自动控制原理

1、1自动控制原理自动控制原理华中科技大学控制科学与工程系华中科技大学控制科学与工程系2第五章第五章 线性系统的时域分析线性系统的时域分析 典型环节频率特性的绘制典型环节频率特性的绘制5-2 系统开环频率特性的绘制系统开环频率特性的绘制5-3 奈奎斯特稳定判据奈奎斯特稳定判据5-4频率特性的概念频率特性的概念5-1 控制系统的相对稳定性控制系统的相对稳定性5-53)()()(sGsXsYtXtxsin)()()(22jsjsXsXsX输入信号的拉氏变换输入信号的拉氏变换线性定常系统的传递函数为线性定常系统的传递函数为输入信号为输入信号为 5.15.1 频域特性的概念频域特性的概念4)()()()(

2、)()(21nsssssssAsBsAsGnnnssassassajsbjsbjsjsXsssssssAsXsGsY221121)()()()()()()(系统的传递函数通常可以写成系统的传递函数通常可以写成 由此得到输出信号的拉氏变换由此得到输出信号的拉氏变换 5.15.1 频域特性的概念频域特性的概念5 系统的输出为系统的输出为 (5-1)(5-1) 对稳定系统对稳定系统,s,s1 1,s,s2 2,.s,.sn n都具有负实部，当时间都具有负实部，当时间t t趋于无穷大趋于无穷大时，上式的暂态分量将衰减至零。因此系统的稳态响应为时，上式的暂态分量将衰减至零。因此系统的稳态响应为 (5-2

3、)(5-2) 1212( )ns ts ts tjtjtny tbebea ea ea etjtjtWebbetyty)(lim)(其中待定系数其中待定系数b b和和 可按下式计算可按下式计算jXjGjsjsjsXsGbjs2)()()()(jXjGjsjsjsXsGbjs2)()()()( (5-3)(5-3)(5-4)(5-4) 5.15.1 频域特性的概念频域特性的概念6 G(j) G(j) 用模和幅角可表示为用模和幅角可表示为 (5-5) (5-5) (5-6) (5-6) )()()(jejGjG)(Re)(Im)()(jGjGarctgjG)()()()()(jjejGejGjG

4、5.15.1 频域特性的概念频域特性的概念7)sin()(2)(2)(2)()()()()()(tXjGjeeXjGjXeejGjXeejGtytjtjtjjtjjW(5-8)(5-8)或或 (5-9)(5-9)式中式中 为稳态输出信号的幅值。为稳态输出信号的幅值。 )sin()(tYtyWXjGY)( 5.15.1 频域特性的概念频域特性的概念8 上式表明，线性定常系统对正弦输入信号的稳态响应仍然上式表明，线性定常系统对正弦输入信号的稳态响应仍然是与正弦输入信号同频率的正弦信号；输出信号的振幅是是与正弦输入信号同频率的正弦信号；输出信号的振幅是输入信号振幅的输入信号振幅的 倍；输出信号相对输

5、入信号的倍；输出信号相对输入信号的相移为相移为 ；输出信号的振幅及相移都是角频率；输出信号的振幅及相移都是角频率 的函数。的函数。 (5-10)(5-10) 称为称为系统的频率特性系统的频率特性，它反映了在正弦输入信号作用下，它反映了在正弦输入信号作用下，系统的稳态响应与输入正弦信号的关系。系统的稳态响应与输入正弦信号的关系。)(jG)(jG)()()(jGjejGjG 5.15.1 频域特性的概念频域特性的概念9其中其中 (5-11)(5-11) 称为称为系统的幅频特性系统的幅频特性，它反映系统在不同频率正弦信号作用，它反映系统在不同频率正弦信号作用下，输出稳态幅值与输入信号幅值的比值，即系

6、统的放大下，输出稳态幅值与输入信号幅值的比值，即系统的放大（或衰减）特性。（或衰减）特性。 (5-12)(5-12)称为称为系统的相频特性系统的相频特性，它反映系统在不同频率正弦信号的作，它反映系统在不同频率正弦信号的作用下，输出信号相对输入信号的相移。系统的幅频特性和相用下，输出信号相对输入信号的相移。系统的幅频特性和相频特性统称为频特性统称为系统的频率特性系统的频率特性。)(Re)(Im)()(jGjGarctgjG)()(XYjG 5.15.1 频域特性的概念频域特性的概念10 5.2 5.2 典型环节频率特性的绘制典型环节频率特性的绘制 以角频率以角频率为参变量，根据系统的幅频特性为参

7、变量，根据系统的幅频特性 和相频特性和相频特性 在复平面在复平面 上绘制出的频率特性上绘制出的频率特性叫做幅相特性曲线或频率特性的极坐标图。叫做幅相特性曲线或频率特性的极坐标图。 它是当角频率它是当角频率从从0 0到无穷变化时，矢量到无穷变化时，矢量 的矢端在的矢端在 平面上描绘出的曲线。曲线是关于实轴对平面上描绘出的曲线。曲线是关于实轴对称的。称的。)(jG)(jG)(jGjejHjG)()(GH5.2.1 5.2.1 典型环节的幅相特性曲线典型环节的幅相特性曲线11KjG)(KsG)( 1. 1. 放大环节（比例环节）放大环节（比例环节） 放大环节的传递函数为放大环节的传递函数为 其对应的

