南京信息工程大学_高等数学(下册)_试卷及答案

1、南京信息工程大学高等数学试卷参考答案及评分标准一 填空题（本题共5 小题，每小题 3 分，满分 15 分）1设 f (x, y, z)x 22y 23z2xy4x2 y 4 z 求 gradf(0,0,0)= -4i+2j-4k2向量 和构成的角，且5,8，则= 12933 lim sin( xy)ax 0xy ax4C 为依逆时针方向绕椭圆a2y21的路径 ,则2b2(x y) dx( x y)dy =2 abC5微分方程 y2 x( y 1)的通解是 y cex21二 选择题（本题共5 小题，每小题 3 分，满分 15 分）1直线 L ： x3y4z 与平面 4 x2 y2z 3 的关系是

2、 A A平行273B直线 L 在平面上C垂直相交D相交但不垂直2 zx2 y 在满足 x 2y 25的条件下的极小值为 A5B-5C2 5D-2 53设为球面 x 2y2z2R2 ,则(x 2y2z2 )ds = CA2ddRr 2 sin drB.R2 dv0r 200C4 R 4D. 4R53级数2 (1)nxn 的收敛半径是 D42 ni 1A 3B 1C3或1D226265 yyyyxex 的通解形式为 y= AA (ax b)exB x(ax b)exC x 2 (ax b) exD ex ( ax b) cos 2x (cx d ) sin 2x三 求下列各题（本题共3 小题，每小

3、题10 分，满分 30 分）1 计算sin ydxdy D： x y2 和 y x 所围成的区域。D y1y原式 =0dy y 2sin ydx ( cos y )01( y sin y)10 (sin y) 011 sin1y2 u f ( xyz, xyz) ,f2 u具有各二阶偏导数，求x z解： uf1yzf2x2 uf11xyfyf 2yzf212zf 22xz12xy= f11( xz) yf 12yf 2xy 2 zf223求曲线x 2y 2z23x0在点（ 1， 1， 1）处切线方程及法平面2 x 3 y 5z 4 0方程解：将曲线方程对 x 求导得2x2 y dy2 y dz

4、30dxdx解出3 dy5 dz20dxdxdy1510 x4zdz4 y6 x9dx10 y6 zdx10 y6z在点（ 1，1， 1） dy9 ， dz1dx16dx16切线向量为 1, 9 ,1或 16,9, 11616得 切线： x1y1z11691法平面方程：6x 9 yz240四 （本题满分 10 分）设 f (t ) 在 R 上连续， Vr : x2y 2z2r 2(0 r 1) ，且 F (r )f ( x 2y 2z2 ) dxdydz ，Vr试证明：证法一： F (r )lim3r 0r 3lim33 F (r )4 f (0)r0rf ( r 2 ) 4f (r 2 )V

5、rr 343rr 3 f (r 2 )4 f ( 0)3证法二：五（本题满分10 分）求幂级数2n1 x2 n 的收敛区间及和函数。n 1n!解：记 un (x)2n 1 x 2nn!因为limun 1lim2n3n!x20nunn(n1)!2n 1所以收敛域为,设和函数为 s（ x），注意到 ex21x 2n(x) ，n0 n!对 s( x)2n1 x 2n 积分，得i 1n!x12n 1xx 2 nx(x 2 n1)x21) ，s(x) dx0 n!x1 n!n!x(e0nni 0(x)再对两边求导，得()ex2(2x21)1(x)s x即2n 1 x 2 nex 2 (2x 21) 1，

6、(x)n 0n!六（本题满分10 分）计算 IxdydzydzdxzdxdyS : zR2x2y2的上侧S( x 2y2z2 ) 3/ 2解：补 s0 : z 0运用代入技巧 x2y 2z2R2xdydz ydzdxzdxdyxdydzydzdxzdxdyR3s0(x2y2232s s0z)七（本题满分10 分）求微分方程 y3 y2 y3xex 的通解解：先求齐次方程 y3y2y0 的通解，特征方程： r3r2r0 ，特征根 r11, r22齐次方程的通解为： YC1 e xC 2 e 2 x非齐次项 f (x)3xe x1为单特征根故令非齐次方程的特解为：y*xe x ( Ax B)于是y*exAx2(B2)BA xy*e x Ax2( B4 A) x(2A2B)代入方程整理有2