离散型l连续型概率分布综述

1、离散型分布1、 两点分布：binom （1, p ）意义：一次实验中有二个事件：成功（记1）与失败（记0）,出现的概率分别为p和1 - p，则一次试验（称为贝努利试验）成功的次数服 从一个参数为p的贝努利试验。例子（投一次硬币）分布律：f(x|p) = px(1-p)i,x =0,1(0 ： p . 1)数字特征：E(X) = p,Var(X)二 p(1 - p)2、二项分布：binom （ n，p）意义：贝努利试验独立重复n次，则试验成功的次数服从一个参数为（n，p ）的二项分布。（投n次硬币）分布律：f(x| p) = px(1-p)n,x = 0,1，川,n.(0 c pv1)数字特征：

2、E(X) =n p ,Var(X) =n p(1 p)3、多项分布：mult in o n（n, pJH,Pk）意义：一试验中有k个时间A，i=i,2, |,k，且PA） p0ipl：亍将此试验独立地重复n次，则时间人小2，川,人出现的次数服从一个参数 （n,p）的多项式分布，其中P=（Pi，P2，IH,Pk）（仍骰子问题） 分布律：kf (XiJ|l,Xk |n, p)=ppxTH p,0 兰Xi 兰n,迟 x = ni 4数字特征:E(X) = np,Var(X) = np(1 p),Cov(XX j) = np Pj4、负二项分布：n bi no m(k, p)意义：贝努利试验独立地重复

3、进行，一直到出现k次成功时停止试验, 则试验失败的次数服从一个参数(k, p)的负二项分布。分布律:f(x|k,pHpk(1p)x,xB1川数字特征:E(X 卜9)p5、几何分布:geom( p)意义：伯努利试验独立地重复进行,一直到出现有成功出现时停止试验，则试验失败的次数服从一个参数p的集合分布。分布律:f(x| p)二 p(1 - p)x,x = 0,1,2,川数字特征:6、E(X)d,Var(X)p超几何分布：hyper(N , M , n)(1-P)2p意义：从装有N个白球和M个黑球的罐子中不放回地取出k其中N M则其中的白球服从超几何分布。分布律：Ym 、x 1. k xf(x|N

4、,M ,k)=m Jx=0,1,2,川,minN,kk数字特征：E(X)= (kN) ,Var(X)=(N+Mk) kN (1- N )N +MN +M 1 N +MM +N7、 泊松分布：pois()意义：单位时间，单位长度，单位面积，单位体积中发生某一事件的 次数常可以使用泊松分布来刻画，例如某高速公路上一年内交通事故 和某办公室一天中收到的电话次数可以认为近似服从泊松分布。分布律：xf (x| ) e,x = 0,1,2,|l|. x!数字特征：E(X) =%Var(X) - 0(h：0)数字特征：E(X) =-,Var(X426、瑞利(Rayleigh )分布：rayl (b)意义：瑞

5、利(Rayleigh )分布为weibull分布的又一个特例：它是参数 为(1/2b2),2)的 weibull 分布。密度函数:2xxf (x|b)2exp( 2)b2b数字特征:tl4 一兀 2E(X)2b,Var(X)二分 b27、正态分布/咼斯分布：norm(,；2)意义：高斯分布式概率论与数理统计中最重要的一个分布。中心极限 定理表明，一个变量如果是由大量微小的、 独立的随机因素的叠加结 果，那么这个变量一定是正态变量。因此许多随机变量可以用高斯分 布表述或近似描述。密度函数:1f(x|二)e 2；-,-二：x ： ：,(-： ：，二 0)数字特征：E(X) -,Var(X) - ；

6、28对数正态分布：ln orm(,；2)意义：ln(X)服从参数为(r2)的正态分布，则X服从参数为(U2)的 对数正态分布。密度函数：1f(x|- eP2wx(ln(x) 2 2匚,x 0,(- ： ： ： ：,二 0)数字特征：E(X) -exp -c2),Var(X)二芒亩-1)e2 J29、逆正态分布：inorm (，-)意义：正态随机变量的倒数服从的分布。密度函数:入(x-M2 二厂 0)f(xhl,)=数字特征:E(X)JVar(X)=10、伽马分布：gamma(a,b)意义：k个相互独立的参数为1/b的指数分布的和服从(k,b)的伽马分布。密度函数:f(x|a,b)二 1a4eb

7、,x 0,(a0,b0)数字特征：E(X)二 ab,Var(X)二 ab2特例：a =1时的分布为指数分布;”扑=2的分布为卡方分布。11、伽马分布：igamma(a, b)意义：伽马分布随机变量的倒数服从逆伽马分布。密度函数:f (x|a, b) =x_Ca+) eJ/bx,0,(0,0)r(a)ba数字特征：1 1E(X)(a 1),Var(X)22 (a 2)(a 1)b(a 1) (a 2)b特例：a =n,b =2的分布为逆卡方分布。212、卡方(2)分布：chisq( n)意义：n个独立正态随机变量的平方和服从自由度为 n的卡方分布。密度函数：n/2_x/2f (x |n)n/2,

8、x 012n/2( n/2)数字特征：E(X)二 n,Var(X) =2n(n 2)13、逆卡方分布：ichisq( n)意义：卡方分布随机变量的倒数服从逆卡方分布。密度函数：4n/2 1) -d/2xxf (x |n)n/2,x 02n/2r( n/2)数字特征：1 2E(X)(n 2),Var(X)2(n 4)n _2(n _2) (n _4)14、 t 分布：t(n)意义：随机变量X与Y独立，X服从标准正态分布，Y服从自由度为n 的卡方分布，则T二服从自由度为n的t分布。JY/n2(1f (x | n)=X)q .1)/2命bG，2)n数字特征：E(X) =0,Var(X)n (n .2

9、)(n2)15、F 分布：f (n,m)意义：随机变量X与Y独立，X服从自由度为n的卡方分布，Y服从 自由度为m的卡方分布，则T二经服从自由度为(n,m)的t分布。Y / m密度函数：z n、n /2 n _2 #()X /2nxf(x |n ,m) = m(1 nx)4nm)/2B(n m)mB(2,2)数字特征：2m2m (n m2) /E(X)(m 2),Var(X)(n 2)m2n(m + 2)16、logistic 分布：logis(a,b)意义：生态学中的增长模型常用logistic分布来刻画，它也常用于log istic回归中。密度函数：f (x|a,b)二1 e2/b数字特征：

10、兀22E(X) =a,Var(X)b317、Dirichlet 分布：Dirichlet Hk)意义：在贝叶斯分析中作为多项分布参数的共轭分布。Dirichlet分布的密度函数表示在已知k个竞争事件已经出现了 ： -1次条件下，他们 出现的概率为x ,i =1,2,IH,k的信念。密度函数:kXit-,x-0 Xi =1i 0), B(a)=i kIT ij- CJ数字特征:E(X) L,var(X) 字 ,Cov(Xj,Xj) 严 ，：。八:/ i%0 (。0 +1)% (% +1)718、Pareto 分布：pd(a,b) 意义：财富的分配的规则(称为 Pareto规则)是大部分的财富(80%被少数(20%的人拥有，这可以较好地用Pareto分布来刻画。f(xa,b)卫$a lx丿b 1,x a(b 0)密度函数:数字特征:a2bE(X)洛吋乔品(b 2)19、非中心分布与前面卡方分布，t分布和F分布相对应还有三个非 中心的分布: 非中心的卡方分布：chisq(n,)，n个独立正态随机变量N(M2),i =1,2, III,n的平方服从自由度为n、非中心参数为Il2 ；. |2212n的卡方分布。