8、频率特性是其对应的频率特性是 （5-135-13） （5-145-14）KjG)(0)(jG其幅频特性和相频特性分别为其幅频特性和相频特性分别为. . 00 0mIK KeR图图5-1 5-1 放大环节的频率响应放大环节的频率响应 5.2.1 5.2.1 典型环节的幅相特性曲线典型环节的幅相特性曲线122. 2. 积分环节积分环节 积分环节的频率特性积分环节的频率特性幅频特性和相频特性分别为幅频特性和相频特性分别为 频率特性如图所示。频率特性如图所示。jjG1)(11)(jjG0900)(arctgjG图图5-2 5-2 积分环节的积分环节的频率响应频率响应eRmI0G090积分环节对正弦输入

9、信号有积分环节对正弦输入信号有90900 0的的滞后作用；其幅频特性等于滞后作用；其幅频特性等于 ，是，是的函数，的函数，1 5.2.1 5.2.1 典型环节的幅相特性曲线典型环节的幅相特性曲线13 3. 3. 惯性环节惯性环节 惯性环节的频率特性为惯性环节的频率特性为 幅频特性和相频特性分别为幅频特性和相频特性分别为11)(jTjG2211)(TjGarctgTjG)(. .0450 01 10.0.5 5T/1 图图5-3 5-3 惯性环节惯性环节 的频率响应的频率响应mI G0eR 当当由零至无穷大变化时，惯性由零至无穷大变化时，惯性 环节的频率特性在环节的频率特性在 平面上平面上 是正

10、实轴下方的半个圆周。是正实轴下方的半个圆周。)(jG 5.2.1 5.2.1 典型环节的幅相特性曲线典型环节的幅相特性曲线144. 4. 振荡环节振荡环节 振荡环节的传递函数是振荡环节的传递函数是 （5-155-15）其频率特性是其频率特性是 幅频特性和相频特性分别为幅频特性和相频特性分别为 121)(22TssTsGTjTTjTjG2)1 (1121)(22222212)(TTarctgjG2222224)1 (1)(TTjG 5.2.1 5.2.1 典型环节的幅相特性曲线典型环节的幅相特性曲线15nnrMnnr0mIr1eR G图图5-4 5-4 振荡环节的频率响应振荡环节的频率响应振荡环

11、节的幅频特性和相频特性均与阻尼比振荡环节的幅频特性和相频特性均与阻尼比有关，不有关，不同阻尼比的频率特性曲线同阻尼比的频率特性曲线如图所示如图所示。 5.2.1 5.2.1 典型环节的幅相特性曲线典型环节的幅相特性曲线16 5. 5. 一阶微分环节一阶微分环节 典型一阶微分环节的频率特性为典型一阶微分环节的频率特性为其中其中为微分时间常数。为微分时间常数。1)(jjG幅频特性和相频特性分别为幅频特性和相频特性分别为1)(22jGarctgjG)(1 1eR0mIG0G 图图5-5 5-5 一阶微分环节一阶微分环节 的频率响应的频率响应频率特性如图所示。它是一条过频率特性如图所示。它是一条过点（

12、点（1 1，j0j0）与实轴垂直相交且位于实）与实轴垂直相交且位于实轴上方的直线。纯微分环节的频率特性与正虚轴重合。轴上方的直线。纯微分环节的频率特性与正虚轴重合。 5.2.1 5.2.1 典型环节的幅相特性曲线典型环节的幅相特性曲线17 6. 6. 二阶微分环节二阶微分环节 其频率特性是其频率特性是 幅频特性和相频特性分别为幅频特性和相频特性分别为12)(22jjG22222241)(jG2212)(arctgjG二阶微分环节频率特性曲线如二阶微分环节频率特性曲线如图所示图所示 图图5-6 5-6 二阶微分环二阶微分环 节频率特性图节频率特性图1)1(2mIeR00 G 5.2.1 5.2.

13、1 典型环节的幅相特性曲线典型环节的幅相特性曲线181. 1. 放大环节（比例环节）放大环节（比例环节） 放大环节的频率特性为放大环节的频率特性为 对数幅频特性为对数幅频特性为()(GjKK为 大 于 零 的 常 数 ）KjGlg20)(lg2001011020Klog20dB)(L1010010001001000000100900180度）（10图图 5-7 5-7 放大环节放大环节的的BodeBode图图相频特性为相频特性为 如图所示，是一条与角频率如图所示，是一条与角频率无关且与无关且与轴重合的直线。轴重合的直线。00)(jG 5.2.2 5.2.2 典型环节频率特性的伯德图典型环节频率

