在RtABC中斜边c等于RtABC外接圆的直径2R故有这一

1、abc1、 在 RtABC 中，斜边 c 等于 Rt ABC 外接圆的直径 2R,故有sin b2R ，sin asin c这一关系对任意三角形也成立吗？探索并证明你的结论。答案：正弦定理的证明方法很多，下面列举几种方法供同学们参考。（为了方便起见， 下面仅以锐角三角形为例，其余三角形可以类比得之）方法一、外接圆圆周角法证明：如图 1，作 ABC 的外接圆，圆心为O，外接圆半径为 R。连接 CO 并延长交外接圆于 D，连接 AD ，则 DAC 为 直角 三 角 形。 在 Rt DAC中 ， CD=2R,BacDOACbsinD= CD2R.因为 CDA= ABC, 所以 sinB=sinD=

2、2bR .Cb同理可证在ABC中 有 ： sinC= 2cR ,sinA=2aR . 即 证abc2Rsi nas i nbsicnA图 1方法二、作高法证明：在锐角三角形中，如图2，设 BC=a， CA=b,AB=c. 过AA 作ADBC,垂足为D. 在Rt ABD中 ，cbAD=A B·sinB=c ·sinB.在Rt ADC中,sinC=ACAD ,AD=AC ·sinC=b ·sinC. 所以 c·sinB=b ·sinC,aBbc. 同理，在ABC 中，acDC。即证sin bsin csin asincabc图 2sin

3、asin b2Rsin c方法三、三角形等面积法证明：如图3，在 ABC 中，作 A D BC,垂足为点D.由已知得，在RtABD中，AAD11. 同理sinB=AB ,AD=AB · sinB, S ABC2a AD2ac sin Bcb可证：SABC1bc si An ， S ABC1ab sin C， 所 以Ba22CDabsinC=bcsinA=acsinB.在 等 式 两 端 同 除 以 abc可 得 ，abc图 3sin asin bsin c方法四、向量法证明：如图 4，过点 A 作 jAC .由向量的可得AB AC CB，B则jABj( ACCB)jACjCBj AB

4、 cos(90A)0j CB cos(90C )ca，所以bADC，所以有图 4csinA=asinC, 即acC 作 jsin a.同理，过点sin c有abcsin asin b.sin c方法五、外接圆圆心角法证明：如图5，作 ABC 的外接圆，圆心为O，外接圆半径为 R，取线段 AB 的中点 D，连接 OD ，则 ODAB且OD 平 分 AOB. 在 Rt ODA 中 ，AO=AD.所以sinAOD1 ABABR=2,2 R。又因为 OD 平分BAODsin AODsinAOB，所以 AOB=2 AOD.而 AOB=2 ACB，所以 AOD=ABABc ACB. 2RAODsin. 同

5、 理sinACB sin C可证， 2Rb, 2Raabcsin Bsin A.即证sin b.sin asin c方法六、向量坐标法证明：如图 6，建立如图所示的直接坐标系，则 A（ 0,0），B （ c， 0 ） . 又 由 任 意 角 三 角 函 数 的 定 义 可 得 C （ bcosA,bsinA ） .以 AB 、 BC 为邻边作平行四边形BC ，可得bcsin b.从而sin cCaO bcDA图 5yABCD ，则 BADB . 所以 D（acos（ B），asin（ B）即 D（ acosB， asinB） .根据向量的运算得：AC(a cosB, a sin B); BCA

6、CAB(b cosA由 ADBC 得 asinB=bsinA ，即ab.sin asin b同理可得bc。所以abcsin bsin csin b.sin asin cDCbac, b sin A). OcxAB图 62、他先在纸上画了一个正方形表格表格中横行与纵列的数据是完全一样的47101316192225712172227323742101724313845525913223140495867761627384960718293钱德拉的筛子奥妙在于如果某个自然数N 出现在表中那么 2N+1 肯定不是质数而如果 N在表中不出现那么 2N+1 肯定是质数（1）这个 “正方形筛子 ”的每一行有

7、什么特点？每一列呢？（2） “正方形筛子 ”中位于第100 行的第 100 个数是什么？注：1934 年，一个来自东印度 (现在的孟加拉国 )的普通学者 钱德拉， 在数论领域中取得了一个辉煌成就，这个成就使他青史留名，永垂不朽钱德拉的结果浅近易懂，甚至连小学生也能完全理解表格中横行与纵列的地位是完全一样的在数学上，称为“对称矩阵 ”答案：（ 1）这个 “正方形筛子 ”的每一行与每一列分别都是等差数列。（ 2）因为第 100行的第一个数 a100,1 是第一列的第100 个数，而第一列的数组成以4为首项， 3 为公差的等差数列， 通项公式为 an,1 4(n1) 3 3n1 ，故 a100,1

8、=301；第100 行的第 2 个数 a100,2是第 2 列的第100 个数，而第2 列的数组成以7 为首项， 5 为公差的等差数列，通项公式为an,2 7 (n1) 55n2 ，故 a100,2 502 ，所以，第 100行组 成 以301为 首 项 ， 502 301=201为公差的等差数列，通项公式为a100, n301(n 1)201201n 100, 从 而 第100 行的第100 个数为a100,100201100 10020200.拓展：其中： 4、 12、 24、 40、 60、 组成的数列有什么特点呢？高阶等差数列一、基本知识1.定义：对于一个给定的数列a n ，把它的连结

