1.2多元微分在几何上的应用ppt课件

1、第六节一、空间曲线的切线与法平面一、空间曲线的切线与法平面二、曲面的切平面与法线二、曲面的切平面与法线 多元函数微分学的几何应用 第八章 一、空间曲线的切线与法平面一、空间曲线的切线与法平面过点过点 M 与切线垂直的平面称为曲线在该点的法平面与切线垂直的平面称为曲线在该点的法平面.TM空间光滑曲线在点空间光滑曲线在点 M 处的切线为此点处割线的极限位置处的切线为此点处割线的极限位置.点击图中任意点动画开始或暂停设空间曲线的方程设空间曲线的方程)1()()()( tztytx ozyx(1)(1)式中的三个函数均可导式中的三个函数均可导. .一、空间曲线的切线与法平面一、空间曲线的切线与法平面M

2、.),(0000tttzzyyxxM 对对应应于于;),(0000ttzyxM 对对应应于于设设M 考察割线趋近于极限位置考察割线趋近于极限位置切线的过程切线的过程zzzyyyxxx 000 上式分母同除以上式分母同除以, t ozyxMM 割线割线 的方程为的方程为MM ,000tzzztyyytxxx ,0,时时即即当当 tMM 曲线在曲线在M M处的切线方程处的切线方程.)()()(000000tzztyytxx 切向量：切线的方向向量称为曲线的切向量切向量：切线的方向向量称为曲线的切向量. . )(),(),(000tttT 法平面：过法平面：过M M点且与切线垂直的平面点且与切线垂直

3、的平面. .0)()()(000000 zztyytxxt 解解, 2, 1, 0 zyx,costext ,sincos2tty ,33tez , 1)0( x, 2)0( y, 3)0( z切线方程切线方程,322110 zyx法平面方程法平面方程, 0)2(3)1(2 zyx. 0832 zyx即即1.1.空间曲线方程为空间曲线方程为,)()( xzxy ,),(000处处在在zyxM,)()(100000 xzzxyyxx . 0)()()(00000 zzxyyxxx 法平面方程为法平面方程为切切线线方方程程为为特殊地：特殊地：2.2.空间曲线方程为空间曲线方程为,0),(0),(

4、zyxGzyxF切线方程为切线方程为,000000yxyxxzxzzyzyGGFFzzGGFFyyGGFFxx 法平面方程为法平面方程为. 0)()()(000000 zzGGFFyyGGFFxxGGFFyxyxxzxzzyzy 1dxdzdxdyxdxdzzdxdyy,zyxzdxdy ,zyyxdxdz ,1, 0, 1 T所求切线方程为所求切线方程为,110211 zyx法平面方程为法平面方程为, 0)1()2(0)1( zyx0 zx, 0)1, 2, 1( dxdy, 1)1, 2, 1( dxdz设曲面方程为设曲面方程为0),( zyxF),(),(),(000tttT 曲线在曲线

5、在M M处的切向量处的切向量在曲面上任取一条通过在曲面上任取一条通过点点M M的曲线的曲线,)()()(: tztytx 二、曲面的切平面与法线二、曲面的切平面与法线nTM),(),(),(000000000zyxFzyxFzyxFnzyx 令令那那么么,Tn 切平面方程为切平面方程为0)(,()(,()(,(000000000000 zzzyxFyyzyxFxxzyxFzyx法线方程为法线方程为),(),(),(000000000000zyxFzzzyxFyyzyxFxxzyx ),(),(),(000000000zyxFzyxFzyxFnzyx 曲面在曲面在M M处的法向量即处的法向量即垂

6、直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量. .特殊地：空间曲面方程形为特殊地：空间曲面方程形为),(yxfz 曲面在曲面在M M处的切平面方程为处的切平面方程为,)(,()(,(0000000zzyyyxfxxyxfyx 曲面在曲面在M M处的法线方程为处的法线方程为.1),(),(0000000 zzyxfyyyxfxxyx,),(),(zyxfzyxF 令令)(,()(,(0000000yyyxfxxyxfzzyx 切平面上点的切平面上点的竖坐标的增量竖坐标的增量的的全全微微分分在在点点函函数数),(),(00yxyxfz 因为曲面在因为曲面在M M处

7、的切平面方程为处的切平面方程为,1cos22yxxfff ,1cos22yxyfff .11cos22yxff ),(00yxffxx ),(00yxffyy 其中其中解解, 1),(22 yxyxf)4 , 1 , 2()4 , 1 , 2(1,2,2 yxn,1, 2, 4 切平面方程为切平面方程为, 0)4()1(2)2(4 zyx, 0624 zyx法线方程为法线方程为.142142 zyx解解, 32),( xyezzyxFz, 4)0 , 2, 1( xF, 2)0 , 2, 1( yF, 0)0 , 2 , 1( zF令令切平面方程切平面方程法线方程法线方程, 0)0(0)2(2

8、)1(4 zyx, 042 yx.001221 zyx解解设设 为曲面上的切点为曲面上的切点, ,),(000zyx切平面方程为切平面方程为0)(6)(4)(2000000 zzzyyyxxx依题意，切平面方程平行于已知平面，得依题意，切平面方程平行于已知平面，得,664412000zyx .2000zyx 因为因为 是曲面上的切点，是曲面上的切点，),(000zyx, 10 x所求切点为所求切点为满足方程满足方程),2 , 2 , 1(),2, 2, 1( 0)2(12)2(8)1(2 zyx2164 zyx0)2(12)2(8)1(2 zyx2164 zyx切平面方程切平面方程(1)(1)

9、切平面方程切平面方程(2)(2)空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线三、小结思考题思考题 如如果果平平面面01633 zyx 与与椭椭球球面面163222 zyx相相切切，求求 .思考题解答思考题解答,2,2,6000zyxn 设切点设切点),(000zyx依题意知切向量为依题意知切向量为3, 3 32236000 zyx ,00 xy ,300 xz 切点满足曲面和平面方程切点满足曲面和平面方程,016930169320202200020 xxxxxx . 2 练练 习习 题题.42 zyx6222 zyx22yxz )2 , 1 , 1(四、求球面与抛物面与抛物面的交线在的交线在处的切线方程处的切线方程 .三、求出曲线三、求出曲线于平面于平面32,tztytx 上的点上的点,使在该点的切线平行使在该点