14、特性的伯德图5.2.2 5.2.2 典型环节频率特性的伯德图典型环节频率特性的伯德图192. 2. 积分环节积分环节积分环节的频率特性是积分环节的频率特性是 其幅频特性为其幅频特性为 对数幅频特性是对数幅频特性是 jjG1)(1)(jGlg201lg20)(lg20jG604002020dB)(L01. 01 . 01decdB/2001. 01 . 0110000900900180度）（ 图图5-8 5-8 积分环节积分环节 的的BodeBode图图10 5.2.2 5.2.2 典型环节频率特性的伯德图典型环节频率特性的伯德图22221lg2011lg20)(lg20TTjG3. 3. 惯性

15、环节惯性环节 惯性环节的频率特性是惯性环节的频率特性是 其对数幅频特性是其对数幅频特性是11)(jTjG渐近渐近特性特性decdB/20精精确确特特性性图图5-9 5-9 惯性环节的惯性环节的BodeBode图图)()(Ldb1001020T1201T1101T151T1T12T110T12000045090 5.2.2 5.2.2 典型环节频率特性的伯德图典型环节频率特性的伯德图21 其对数幅频特性是其对数幅频特性是1)(jjG1lg20)(lg2022jG 4. 4. 一阶微分环节一阶微分环节 一阶微分环节频率特性为一阶微分环节频率特性为20100db)(L1100111011110110

16、011001101110111001)(度09004500 图图5-10 5-10 一阶微分环节一阶微分环节 的的BodeBode图图decdB/20渐近特性精确特性 5.2.2 5.2.2 典型环节频率特性的伯德图典型环节频率特性的伯德图225. 5. 振荡环节振荡环节 频率特性为频率特性为 其对数幅频特性为其对数幅频特性为TjTjG2)1 (1)(222222224)1 (lg20)(lg20TTjG0decdB/404020dB)(L高频渐近线高频渐近线T1101T1T110低频渐近线低频渐近线图图5-11(a) 5-11(a) 振荡环节渐近振荡环节渐近线对数幅频特性线对数幅频特性db)

17、(L20040T1101T1T11005. 00 . 15 . 0decdb/40图图5-11(b) 5-11(b) 振荡环节对数振荡环节对数幅频率特性图幅频率特性图5.2.2 5.2.2 典型环节频率特性的伯德图典型环节频率特性的伯德图23其对数幅频特性为其对数幅频特性为相频特性为相频特性为 2)1 ()(22jjG22222220lg()20lg(1)4G j 2212)(arctgjG16. 6. 二阶微分环节二阶微分环节 频率特性频率特性二阶微分环节与振荡节的二阶微分环节与振荡节的BodeBode图关于图关于轴对称，渐轴对称，渐近线的转折频率为近线的转折频率为 ，相，相角变化范围是角变

18、化范围是0 00 0至至+180+1800 0。402001101dB0180090001110精确特性渐近特性decdB /40)(图图5-12 5-12 二阶微分环节的二阶微分环节的BodeBode图图 5.2.2 5.2.2 典型环节频率特性的伯德图典型环节频率特性的伯德图24将系统开环传递函数分解成若干典型环节的串联形式将系统开环传递函数分解成若干典型环节的串联形式(1)(1)典型环节幅频特性相乘得到系统开环幅频特性典型环节幅频特性相乘得到系统开环幅频特性典型环节相频特性相加得到系统开环相频特性典型环节相频特性相加得到系统开环相频特性如幅频特性有渐近线，则根据开环频率特性表达式如幅频特

19、性有渐近线，则根据开环频率特性表达式的实部和虚部，求出渐近线的实部和虚部，求出渐近线最后在最后在G G( (j j) )H H( (j j) )平面上绘制出系统开环频率特性平面上绘制出系统开环频率特性的极坐标图的极坐标图 5.3 5.3 系统开环频率特性的绘制系统开环频率特性的绘制5.3.1 5.3.1 绘制系统开环频率特性极坐标图的步骤绘制系统开环频率特性极坐标图的步骤(2)(2)(3)(3)(4)(4)(5)(5)25将系统的开环传递函数写成典型环节乘积的形式将系统的开环传递函数写成典型环节乘积的形式(1)(1)若存在转折频率，在若存在转折频率，在轴上标出转折频率的坐标位置轴上标出转折频率

20、的坐标位置修正误差，画出比较精确的对数幅频特性修正误差，画出比较精确的对数幅频特性由各串联环节的对数幅频特性叠加后得到系统开环对由各串联环节的对数幅频特性叠加后得到系统开环对数幅频特性的渐近线数幅频特性的渐近线画出各串联典型环节相频特性，将它们相加后得到系画出各串联典型环节相频特性，将它们相加后得到系统开环相频特性统开环相频特性(2)(2)(3)(3)(4)(4)(5)(5)5.3.2 5.3.2 绘制系统开环频率特性伯德图的步骤绘制系统开环频率特性伯德图的步骤 5.3 5.3 系统开环频率特性的绘制系统开环频率特性的绘制26例例5-15-1 已知系统的开环传递函数为已知系统的开环传递函数为

21、它由一个放大环节和两个惯性环节串联而成，其对应的它由一个放大环节和两个惯性环节串联而成，其对应的频率特性是频率特性是幅频特性和相频特性分别为幅频特性和相频特性分别为1111)()(21jTjTKjHjG1111)()(222221TTKjHjG22121211)()()(TTTTarctgarctgTarctgTjHjG)(1111)()(2121TTsTsTKsHsG 5.3 5.3 系统开环频率特性的绘制系统开环频率特性的绘制271. 1. 极坐标图极坐标图当当 时，时，当当 时，时，当当 时，时， 。00180)()(,0)()(jHjGjHjG0212190)()()()(jHjGTT

