统计学 ：第三章 统计描述

1、3-2-11-1第三章第三章 统计描述统计描述n第一节第一节 分布的集中趋势分布的集中趋势n第二节第二节 分布的离散趋势分布的离散趋势n第三节第三节 分布的偏度与峰度分布的偏度与峰度3-2-2一、统计平均指标的意义和作用一、统计平均指标的意义和作用n(一一)统计平均数的含义统计平均数的含义n(二二)统计平均数的作用统计平均数的作用n(三三)统计平均数的种类统计平均数的种类3-2-3第一节第一节 分布的平均水平、集中趋势分布的平均水平、集中趋势一、平均指标的意义和作用一、平均指标的意义和作用1、定义、定义平均指标是同类社会经济现象在平均指标是同类社会经济现象在一定时间、地点条件下所达到的一般一定

2、时间、地点条件下所达到的一般水平，是度量分布集中趋势或中心位水平，是度量分布集中趋势或中心位置的指标。置的指标。3-2-42、作用、作用（1）反映总体各单位变量分布的集中趋势和）反映总体各单位变量分布的集中趋势和一般水平。一般水平。 （2）比较同类现象在不同单位的发展水平。）比较同类现象在不同单位的发展水平。（3）比较同类现象在不同时期的发展变化趋）比较同类现象在不同时期的发展变化趋势或规律。势或规律。（4）用于分析现象之间的依存关系）用于分析现象之间的依存关系 3-2-53、平均指标的种类、平均指标的种类l根据各种平均数的具体代表意义和计算方式根据各种平均数的具体代表意义和计算方式的不同，统

3、计平均数可分为的不同，统计平均数可分为两类：即数值平均数和两类：即数值平均数和位置平均数位置平均数。l数值平均数数值平均数就是以分配数列的所有各项数据来计就是以分配数列的所有各项数据来计算的平均数，用以反映分配数列的所有各项数值的算的平均数，用以反映分配数列的所有各项数值的平均水平。平均水平。n数值平均数包括了算术平均数、调和平均数和几数值平均数包括了算术平均数、调和平均数和几何平均数。何平均数。n平均数的特点，分配数列中任何一项数据的变动，平均数的特点，分配数列中任何一项数据的变动，都会在一定程度上影响到数值平均数的计算结果。都会在一定程度上影响到数值平均数的计算结果。3-2-6位置平均数位

4、置平均数是根据数列中处于特殊位置是根据数列中处于特殊位置上的个别单位或部分单位的标志值来确定的。上的个别单位或部分单位的标志值来确定的。常用的位置平均数：众数和中位数。常用的位置平均数：众数和中位数。3-2-7统计平均数的种类统计平均数的种类统计平均数统计平均数数数 值值平均数平均数位位 置置平均数平均数几何平均数几何平均数调和平均数调和平均数算术平均数算术平均数分分 位位 数数中中 位位 数数众众 数数3-2-8二、算术平均数：二、算术平均数： 总体单位总量总体标志总量算术平均数 （一）算术平均数的基本形式：是将总（一）算术平均数的基本形式：是将总体单位的某一体单位的某一 数量标志值之和除以

5、总体数量标志值之和除以总体单位数。即单位数。即 3-2-9平均指标与强度相对指标平均指标与强度相对指标强度相对指标是两个有联系的不同总体的总量强度相对指标是两个有联系的不同总体的总量指标对比的结果，这两个总量指标没有依存关指标对比的结果，这两个总量指标没有依存关系。系。平均指标时，分子与分母必须同属一个总体，平均指标时，分子与分母必须同属一个总体，具有一一对应关系，即有一个总体单位，必有具有一一对应关系，即有一个总体单位，必有一个标志值与之对应。一个标志值与之对应。系的总量指标另一性质不同而又有联某一总量指标强度相对指标3-2-10总人口数粮食总产量人均粮食产量总面积土地耕地粮食总产量平均亩产

6、量)(案例案例:强度相对指标强度相对指标3-2-11全国总人口数钢产量人均钢产量全国钢铁工人数钢产量平均钢产量全国钢铁工人3-2-12全国总人口数钢产量人均钢产量全国钢铁工人数钢产量平均钢产量全国钢铁工人 强度相对指标：强度相对指标： 算术平均数：算术平均数： 案例：平均指标与强度相对指标案例：平均指标与强度相对指标3-2-131.简单算术平均数：适用于未分组的资料简单算术平均数：适用于未分组的资料，用总体各单，用总体各单位标志值简单加总得到的标志总量除以单位总量而得。位标志值简单加总得到的标志总量除以单位总量而得。（1）例：生产小组）例：生产小组5个工人的日产量分别为个工人的日产量分别为28

