向量组的线性相关性

1、向量组的线性相关性（杨威 郭乔） 教学目的与要求通过学习，使学生理解向量组的线性相关、线性无关概念，掌握判定向量组线性相关性的方法。教学重点与难点教学重点 ：线性相关，线性无关的概念教学难点 ：线性相关性的判定教学方法与建议先从简单的例子出发，使学生看到在解线性方程组的时候，有的方程是多余的，从向量的角度来看， 就是其中的一些向量是其余向量的线性组合。 从而引出线性相关、 线性无关的概念，并给出判别方法。 教学过程设计1. 问题的提出x2 yz01210方程组 2x3yz0 用向量的形式表示出来x 2y 3z 10，4xyz04110不难看出，其中第3 个方程是多余的，我们从向量的角度来讨论这

2、个问题。此方程组对应着三个向量1(1,2,4)T， 2 (2, 3,1)T , 3(1,1,1)T，所谓的第三个方程是多余方程反映到他们对应的向量上就是133711 或71 32 73 0，即3 可由1 和 2线性运算得到， 此时称3 是1,2 的线性组合。2. 线性相关和线性无关定义 4.1 对于向量1 ,2 ,., m , , 如果有数 k1, k 2 ,., km 使k1 1k2 2k mm ，则称向量是向量 1 , 2 ,., m 的线性组合，或可由向量1 ,2 ,., m 线性表示。定义 4.2设有 n 维向量1 ,2 ,., m ，如果存在不全为零的数k1, k2 ,.,km ,

3、使k11k2 2km m 0则称此向量1 , 2 ,.,m 线性相关的，否则称为线性无关。注意： 1. 若向量组中含有零向量，则向量组一定是线性相关的。2. 若向量组中一个向量可由其他向量线性表示，则这组向量一定是线性相关的。定理 4.1n 维向量组1 , 2 ,.,m 线性相关的充分必要条件是R( A) m ，其中 A 是由1 , 2 ,.,m 组成的 (mn) （或 n m ）维矩阵。证明 ：设i , i1,2,.,m ，为 n 维列向量， 下面证明有 m 个不全为零的数x1 , x2 ,., x m使 x11x22xmm0 的充分必要条件是R(A)m 。x11x22xmm0即 Ax 0

4、有非零解的充分必要条件是R( A)m 。推论 对 m 个 n维向量，若 mn ，则该向量组线性相关。证明：由这些向量组成的矩阵记为A ，则 A 是 m n ( 或 nm ) 维的，由于 m n ，所以R( A)min( m, n)nm ，则该向量组线性相关。定理 4.4若1 , 2 ,.,r 线性相关，则1 , 2 ,., r ,r 1,., m 也线性相关。证：因 1 , 2 ,.,r线性相关，所以存在不全为零的数k1 , k2 ,., kr 使k11k 22krr0，从而存在不全为零的m 个数 k1 ,k 2 ,.,kr ,0,.,0 使k11k 22k rr0r10 m0 ，因此 1,2

5、 ,., r ,r 1 ,.,m 线性相关。由于一个零向量是线性相关的，所以任何含有零向量的向量组都线性相关。推论若1 ,2 ,.,r线性无关，则由其中的部分向量构成的向量组线性无关。定理 4.3设i (ai1 , a i 2 ,., air) ， i(ai 1 , ai 2 ,., air , a ir1 ) (i1,2,., m ) 若 r 维向量组1,2 ,., m 线性无关，则 r 1 维向量组1,., m 线性无关。证： 显然i(i, ai1 ), i1,2,., m ，设有m个数 k , k,.,km，使12k11k22k mm0 ，即 ( k1 1kmm , k1a1,r 1km

6、 am,r 1 ) 0 。因此有 k11kmm0 。由于1 ,2 ,., m 线性无关，所以当且仅当k1k 2km0 时才成立。这就表明1 ,.,m 线性无关。推论： r 维向量组的每个向量加上n r 个分量成为 n 维向量。若 r 维向量组线性无关，则 n 维向量组线性无关。3. 举例例 4.1讨论向量组1(1,1,1)T ，2(0, 2, 5)T ，3(1, 3, 6)T 的线性相关性。解： 以所给向量为列组成矩阵A101A 1 2 31 5 6r2r10110115 r2 002 2 r322r3r15520000因 R(A)2 3(向量个数 ) ，所以所给向量组线性相关。例 4.2讨论

7、 n 维单位坐标向量 e1,., en 的线性相关性。解： 因为 R( A)R(e1 ,e2 ,.,en )n ，所以向量组线性无关。例 4.3设1, 2,3 线性无关，试证112,223，331线性无关。证： 不妨设1 ,2 ,3 均为列向量，则101(1,2,3)( 1, 2, 3)110( 1, 2, 3)C011因为矩阵 C 可逆，所以 C 可表示为有限个初等矩阵的乘积，即矩阵 ( 1,2 , 3) 可认为由矩阵( 1, 2,3 ) 经有限次初等列变换得到，从而矩阵 (1 ,2 ,3 ) 的秩等于矩阵 ( 1,2 ,3 )的秩，而 (1 ,2 ,3 )的秩为 3，所以 ( 1,2 ,3

8、 )的秩为3，因此 ( 1,2, 3 ) 线性无关。例 4.4设1 ,2 ,.,r 线性无关，若1 ,2 ,.,r ,线性相关， 则可由 1,2 ,.,r线性表示。证： 因1, 2 ,.,r ,线性相关，故有不全为零的数k1 , k2 ,., k r , 使得k1 1k22krr k0 。要证可由1 ,2 ,.,r 线性表示，只需证k0 。用反证法，设k0，则 k1 , k2 ,., kr 不全为零且能使k1 1k22kr r0 ，这与 1, 2 ,.,r 线性无关矛盾，矛盾表明k0，即可由1 ,2 ,.,r 表示为1 (k1 1k2 2k r r )k例 4.5讨论向量组1(1,0,0,2,3),2(0,1,0,4,6