22、TTKjHjG，211TT00)()(,)()(jHjGKjHjG 5.3 5.3 系统开环频率特性的绘制系统开环频率特性的绘制28211TT),0(2121TTTTjK002121TTTTjk211TTmIeRK图图5-13 5-13 开环系统极坐标图开环系统极坐标图G当当由零增至无穷大时，由零增至无穷大时，幅值由幅值由K K衰减至零，相角衰减至零，相角0 0度变至度变至-180-180度，且均为负度，且均为负相角。频率特性与负虚轴相角。频率特性与负虚轴的交点频率为的交点频率为 ，交点坐标是交点坐标是。其极坐标图如其极坐标图如图图5-135-13所示。所示。 5.3 5.3 系统开环频率特性

23、的绘制系统开环频率特性的绘制29由开环传递函数知，对数幅频特性的渐近线有两个转折由开环传递函数知，对数幅频特性的渐近线有两个转折频率频率 和和 ，且，且 ，将它们在，将它们在轴上标出（轴上标出（图图5-145-14）；在纵坐标上找到）；在纵坐标上找到20lgK20lgK的点的点A A，过，过 A A点作平行于点作平行于横轴的直线横轴的直线ABAB，这条平行线对应放大环节的幅频特性；，这条平行线对应放大环节的幅频特性；在转折频率在转折频率 处作处作轴的垂线（虚线）交平行线轴的垂线（虚线）交平行线ABAB于于B B点，以点，以B B为起点作斜率为为起点作斜率为-20dB/dec-20dB/dec的

24、斜线的斜线BCBC，C C点对点对应转折频率应转折频率 ，折线，折线ABCABC对应放大环节对应放大环节K K和惯性环节和惯性环节 的叠加；的叠加；2111TT11T21T11Ts11T21T2 2 伯德图伯德图 5.3 5.3 系统开环频率特性的绘制系统开环频率特性的绘制30 图图5 514 14 开环系统开环系统BodeBode图图dBA0Klog20BdecdB /20C渐近特性D)(L11T精确特性21TdecdB /40度0450L)()4()2()1 ()3( 5.3 5.3 系统开环频率特性的绘制系统开环频率特性的绘制31 闭环系统稳定的充分必要条件是奈氏轨迹映射在闭环系统稳定的

25、充分必要条件是奈氏轨迹映射在GHGH平平面上的封闭曲线面上的封闭曲线 逆时针包围逆时针包围 点点P P周，其中周，其中P P为为开环传递函数开环传递函数 在在S S平面右半部的极点数。平面右半部的极点数。 当当 在在S S平面右半部没有极点时，即平面右半部没有极点时，即P=0P=0，闭，闭环系统稳定的充分必要条件是环系统稳定的充分必要条件是 在在GHGH平面上不包围平面上不包围 点。点。)()(sHsG)1(j，)1(j，)()(sHsGGH)()(sHsGGH 5.4 5.4 奈奎斯特稳定判据奈奎斯特稳定判据基于开环传递函数基于开环传递函数 的奈氏判据如下：的奈氏判据如下： 与与 之间的关系

26、前面曾经指出，之间的关系前面曾经指出，频率特性是频率特性是 特定情况下的传递函数。下面分两种特定情况下的传递函数。下面分两种情况来研究情况来研究 与与 之间的关系。之间的关系。 当当 在在S S平面虚轴上（包括原点）无极点时，奈氏平面虚轴上（包括原点）无极点时，奈氏轨迹可分成三个部分如图所示，轨迹可分成三个部分如图所示， （1 1） ，s s沿负虚轴变化；沿负虚轴变化； （2 2） ，s s沿正虚轴变化；沿正虚轴变化； （3 3） ，s s沿以原点为圆心，半径为无穷大的沿以原点为圆心，半径为无穷大的右半圆弧变化，其中右半圆弧变化，其中 ，对应，对应 由由 顺时针绕。顺时针绕。( )( )G s

27、 H s)()(jHjG)()(sHsGjs ()()G jH j)()(sHsG00 5.4 5.4 奈奎斯特稳定判据奈奎斯特稳定判据w SF) 1 () 2() 3 (j s s（1 1）当当s s在在S S平面负虚轴上变化平面负虚轴上变化时，时， ，()()( )( )()()()()sjjGjHjG s H sGjHjGjHjejs（5-165-16）在在GHGH平面上的映射如右图中平面上的映射如右图中曲线（曲线（1 1）。）。 5.4 5.4 奈奎斯特稳定判据奈奎斯特稳定判据34图图5-15 5-15 s s 在在GHGH平面上的映射平面上的映射mIGHeR)2(0)1 ()3(0K