7、、25、30、35、42件，则平均工人日产量件，则平均工人日产量=（28+25+30+35+42）/5=32（件）（件）（2）计算公式：）计算公式：nxnxnxxxxniin121（二）算术平均数的计算（二）算术平均数的计算3-2-14例如，某班例如，某班50位同学统计学考试的成绩资料：位同学统计学考试的成绩资料：n 608246737791658469745668767388667580907779615256727585676874757886893678778365688278707285926775556672.7250363650665546826021nxnxxxxn3-2-152

8、.加权算术平均数。加权算术平均数。n加权算术平均数主要用于原始资料已经分组，加权算术平均数主要用于原始资料已经分组，并得出次数分布的条件。计算公式：并得出次数分布的条件。计算公式： fi 为各组标志值出现的次数。为各组标志值出现的次数。niiniiinnnffxffffxfxfxx112122113-2-16（1）单项式数列的算术平均数）单项式数列的算术平均数日产量（件） 工人数20212223242510203060503020042066013801200750合计2004610日产量（件） 工人数202122232425102030605030合计200)(05.232004610件fx

9、fx权数权数加权加权xfxfxf例：某机械厂工人日产零件数的分配数列例：某机械厂工人日产零件数的分配数列3-2-17（2）组距式加权算术平均数）组距式加权算术平均数以以组中值组中值作为各组的代表值，作为各组的代表值，假定假定各组标各组标志值在组内分布是志值在组内分布是均匀均匀的。的。nnnffffxfxfxx212211fxf3-2-18例：某年我国例：某年我国80个产棉大县的分配数列个产棉大县的分配数列按产棉量分组（百吨）县数 组中值100 以下100200200300300400400 以上54216134501502503504502506300400045501800合计8016900

10、)(25.2118016900百吨平均每县产棉量fxfxxfxf3-2-19na）加权算术平均数受两个因素的影响，）加权算术平均数受两个因素的影响，一个是分配数列中各组的标志值一个是分配数列中各组的标志值xi，另，另一个是各组标志值出现的次数一个是各组标志值出现的次数fi。nb）各组标志值出现的次数在计算平均数）各组标志值出现的次数在计算平均数的过程中起着权衡加轻重的作用，故常的过程中起着权衡加轻重的作用，故常将其称作将其称作“权数权数”。（3）权数的作用和形式）权数的作用和形式3-2-20日产量（件） 工人数202122232425102030605030合计200权数的作用权数的作用3-2

11、-21（3）权数的作用和形式）权数的作用和形式nC）权数的形式：次数和频率。）权数的形式：次数和频率。nd ）下列两种情况，分组资料可以不考虑权数，）下列两种情况，分组资料可以不考虑权数，而用简单算术平均数。而用简单算术平均数。n当各组的权数相同时。当各组的权数相同时。n当分布数列完全对称时。当分布数列完全对称时。nxnAxAffxfxfxxnn22113-2-22(4)加权算术平均数的频率公式。加权算术平均数的频率公式。ffxffxffxffxfxfxxnnnn22112211 ffx3-2-23例如例如:成绩成绩（分）（分）人数（人）人数（人）比重比重（%）组中值组中值（X）60以下以下6

12、1255607012246570801938758090102085901003695合合 计计501003-2-2431019126395108519751265655x4 .73%695%2085%3875%2465%1255x4 .733-2-25思考思考n为什么使用简单算术平均数与加权算术平均为什么使用简单算术平均数与加权算术平均数的结果有时会不同数的结果有时会不同?n什么情况下两者才会相同什么情况下两者才会相同,或者如何才能相同或者如何才能相同?3-2-26补充补充:权数的选择权数的选择n在分配数列中，一般权数就是频数，但也有在分配数列中，一般权数就是频数，但也有例外。例外。n对相对

13、指标（或平均指标）计算平均数时，对相对指标（或平均指标）计算平均数时，经常遇到次数并不适合做相对数的情况，此经常遇到次数并不适合做相对数的情况，此时应该根据相对指标的含义，选择适当的权时应该根据相对指标的含义，选择适当的权数。数。3-2-27某公司下属三个部门销售情况某公司下属三个部门销售情况例如例如:设某公司下属三个部门的销售资料如下表设某公司下属三个部门的销售资料如下表部门部门销售利润率（销售利润率（%） 销售额（万元）销售额（万元）xfABC12107100020001500合计合计45003-2-28n三个部门的平均利润率即是公司的销售利润率。所三个部门的平均利润率即是公司的销售利润率