9、两项an+1 与 an 的差 an+1-an 记为 bn，得到一个新数列 b n ，把数列 bn 称为原数列 a n 的一阶差数列， 如果 cn=bn+1-bn，则数列 c n 是 a n的二阶差数列依此类推，可得出数列a n 的 p 阶差数列，其中p N2.如果某数列的 p 阶差数列是一非零常数列，则称此数列为p 阶等差数列3.高阶等差数列是二阶或二阶以上等差数列的统称4.高阶等差数列的性质：(1)如果数列 a n 是 p 阶等差数列，则它的一阶差数列是p-1 阶等差数列(2)数列 a n 是 p 阶等差数列的充要条件是：数列a n 的通项是关于 n 的 p 次多项式(3)如果数列 a n

10、是 p 阶等差数列，则其前 n 项和 Sn 是关于 n 的 p+1 次多项式5.高阶等差数列中最重要也最常见的问题是求通项和前n 项和，更深层次的问题是差分方程的求解，解决问题的基本方法有：(1)逐差法：其出发点是an=a1+(2)待定系数法：在已知阶数的等差数列中，其通项an与前n 项和Sn 是确定次数的多项式 (关于 n 的 )，先设出多项式的系数，再代入已知条件解方程组即得(3)裂项相消法：其出发点是an 能写成 an=f(n+1)-f(n)(4)化归法：把高阶等差数列的问题转化为易求的同阶等差数列或低阶等差数列的问题，达到简化的目的二、例题精讲例 1.数列 a n 的二阶差数列的各项均

11、为16，且 a63=a89=10 ，求 a51解：法一：显然 an 的二阶差数列bn 是公差为 16 的等差数列，设其首项为a,则bn=a+(n-1) 16,×于是 an= a1+=a1+(n-1)a+8(n-1)(n-2)n2 的系数为这是一个关于 n 的二次多项式，其中8，由于 a63=a89=10,所以an=8(n-63)(n-89)+10 ，从而 a51=8(51-63)(51-89)+10=3658解：法二：由题意，数列 a n 是二阶等差数列， 故其通项是 n 的二次多项式， 又 a63=a89=10 ，故可设 an=A(n-63)(n-89)+10由于 an 是二阶差数

12、列的各项均为16，所以 (a3-a2)-(a 2-a1)=16即 a3-2a2+a1=16，所以A(3-63)(3-89)+10-2A(2-63)(2-89)+10+A(1-63)(1-89)+10=16×解得： A=8an=8(n-63)(n-89)+10 ，从而 a51=8(51-63)(51-89)+10=3658例 2.一个三阶等差数列 an 的前 4 项依次为30,72,140,240，求其通项公式解：由性质 (2) ， an 是 n 的三次多项式，可设an=An 3+Bn 2+Cn+D由 a1=30 、 a2=72、 a3=140、 a4=240 得解得：所以 an=n3

13、+7n2+14n+8例 3.求和： Sn=1×3×22+2×4×32+ +n(n+2)(n+1) 2解： Sn 是是数列 n(n+2)(n+1) 2 的前 n 项和，因为 an=n(n+2)(n+1) 2 是关于 n 的四次多项式，所以a n 是四阶等差数列，于是Sn 是关于 n 的五次多项式k(k+2)(k+1) 2 =k(k+1)(k+2)(k+3)-2k(k+1)(k+2)，故求 Sn 可转化为求Kn=和 Tn=k(k+1)(k+2)(k+3)= k(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)-(k-1) k(k+1)(k+2)(k+3)，所以Kn=T

14、n=从而 Sn=K n-2T n=例 4.已知整数列 a n 适合条件：n+2n+1n n-1,n=2,3,4,(1)a=3a-3a +a(2)2a2=a1+a3-2(3)a5 -a4=9,a1=1求数列 a n 的前 n 项和 Sn解：设 bn=an+1 -an,Cn=b n+1-bnCn=bn+1-bn=(an+2 -an+1)-(a n+1 -an)=an+2 -2an+1+an=(3an+1 -3an+an-1) -2an+1 +an=an+1-2an+an-1=Cn-1 (n=2,3,4,)所以 C n 是常数列由条件 (2)得 C1=2,则 a n 是二阶等差数列因此 an=a1+

15、由条件 (3)知 b4=9，从而 b1 =3，于是 an=n2例 5.求证：二阶等差数列的通项公式为证明：设 a n 的一阶差数列为 b n ，二阶差数列为 c n ，由于 a n 是二阶等差数列， 故c n 为常数列又 c1=b2-b1=a3-2a2+a1所以例 6.求数列 1,3+5+7,9+11+13+15+17, 的通项解：问题等价于：将正奇数1,3,5, 按照 “第 n 个组含有 2n-1 个数 ”的规则分组：(1)、 (3,5,7) 、 (9,11,13,15,17),然后求第 n 组中各数之和an依分组规则，第 n 组中的数恰好构成以2 为公差的项数为2n-1 的等差数列，因而确定了第 n 组中正中央这一项，然后乘以(2n-1) 即得 an将每一组的正中央一项依次写出得数列：1,5,13,25,这个数列恰为一个二阶等差数列，不难求其通项为 2n2-2n+1 ，故第 n 组正中央的那一项为2n2-2n+1，从而2an=(2n -2n+1)(2n-1)例 7.数列 an 的二阶差数列是等比数列，且a1=5,a2=6,a3=9,a4=16,求 a n 的通项公式解：易算出 a n 的二阶差数列 c n 是以 2 为首项， 2 为公比的等比数列,则 cn=2n,a 的一阶差数列