28、kmna)(GHGHmIeR)2(0)1 ()3(0Kmnb)(GH（2 2）当当s s在在S S平面正虚轴上变化时，平面正虚轴上变化时，)()()()()()()()(jHjGjjsejHjGjHjGsHsG如如图图5-155-15中的曲线（中的曲线（2 2），这正是系统的开环频率特性。），这正是系统的开环频率特性。由于正负虚轴在由于正负虚轴在S S平面上以实轴为对称，它们在平面上以实轴为对称，它们在GHGH平面上平面上的映射曲线（的映射曲线（1 1）、（）、（2 2）两部分也对称于实轴。）两部分也对称于实轴。js 5.4 5.4 奈奎斯特稳定判据奈奎斯特稳定判据当当 s s 过平面原点时，

29、过平面原点时， ，它在，它在GHGH平面上的平面上的映射映射为即为即S S平面的原点在平面的原点在GHGH平面上的映射为常数平面上的映射为常数 K K（K K为系统开为系统开环放大系数）。环放大系数）。（3 3）当当s s在在 s s 的第三部分上的时，的第三部分上的时， ，当当n=mn=m时，时，js KjHjGsHsGjs)()()()(jRsRelim11101lim Re110lim Re()( )( )1(lim)jRjRmmmmnnsnnsj nmmnmRnb sbsb sbG s H sa sasa sabeaR (5-17)(5-17) 5.4 5.4 奈奎斯特稳定判据奈奎斯特

30、稳定判据kabsHsGnmsjRRelim)()(奈氏轨迹的第三部分（无穷大半圆弧）在奈氏轨迹的第三部分（无穷大半圆弧）在GHGH平面上的映射平面上的映射为常数为常数K K，如，如图图5 51515（a a）所示。所示。当当nmnm时，时， s s的第三部分在的第三部分在GHGH平面上的映射是它的坐标原点平面上的映射是它的坐标原点（图（图5 51515（b b）。）。奈氏轨迹奈氏轨迹 s s 在在GHGH平面上的映射称为奈奎斯平面上的映射称为奈奎斯特曲线或奈氏曲线。特曲线或奈氏曲线。)(Relim)()(mnjsesHsGjR(5-18)(5-18)当当 在在S S平面的虚轴上（包括原点）有极

31、点时，由平面的虚轴上（包括原点）有极点时，由于奈氏轨迹不能经过开环极点，于奈氏轨迹不能经过开环极点， s s必须避开虚轴上的所有必须避开虚轴上的所有开环极点。增加第开环极点。增加第4 4部分曲线，如部分曲线，如图图5-165-16所示。其中（所示。其中（1 1）（2 2）和（）和（3 3）部分的定义与）部分的定义与图图515515相同相同. .(5-19)(5-19)()(sHsG 5.4 5.4 奈奎斯特稳定判据奈奎斯特稳定判据37第第(4)(4)部分的定义是：部分的定义是：表明表明s s沿以原点为圆心，半径为无穷小的右半圆弧上逆时针沿以原点为圆心，半径为无穷小的右半圆弧上逆时针变化（变化（

32、 ）。这样，）。这样， s s 既绕过了既绕过了 原点上的极点，原点上的极点， 又包围了整个右半又包围了整个右半S S平面，如果在虚轴上还平面，如果在虚轴上还有其它极点，亦可采用同样的方法，将有其它极点，亦可采用同样的方法，将 s s 绕过这些虚轴上绕过这些虚轴上的极点。的极点。0lim()22jrsre由)()(sHsG设系统的开环传递函数为设系统的开环传递函数为)()()()()()(2121vnvmpspspsszszszsksHsG（5-205-20） 5.4 5.4 奈奎斯特稳定判据奈奎斯特稳定判据380012lim12lim0()()()( )( )()()()limjrjrmvs

33、renrejvjvvrk szszszG s HssspspspKeer （5-215-21） 5.4 5.4 奈奎斯特稳定判据奈奎斯特稳定判据jrres0lim其中其中v v称为无差度，即系统中含积分环节的个数或位于原称为无差度，即系统中含积分环节的个数或位于原点的开环点数。当点的开环点数。当 时，时， 式式(5-21)(5-21)表明，表明， s s 的第的第(4)(4)部分无穷小半圆弧在部分无穷小半圆弧在GHGH平面上的平面上的映射为顺时针旋转的无穷大圆弧，旋转的弧度为映射为顺时针旋转的无穷大圆弧，旋转的弧度为 弧度。弧度。图图5-17(a)(b)5-17(a)(b)分别表示当分别表示当

34、 v=1 v=1 和和 v=2 v=2 时系统的奈氏曲线，时系统的奈氏曲线，虚线部分是虚线部分是 s s 的无穷小半圆弧在的无穷小半圆弧在GHGH平面上的映射。平面上的映射。0limjrsre39图图5-16 5-16 虚轴上有开虚轴上有开环极点时的奈氏轨迹环极点时的奈氏轨迹mI 000R01veR)(aGH图图5-17 5-17 时的奈氏曲线时的奈氏曲线0vj000) 1 ()2(R) 3()4(0r Ss 0 010R0GH2veR)(bmI 5.4 5.4 奈奎斯特稳定判据奈奎斯特稳定判据40 从上面的分析可知，奈氏曲线从上面的分析可知，奈氏曲线 实际上是系统开实际上是系统开环频率特性极