14、。所以可用各部门的利润率乘以销售额得到各部门的利以可用各部门的利润率乘以销售额得到各部门的利润额，然后用各部门利润总额除以总销售额便可得润额，然后用各部门利润总额除以总销售额便可得到平均利润率。其计算公式为：到平均利润率。其计算公式为：销售额利润额销售利润率9.44% 1500200010001500%72000%101000%12ffxx3-2-29%10510001050fxf平均计划完成程度3-2-303.是非标志的平均数是非标志的平均数 n在总体中，具有某种性质的单位占总体的比在总体中，具有某种性质的单位占总体的比率为率为p，不具有该种性质的单位占总体的比率，不具有该种性质的单位占总体

15、的比率为为 q，以，以1作为具有某种性质的单位的标志值，作为具有某种性质的单位的标志值，以以0作为不具有该种性质的单位的标志值：作为不具有该种性质的单位的标志值： np也称为总体中具有某种属性的单位成数，是也称为总体中具有某种属性的单位成数，是非标志的平均数。非标志的平均数。pqpqpffxxniiniii01113-2-31（三）算术平均数的数学性质（三）算术平均数的数学性质n1.各单位标志值与算术平均数的离差之和等各单位标志值与算术平均数的离差之和等于于0。0)(xnxnxxxx0)(fxfxfxxffxxx1xnxxxxxxxxx3-2-3222)()(0 xxxxfxxfxx22)()

16、(0CxxCxx00,即2220)()()(CxxCxxxx22)(2)(nCxxCxx22)(nCxx02nC为最小。即2220)(,)()(xxxxxxn2.各单位标志值与算术平均数的离差平方和各单位标志值与算术平均数的离差平方和为最小。为最小。为任意值，设0 x证明：设3-2-333、n个个独立变量独立变量代数和的平均数等于各代数和的平均数等于各变量平均数的代数和。变量平均数的代数和。nnxxxxxx21212121xxxx对两变量，有对两变量，有若两变量分别取值如下：若两变量分别取值如下：321:1x32:2x则有则有21xx633523532422431321那么那么5 . 4665

17、544321xx233211x5 . 22322x2121xxxx5 . 45 . 223-2-34三、调和平均数（三、调和平均数（H）（一）调和平均数的公式（一）调和平均数的公式 1.调和平均数：又称调和平均数：又称倒数平均数倒数平均数，是总体单，是总体单位各标志值倒数的算术平均数的倒数。位各标志值倒数的算术平均数的倒数。2.简单调和平均数简单调和平均数 3.加权调和平均数加权调和平均数xnnxH111xmmmmxH113-2-35 三三 调和平均数调和平均数n1.简单调和平均数：标志值的倒数的算术平简单调和平均数：标志值的倒数的算术平均数的倒数。均数的倒数。 nxxxHn111121nii

18、nxnxxxn12111113-2-36115 25 40 50 m / x员工人数员工人数120 000 40 000 40 000 40 000 m （元）（元）工资总额工资总额合合 计计1 6001 000 800 x （元）（元）月月 工工 资资【例【例】 B公司员工工资资料公司员工工资资料调和平均数调和平均数3-2-371.3 调和平均数调和平均数 人人元元 . xm m H48104311512000060014000000014000080040000400004000000040 xnH 11600110001800133-2-38（二）调和平均数的应用场合（二）调和平均数的应

19、用场合n1.作为算术平均数的变形使用。已知分配数作为算术平均数的变形使用。已知分配数列各组标志值及其标志总量时，计算平均数列各组标志值及其标志总量时，计算平均数可用加权调和平均法，权数可用加权调和平均法，权数m为各组的标志为各组的标志总量。即总量。即xfm fxfxxfxfxmmH3-2-39n例：某工厂工人日产零件数资料：例：某工厂工人日产零件数资料：日 产 量 （ 件 ）x零 件 数m工 人 数xm20212223242520042066013801200750102030605030合 计4610200)(05.232004610件平均日产量xmmHfxf总体单位总量总体标志总量3-2-

