而可以得到x9的系数为:填212练习(i)：试判断在x + 的展开式中有 无常数项？如果有，余曲x常数项；如果没有，说明理由.(2)由(，3x V2)100展开式所得的x的 多项式中，系数为有理数的共有多少项？(t7 7 共 17 项)三、求几个二项式的和(积)的展开式中的条件项的系数例7. (x 1) (x 1)2 (x 1)3 (x 1)4 (x 1)5的展开式中，X2的系数等于解：x2的系数是四个二项展开式中4个含x2的，则有C0( 1)0 c3( 1)1cj( 1)2c；( 1)3(C0c3 c2 c/)20例8. (02全国)(x2 1)(x 2)7的展开式中，x

10、3项的系数是解：在展开式中，x3的来源有：第一个因式中取出x2,则第二个因式必出x,其系数为C7( 2)6；第一个因式中取出1,则第二个因式中必出x3,其系数为C7( 2) x3的系数应为：c7( 2)6 c7( 2)4 1008,填 1008。练习、：求例6:求(Jx1f(2x 仔的展开式中x6项的系四、利用二项式定理的性质解题1.求中间项例9.求(4)10的展开式的中间项； x解：Tr1 口。(a)10(套)，展开式的中间项为C：°(4)5()55即： 252x6。2.求系数最大或最小项注意区别二项式系数与项的系数的概念：r二项式系数为 Cn ；项的系数为：二项式系数与数字系数的

11、积(1)特殊的系数最大或最小问题例11. (00上海)在二项式(x 1)11的展开式中，系数最小的项的系数是 ；解：Tr1 Cx11 r( 1)r要使项的系数最小，则r必为奇数，且使C；1为最大，由此得r 5, 从而可知最小项的系数为C：( 1)5462(2) 一般的系数最大或最小问题例12.求(17 4)8展开式中系数最大的项；24 x解：记第r项系数为设第k项系数最大，则有又T.k 1C8 .2k 1C8C81,2r1那么有,2 k 18!k 2C8 .2c8.28!2(k 1)!.(9 K)! (K 2)!.(10 K)!(K8!1)!.(9 K)!2K 1 2K8!K!(8 K)!例1

12、3.在(x y)7的展开式中，系数绝对值最大项是解：求系数绝对最大问题都可以将" (a b)n"型转化为"(a b)n”型 来处理，故此答案为第4项C；x3y4,和第5项 C；x2y 系数最大的项为第3项T3 7x和第4项T4。练习、若C19与C；1W时有最大值，m (4 或 5)五、利用“赋值法”求部分项系数，二项式系数和几个结论：1、a=b=1 , C；c；c：C： 2n2、0a=1、b=-1 , Qy n4.求证：C0 2Cn 3C2 .C：C2C：2n-12n2n 1nC：2n 1倒序相加求和法例10 求证C； 2C： 3C； L分析：本题的左边是一个数列

13、但不能直接求和为c° c；,c； c； 1 C： c；r由此分析求解解：设 Sn0 C； C； 2c； 3C3L (n 1)C1 nCnns nC0 (n 1)cn (n 2)C2on12sn(C；C；C2c；1 c；)2n2n 114.若(2x3)则(a。 解： (2xa0a1xa2 a4 )3)4a02a2x(a134a3x a4x )a3)2的值为令 x 1 ,有(2 <3)2axa2x4令 x 1 ,有(2 V3)a； a;4 (a；3 a3xa?a?4adxa3 a,，a,) (a a3)a2 a4) (a1 a3)故原式= (a; a; a2 a3 a4).(a;=

14、(23)4.( 2-,3)4=(1)4 11, 1,0在用“赋值法”求值时，要找准待求代数式与已知条件的联系，一般而言: 特殊值在解题过程中考虑的比较多。例 15.设(2x 1)6 a6x6 a5x5 . ax aQ,则 a0 ai a?.%；分析：解题过程分两步走；第二1定所给绝对值符号内的数的符号；第二步是用赋值法求的化简后的代数式的值。解：Tri C6(2x)6 r (1)a。aia?.a6a。aa?a3a4a§a6= (a° a? a4 a6) (a1 a3 a5)=0练习(2x2 1)n的展开式的各项系数和为 12 n2n2(n 1)解：设(2x1) a0xa1x

15、an展开式各项系数和为a。司a2an上式是恒等式，所以当且仅当x=1时，(2-1) n= a0 al a 4.a0 a a2an=(2-1 ) n=1注意：求展开式中各项系数和常用赋值法：令二项式中的字母为14.已知(1 2x)7a0 a1x a2x2 La7x7贝 1 a1 a2 L a7 a1 a3 a5 a7a0 a2 a4 a6(-2-10941093)六、利用二项式定理求近似值例16.求0.9986的近似值，使误差小于0.001；分析：因为0.9986=(1 0.002)6,故可以用二项式定理展开计算。解：0.9986=(1 0.002)6=1 6.( 0.002)1 15.( 0.

16、002)2 . ( 0.002)6 222T3 C6.( 0.002)2 15 ( 0.002)2 0.00006 0.001,且第3项以后的绝对值都小于0.001, 从第3项起，以后的项都可以忽略不计。0.9986=(1 0.002)6 1 6 ( 0.002) = 1 0.012 0.988小结：由(1 x)n 1 C1nx C2x2 . C：xn，当x的绝对值与1相比很小且n很 大时，x2,x3,.xn等项的绝对值都很小，因此在精确度允许的范围内可以忽略不 计，因此可以用近似计算公式：(1 x)n 1 nx,在使用这个公式时，要注意 按问题对精确度的要求，来确定对展开式中各项的取舍，若精确度要求较高， 则可以使用更精确的公式：(1 x)n 1 nx nUx2。2利用二项式定理求近似值在近几年的高考没有出现题目，但是按照新课标要求，对高中学生的计算能力是有一定的要求，其中比较重要的一个能力就 是估算能力。所以有必要掌握利用二项式定理来求近似值。七、利用二项式定理证明整除问题例17.求证：5151 1能被7整除。证明：5151 151=(49 2)1051150