35、坐标图的扩展。当已知系统的开环频环频率特性极坐标图的扩展。当已知系统的开环频率特性率特性 后，根据它的极坐标图和系统后，根据它的极坐标图和系统的性质（是否含有积分环节、开环传递函数中分子的性质（是否含有积分环节、开环传递函数中分子分母的最高阶次等）分母的最高阶次等） 便可方便地在便可方便地在 GH GH 平面上绘制平面上绘制出奈氏曲线出奈氏曲线 。由此我们得到基于开环频率特性。由此我们得到基于开环频率特性的奈氏判据如下：的奈氏判据如下：()()G jH j)()(jHjGGH 5.4.25.4.2 基于基于 的奈氏判据的奈氏判据 5.4 5.4 奈奎斯特稳定判据奈奎斯特稳定判据GH41)()(

36、jHjG变化到由), 1(j), 1(jGH 闭环系统稳定的充分必要条件是：闭环系统稳定的充分必要条件是：GH 平面上的开平面上的开环频率特性环频率特性 当当 时，时，按逆时针方向包围按逆时针方向包围 点点P周。当位于周。当位于S平面右半部平面右半部的开环极点数的开环极点数P=0 时，即当开环传递函数的全部极点均时，即当开环传递函数的全部极点均位于位于S平面左半部（包括原点和虚轴）时，闭环系统稳定平面左半部（包括原点和虚轴）时，闭环系统稳定的充分必要条件是奈氏曲线的充分必要条件是奈氏曲线 不包围不包围GH平面的平面的 点。点。奈奎斯特稳定判据奈奎斯特稳定判据 5.4 5.4 奈奎斯特稳定判据奈

37、奎斯特稳定判据42 (i)(i) 当系统开环传递函数当系统开环传递函数 的全部极点都位于的全部极点都位于S S平面左半部时（平面左半部时（P=0P=0），如果系统的奈氏曲线），如果系统的奈氏曲线 不不包围包围GHGH平面的平面的 点（点（N=0N=0），则闭环系统是稳定），则闭环系统是稳定的（的（z=p-N=0z=p-N=0），否则是不稳定的；），否则是不稳定的；（ii)ii) 当系统开环传递函数当系统开环传递函数 有有p p个位于个位于S S平面右平面右半部的极点时，如果系统的奈氏曲线半部的极点时，如果系统的奈氏曲线 逆时针包围逆时针包围点的周数等于位于点的周数等于位于S S平面右半部的开环

38、极点数平面右半部的开环极点数（N=PN=P），则闭环系统是稳定的（），则闭环系统是稳定的（Z=P-N=0Z=P-N=0），否则是），否则是不稳定的；不稳定的；), 1(j)()(sHsGGH)()(sHsGGH), 1(j应用奈氏判据可能会遇到三种情况：应用奈氏判据可能会遇到三种情况： 43（iiiiii） 如果系统的奈氏曲线如果系统的奈氏曲线 顺时针包围顺时针包围 点（点（N0N0），则闭环系统不稳定（），则闭环系统不稳定（Z=P-N0Z=P-N0）。）。 综上，奈氏曲线综上，奈氏曲线 是否包围是否包围GHGH平面的点平面的点 是判别系统是否稳定的重要依据（当然还须考虑是否存是判别系统是否稳

39、定的重要依据（当然还须考虑是否存在在S S平面右半部的开环极点和曲线平面右半部的开环极点和曲线 包围包围 点的方向）。当点的方向）。当 曲线恰好通过曲线恰好通过GHGH平面的平面的 点（注意不是包围），此时如果系统无位于点（注意不是包围），此时如果系统无位于S S平面右半平面右半部的开环极点，则系统处于临界稳定状态。部的开环极点，则系统处于临界稳定状态。), 1(jGHGH), 1(j), 1(jGHGH), 1(j应用奈氏判据可能会遇到三种情况：应用奈氏判据可能会遇到三种情况： 44例例56 56 试用奈氏判据分析例试用奈氏判据分析例5151系统的稳定性。系统的稳定性。解解 该系统的开环传递

40、函数为该系统的开环传递函数为其对应的频率特性是其对应的频率特性是当当 由由-变到变到+时系统的奈氏曲线如时系统的奈氏曲线如 图图5-185-18所示。该所示。该系统的两个开环极点系统的两个开环极点 和和 均在均在S S平面左半部，即平面左半部，即S S平面平面右半部的开环极点数右半部的开环极点数P=0P=0，由，由图图5-185-18可知，系统的奈氏曲线可知，系统的奈氏曲线 不包围不包围 点（点（N=0N=0），根据奈氏判据，位于），根据奈氏判据，位于S S平面右平面右半部的闭环极点数半部的闭环极点数 Z=PZ=PN=0N=0，该闭环系统是稳定的，该闭环系统是稳定的)() 1)(1()()(2