20、402、 对相对指标（或平均指标）计算平均数对相对指标（或平均指标）计算平均数n例如，计算平均利润率、平均合格率、例如，计算平均利润率、平均合格率、平均计划完成程度等。计算相对指标的平均计划完成程度等。计算相对指标的平均数应根据研究标志的性质及具有资平均数应根据研究标志的性质及具有资料选用不同方法。下面用两个例子说明。料选用不同方法。下面用两个例子说明。3-2-41某公司下属三个部门销售情况某公司下属三个部门销售情况部门部门销售利润率（销售利润率（%） 销售额（万元）销售额（万元）xfABC12107100020001500合计合计4500例例1：设某公司下属三个部门的销售资料：设某公司下属三

21、个部门的销售资料如下表。如下表。3-2-42n三个部门的平均利润率即是公司的销售利润率。所三个部门的平均利润率即是公司的销售利润率。所以可用各部门的利润率乘以销售额得到各部门的利以可用各部门的利润率乘以销售额得到各部门的利润额，然后用各部门利润总额除以总销售额便可得润额，然后用各部门利润总额除以总销售额便可得到平均利润率。其计算公式为：到平均利润率。其计算公式为：销售额利润额销售利润率9.44% 1500200010001500%72000%101000%12ffxx3-2-43例例2：如果上例若缺少销售额资料而有利润额：如果上例若缺少销售额资料而有利润额资料，如下表资料，如下表某公司下属三个

22、部门销售情况某公司下属三个部门销售情况部门部门销售利润率（销售利润率（%） 利润额（万元）利润额（万元）xmABC12107120200105合计合计4253-2-44三个部门的平均利润率可以用各部门利润三个部门的平均利润率可以用各部门利润额除以销售利润率得到销售额，然后用各部额除以销售利润率得到销售额，然后用各部门利润之和除以总销售额，便可得到平均利门利润之和除以总销售额，便可得到平均利润率。其计算公式：润率。其计算公式：%44. 94500425%7105%10200%121201052001201mxmH3-2-45n计算相对指标（或平均指标）的平均数的一计算相对指标（或平均指标）的平均

23、数的一般方法可以概括如下：般方法可以概括如下：(1)若已知的是相对指标（或平均指标）的分若已知的是相对指标（或平均指标）的分母资料时，可将其作为权数，采用加权算术母资料时，可将其作为权数，采用加权算术平均法计算；平均法计算；(2)若已知的是相对指标（或平均指标）的分若已知的是相对指标（或平均指标）的分子资料时，可将其作为权数，采用加权调和子资料时，可将其作为权数，采用加权调和平均数法计算。平均数法计算。小小 结结3-2-46例：某管理局所属例：某管理局所属15个企业销售计划完成个企业销售计划完成情况资料如下表：情况资料如下表：计划任务数实际完成数计划完成程度 3-2-47销售计划完成程度（%）

24、组中值（%）x企业数实际销售额（万元）m计划销售额（万元）xm901001001101101209510511558295840115100800100合计1510501000%10510001050 xmm平均计划完成程度3-2-48例：已知某地区甲、乙、丙三个乡粮食平均亩例：已知某地区甲、乙、丙三个乡粮食平均亩产和粮食总产量如表，求全区平均亩产。产和粮食总产量如表，求全区平均亩产。乡名 平均亩产（公斤）粮食总产量（吨）甲乙丙500700800130035003600合计8400播种面积粮食总产量平均亩产3-2-49n（三）在运用加权调和平均数时，各组权数相等，就（三）在运用加权调和平均数时

25、，各组权数相等，就可以采用简单调和平均数。可以采用简单调和平均数。乡 名 平 均 亩产 （ 公斤 ）x粮 食 总产 量 （吨 ）m播 种 面积 （ 亩）xm甲乙丙500700800130035003600260050004500合 计840012100)(2 .694121008400000公斤平均亩产xmmxnxmnmxmmHmmmn1121时，当3-2-50四、几何平均数四、几何平均数n（一）定义和分类（一）定义和分类n1.几何平均数：是几何平均数：是n项标志值连乘积的项标志值连乘积的n次方根。次方根。n2.分类：分类：n（1）简单几何平均数：是）简单几何平均数：是n个标志值个标志值xi连