41、121TTsTsTKsHsG11T21TGH), 1(j 5.4.3 5.4.3 奈氏判据的应用奈氏判据的应用) 1)(1()()(21jTjTKjHjG确定幅相曲线起点和终点，确定幅相曲线起点和终点，正确作出幅相曲线对于判正确作出幅相曲线对于判断系统的稳定性很重要。断系统的稳定性很重要。45上述结论可从上述结论可从图图5-195-19所示的根轨迹图得到证明，从所示的根轨迹图得到证明，从图图5-5-1919可知，无论可知，无论K K为何值根轨迹都在为何值根轨迹都在S S平面左半部，系统平面左半部，系统总是稳定的。总是稳定的。图图5-19 5-19 例例5-65-6根轨迹根轨迹图图10K0eRm

42、IGH图图5-18 5-18 例例5-65-6奈氏奈氏曲线曲线)0(1KP2)0(PK K21T11TjS0K 5.4.3 5.4.3 奈氏判据的应用奈氏判据的应用46解解 该系统的开环传递函数为该系统的开环传递函数为其对应的频率特性是其对应的频率特性是(1)(1)：当：当 时，系统的奈氏曲线如时，系统的奈氏曲线如图图5-205-20所示。由于系统含有一个积分环节（所示。由于系统含有一个积分环节（v=1v=1），），)10()12()()(22TssTsKsHsGv)21 ()()(22TjTjKjHjGv 由变 至 5.4.3 5.4.3 奈氏判据的应用奈氏判据的应用例例57 57 试用奈氏

43、判据分析例试用奈氏判据分析例5353系统的稳定性。系统的稳定性。47 开环传递函数无右半开环传递函数无右半S S平面的极点，即平面的极点，即P=0P=0，系统是，系统是否稳定取决于奈氏曲线与负实轴的交点坐标值否稳定取决于奈氏曲线与负实轴的交点坐标值 的大的大小，当小，当 时，时， 不包围不包围 点，即点，即N=0N=0图图5-5-2020（a a），），系统是稳定的；当系统是稳定的；当 时奈氏曲线时奈氏曲线 顺时针包围顺时针包围 点两周，即点两周，即 N=-2,N=-2,图图5-205-20（b b），），系统不稳定。系统不稳定。2TKv12TKv), 1(j12TKvGHGH(2)(2)：

44、当当 时，对应奈氏曲线为顺时针环绕坐时，对应奈氏曲线为顺时针环绕坐标原点的无穷大半圆（标原点的无穷大半圆（图图5-205-20中虚线所示）。中虚线所示）。00由至), 1(j 5.4.3 5.4.3 奈氏判据的应用奈氏判据的应用48图图5-20 5-20 例例5-75-7奈氏曲线奈氏曲线02TKV 0 0eRGHmI012)(NTKaV时112TKV 0 0eRGHmI212)(NTKbV时0 5.4.3 5.4.3 奈氏判据的应用奈氏判据的应用49 5.5 5.5 控制系统的相对稳定性控制系统的相对稳定性 在工程应用中，由于环境温度的变化、元件的老在工程应用中，由于环境温度的变化、元件的老化

45、以及元件的更换等，会引起系统参数的改变，从而化以及元件的更换等，会引起系统参数的改变，从而有可能破坏系统的稳定性。因此在选择元件和确定系有可能破坏系统的稳定性。因此在选择元件和确定系统参数时，不仅要考虑系统的稳定性，还要求系统有统参数时，不仅要考虑系统的稳定性，还要求系统有一定的稳定程度，这就是所谓自动控制系统的一定的稳定程度，这就是所谓自动控制系统的相对稳相对稳定性定性问题。问题。 5.5.1 5.5.1 相对稳定性的概念相对稳定性的概念50已知两个最小相位系统的奈氏曲线如已知两个最小相位系统的奈氏曲线如图图5-21(a)5-21(a)和和(b)(b)红红线所示。当系统参数变化，使开环放大倍

46、数增加线所示。当系统参数变化，使开环放大倍数增加50%50%后，两系统的奈氏曲线分别如后，两系统的奈氏曲线分别如图图5-215-21中虚线所示。中虚线所示。图图5-21 5-21 系统的相对稳定性系统的相对稳定性mI00GHeRB1)(b00GHeR)(a1AmIB00A 5.5 5.5 控制系统的相对稳定性控制系统的相对稳定性515.5.2 5.5.2 稳定裕度稳定裕度 通常用稳定裕度来衡量系统的相对稳定性或系统的通常用稳定裕度来衡量系统的相对稳定性或系统的稳定程度，其中包括系统的稳定程度，其中包括系统的相角裕度相角裕度和和幅值裕度幅值裕度。1. 1. 相角裕度相角裕度 如如图图522522

47、所示，所示，GHGH平面上的平面上的单位圆与系统开环频率特性曲线单位圆与系统开环频率特性曲线的交点频率的交点频率 称为称为幅值穿越频幅值穿越频率率或或剪切频率剪切频率，它满足，它满足c)0(1)()(cccjHjG图图5-225-22mIeR)(cGHjj110c0 5.5 5.5 控制系统的相对稳定性控制系统的相对稳定性52相角裕度的含义：相角裕度的含义：使系统达到使系统达到临界稳定状态时开环频率特性临界稳定状态时开环频率特性的相角的相角减小（对应稳定系统）或增加减小（对应稳定系统）或增加（对应不稳定系统）的数值。（对应不稳定系统）的数值。)()()(cccjHjG)(c0jj11mIeRc

48、GH00图图 5-23(a)5-23(a)0相角裕度相角裕度( ) ( ) 幅值穿越频率所对幅值穿越频率所对应的相移应的相移 与与1801800 0角的差值角的差值)(c00180)()180()(cc 5.5 5.5 控制系统的相对稳定性控制系统的相对稳定性53 2. 2. 幅值裕度幅值裕度 如如图图5-23(b)5-23(b)所示，把系统的开环频率特性曲线与所示，把系统的开环频率特性曲线与GHGH平平面负实轴的交点频率称为相位穿越频率面负实轴的交点频率称为相位穿越频率 ，它应满足，它应满足 )()(1gggjHjGK幅值裕度幅值裕度(K(Kg g) ) 相位穿越频率所相位穿越频率所对应的开

49、环幅频特性的倒数值，对应的开环幅频特性的倒数值，即即mIeRGHgK1gjj11100gK0c0 图图5-23(b)5-23(b)g)0(180)()(0gggjHjG 5.5 5.5 控制系统的相对稳定性控制系统的相对稳定性54 对于最小相位系统对于最小相位系统, ,当幅值裕度当幅值裕度 ( )( )，系统稳定，系统稳定( (图图5-245-24) )，且，且KgKg值愈大值愈大, ,系统的相对稳定性愈好。如果幅值裕度系统的相对稳定性愈好。如果幅值裕度 ( ),( ),系统则不稳定系统则不稳定( ( 图图5-245-24) )。 1gK1gK()()1ggG jH j()()1ggG jH

50、j 当当 Kg=1 Kg=1 时，系统的开环频率特性曲线穿过时，系统的开环频率特性曲线穿过(-1,j0)(-1,j0)点，临界稳定。可见，求出系统的幅值裕度点，临界稳定。可见，求出系统的幅值裕度 Kg Kg 后，可后，可根据根据 KgKg值的大小分析最小相位系统的稳定性和稳定程度。值的大小分析最小相位系统的稳定性和稳定程度。 5.5 5.5 控制系统的相对稳定性控制系统的相对稳定性55)(c0jj1gK11mIeRGH100gK0图图5-245-24g幅值裕度的含义幅值裕度的含义 使系统使系统到达临界稳定状态时开环频到达临界稳定状态时开环频率特性的幅值率特性的幅值增大（对应稳定系统）或缩增大（

51、对应稳定系统）或缩小（对应不稳定系统）的倍小（对应不稳定系统）的倍数。数。)()(ggjHjG 5.5 5.5 控制系统的相对稳定性控制系统的相对稳定性56 通常有三种求解系统相角裕度和幅值裕度的方法，即通常有三种求解系统相角裕度和幅值裕度的方法，即解析法解析法、极坐标图法极坐标图法和和伯德图法伯德图法。)252(40)()(2ssssHsG 5.5.3 5.5.3 相角裕度和幅值裕度的求解方法相角裕度和幅值裕度的求解方法例例 5-9 5-9 已知最小相位系统的开环传递函数为已知最小相位系统的开环传递函数为 试求出该系统的幅值裕度和相角裕度。试求出该系统的幅值裕度和相角裕度。 57解解 系统的

52、开环频率特性为系统的开环频率特性为其幅频特性和相频特性分别是其幅频特性和相频特性分别是)225(40)()(2jjjHjG2224)25(401)()(jHjG2025290)()(ccccarctgjHjG1.1. 解析法解析法 5.5.3 5.5.3 相角裕度和幅值裕度的求解方法相角裕度和幅值裕度的求解方法58令令 ，得，得令令 , ,得得则则1)()(ccjHjG0180)()(ggjHjG82. 1c5g5 .8082. 12582. 1290)()(1802arctgjHjGcc25. 1)()(1gggjHjGK)(94. 125. 1lg20)(dBdBKg 5.5.3 5.5.

53、3 相角裕度和幅值裕度的求解方法相角裕度和幅值裕度的求解方法59在在GHGH平面上作出系统的开环频率特性的极坐标图，并作平面上作出系统的开环频率特性的极坐标图，并作一单位圆。一单位圆。由单位圆与开环频率特性的交点与坐标原点的连线与负由单位圆与开环频率特性的交点与坐标原点的连线与负实轴的夹角求出相角裕度实轴的夹角求出相角裕度 ；由开环频率特性与负轴交点处的幅值由开环频率特性与负轴交点处的幅值 的倒数得到幅值裕度的倒数得到幅值裕度K Kg g。)()(ggjHjG2. 2. 极坐标图法极坐标图法 5.5.3 5.5.3 相角裕度和幅值裕度的求解方法相角裕度和幅值裕度的求解方法60080)08 .0(j， 在上例中，先作出系统在上例中，先作出系统的开环频率特性曲线如的开环频率特性曲线如图图 5-5-2525所示，作单位圆交开环频所示，作单位圆交开环频率特性曲线