26、乘积的连乘积的n次方根。计算公式为：次方根。计算公式为：G=式中式中G表示几何平均数，表示几何平均数，xi表示各项标志值。表示各项标志值。nnnxxxx11213-2-51（2）加权几何平均数）加权几何平均数n加权几何平均数是各标志值加权几何平均数是各标志值fi次方的连乘积的次方的连乘积的次方根，计算公式为：次方根，计算公式为： G= niiiniinffiffnffxxxx1121213-2-52（二）应用：在某些情况下，若总体总（二）应用：在某些情况下，若总体总量是由标志值相乘得出，这时平均数量是由标志值相乘得出，这时平均数就应该用几何平均数的方式来计算。就应该用几何平均数的方式来计算。n

27、xxxn21工人数工资总额平均工资n与算术平均数不同与算术平均数不同nxxxn21工人数总产量平均产量3-2-53几何平均数几何平均数【例【例】 （简单几何平均数）（简单几何平均数）x80%90%95%工工 序序工工 序序 工工 序序 投投料料产产品品各工序平均合格率各工序平均合格率 ?3-2-541.4 几何平均数几何平均数:各各道道工工序序的的平平均均合合格格率率（简单几何平均数）（简单几何平均数）x0.800.900.95 . . . G 3950900800 . 36840 . 188 产产品品合合格格率率 .68403-2-55n例：某产品经过三个流水连续作业的车间例：某产品经过三个

28、流水连续作业的车间加工生产而成，本月第一车间的产品合格加工生产而成，本月第一车间的产品合格率为率为90%，第二车间的产品合格率为，第二车间的产品合格率为80%，第三车间的产品合格率为，第三车间的产品合格率为70%。则全厂的总合格率为：则全厂的总合格率为：%4 .50%70%80%90总合格率n这样平均合格率为这样平均合格率为3%70%80%90nx平均合格率%58.79%4 .5033-2-562：以复利计算利息。：以复利计算利息。n若以单利计算：若以单利计算：n可以看出，以复利计算利息时，可以看出，以复利计算利息时，n年后本利年后本利率的总量为率的总量为n个（个（1+r）相乘，所以本利率）相

29、乘，所以本利率的平均数用几何平均数计算。的平均数用几何平均数计算。年后的本利和。为为利率，为本金，假设nnprp0rppp001rppp2002nrpppn00n若以复利计算：若以复利计算：)1 (0001rprppp2001112)1 ()1)(1 ()1 (rprrprprpppnnrpp)1 (03-2-57n如，设某笔为期如，设某笔为期20年的投资按复利计算收年的投资按复利计算收益，前益，前10年的年利率为年的年利率为10%，中间，中间5年的年的利率为利率为8%，最后，最后5年的年利率为年的年利率为6%。求。求平均年利率。平均年利率。n解答：解答：假设初始投资额为假设初始投资额为a，则

30、，则20年后的本利和年后的本利和为为A。则。则 3-2-58nAa(1+10%)10(1+8%)5(1+6%)5所谓的平均年利率，设为所谓的平均年利率，设为r，就是要使得，就是要使得a(1+r)20=A，即即 a(1+r)20= a(1+10%)10(1+8%)5(1+6%)5 %49.10820506.1508.1101 .1)1 (r年平均本利率%49.81%49.108r年平均利率3-2-591-59练习练习n 1.三个工人加工某零件所需的时间分别为三个工人加工某零件所需的时间分别为20、25、10分钟。分钟。问：问：n （1）各做）各做10小时工，平均每零件加工时间（分）。小时工，平均

31、每零件加工时间（分）。n （2）各完成）各完成10件零件，平均每零件加工时间（分）。件零件，平均每零件加工时间（分）。n 2.银行为吸收存款，逐年提高存款利率，银行为吸收存款，逐年提高存款利率，5年各年分别为年各年分别为10%、12%、15%、18%、24%。若本金为。若本金为1000元。问：元。问：n （1）按算术平均数计算平均利率，第五年末的实际存款额是多）按算术平均数计算平均利率，第五年末的实际存款额是多少？少？n （2）按几何平均数计算平均利率，第五年末的实际存款额是多）按几何平均数计算平均利率，第五年末的实际存款额是多少？少？n （3）哪种计算方法比较合理，为什么？）哪种计算方法比较合理，为什么？3-2-601-60n1.（1）n （2）n2.（1）n （2）)(79.1510125120131分平均每零件加工时间xn)(33.183102520分平均每零件加工时间nx%8 .155%24%18%15%12%10平均利率%697.151524. 118. 115. 112. 11 . 1平均利率（元）存款额1790%8 元）（存款额2073%6